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第 1 页 共 1 页2021 年高考数学椭圆复习题4设点 M 和 N 分别是椭圆C：?2?2+?2=1（a0）上不同的两点，线段MN 最长为 4（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若直线 MN 过点 Q（0，2），且?0，线段 MN 的中点为P，求直线OP 的斜率的取值范围【解答】解：（1）因为线段MN 最长为 4，所以 4 2a，即 a2，所以椭圆C 的标准方程为?24+?2=1（2）由题意知，直线MN 的斜率存在且不为0，设其方程为ykx+2，联立?=?+2?24+?2=1，整理得（1+4k2）x2+16kx+120，由（16k）24（1+4k2）1216（4k23）0，可得?234设 M（x1，y1），N（x2，y2），则?1+?2=-16?1+4?2，?1?2=121+4?2，所以 y1y2（kx1+2）（kx2+2）=?2?1?2+2?(?1+?2)+4=4-4?21+4?2因为?0，所以?1?2+?1?2=121+4?2+4-4?21+4?2=4(4-?2)1+4?20，即 k24，故34?24设直线 OP 的斜率为k，因为?124+?12=1?224+?22=1，两式相减得?1-?2?1-?2=-?1+?24(?1+?2)，所以?=-14?，则?2=116?2(164，112)，故直线 OP 的斜率的取值范围是(-36，-18)(18，36)