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1、第 1 页 共 20 页2020届江苏省南通市如皋中学高三创新班下学期4 月模拟考试数学试题一、填空题1设,2Mm，2,2 Nmm，且 MN=，则实数m 的值是 _.【答案】0；【解析】根据集合相等，即两集合中元素对应相等可得+222mmm，求解可得到m 的值.【详解】因为,2Mm，2,2Nmm，且 MN=，所以+222mmm，解得0m，故答案为：0.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合相等求解m 的值是解题关键,属于基础题.2已知实数a，b(0，2)，且满足2244242ababb，则 ab 的值为 _【答案】2【解析】由2244242ababb，且 a，b(0，2)，化简为：222
2、2(2)2abab，设22xfxx，则fx在0,2上递增，由2f afb，得 ab 的值.【详解】由2244242ababb，化简为：22222(2)abab，即2222(2)2abab，设22xfxx，则fx在0,2上递增，因为a，b(0，2)，所以 2-b(0，2)，且2f afb，所以2ab，即2ab.故答案为2【点睛】本题考查了等式的化简，构造函数，利用函数的单调性求值的问题，属于中档题.第 2 页 共 20 页3已知关于x的不等式2101xbxcaba的解集为空集，21211a bcTabab的最小值为 _.【答案】4【解析】根据一元二次不等式的解集的情况得出二次项系数大于零，根的判
3、别式小于零，可得出24abc，再将21211a bcTabab化为22122(1)aba bTab，由1ab和均值不等式可求得最小值.【详解】由题意可得：10a，240cba，可以得到24abc，而221(2)124122(1)12(1)2(1)a bcabacaba bTabababab，可以令10abm，则有212(1)(1)22422mmmTmm，当且仅当10m取等号.所以T的最小值为4.故答案为：4.【点睛】本题主要考查均值不等式,关键在于由一元二次不等式的解集的情况得出,a b c的关系，再将所求的式子运用不等式的性质降低元的个数，运用均值不等式，属于中档题.4已知ab，二次三项式2
4、40axxb对于一切实数x 恒成立，又0 xR，使20040axxb成立，则22abab的最小值为 _【答案】4 2【解析】分析：240 xxb对于一切实数x恒成立，可得4ab；再由0 xR，使20040axxb成立，可得4ab，所以可得4ab，22abab可化为22164aaaa，平方后换元，利用基本不等式可得结果.详解：Q已知 ab，二次三项式240axxb对于一切实数x恒成立，第 3 页 共 20 页0a，且1640,4abab；再由0 xR，使20040axxb成立，可得1640,4abab，4ab，22221642,04aabaabaabaa，令22168ata，则222222216
5、64816161632488aabtatabttaa（当16t时，等号成立），所以，222abab的最小值为32，故22abab的最小值为3242，故答案为4 2.点睛：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.5已知A，B是圆O：224xy上的两个动点，2ABuuu v，5233OCOA
6、OBu uu vuuu vu uu v.若M是线段AB的中点，则OC OMuuu v uuuu v的值为 _.【答案】3【解析】易得1OM(OAOB)2uuuu ruu u ru uu r，可得152()233OC OMOAOBOAOBuuu r uuuu ruu u ruuu ru u u ruu u r，结合A，B是圆O：224xy上的两个动点，2ABuuu r，计算可得答案.【详解】解：设11(,)A xy，22(,)B xy，则11(,)OAxyuuu r，22(,)OBxyuu u r，1212,22xxyyOMuuuu r，2121,ABxx yyuuu r，第 4 页 共 20
7、页所以1212525252,333333OCOAOBxxyyu uu ru uu ru uu r.由2ABuuu r，得2221214xxyy，又A，B在圆O上，所以22114xy，22224xy，联立 得12122x xy y，所以121212125252,333322xxyyOC OMxxyyu uu r uuuu r化简并整理，得222211221212511632xyxyx xy y5114426323.优解由条件易知OAB为正三角形.又由M为AB的中点，则1OM(OAOB)2uuu u ruuu ruuu r，所以152()233OC OMOAOBOAOBu uu r uu uu r
8、uu u ruu u ruuu ruuu r22152|2 33OAOA OBOBuuu ruu u r u uu ruu u r3.【点睛】本题主要考查平面向量的应用及平面向量数量积运算，由已知得出1OM(OAOB)2uuu u ruuu ruuu r代入计算是解题的关键.6过直线20 xy上一点P，作圆223116xy的两条切线，切点分别为11,A x y，22,B xy，若222112122yyxxxx，则PA_.【答案】8第 5 页 共 20 页【解析】由11,A x y，22,B xy，设AB的中点00,Mxy，则有22113116xy，22223116xy，将两式作差得，12121
9、212+6+2yyxxxxyy，再结合已知条件222112122yyxxxx，可得AB的中点M的轨迹方程是+210 xy，由+21200yxyx，得点5,3P，运用勾股定理可求得PA的长.【详解】由11,A x y，22,B xy，设AB的中点00,Mxy，则有22113116xy，22223116xy，将两式作差得，12121212+6+2yyxxxxyy，又222112122yyxxxx，即12121212+2+yyxxxxyy，所以12121212+6+2+2+xxxxyyyy，所以00000031+210+1xxxyyy，所以AB的中点M的轨迹方程是+210 xy，而点P也在直线+21
10、0 xy上，所以由+21200yxyx，得点5,3P，而圆223116xy的圆心31C（，），半径4R，所以2253134 5PC，所以228PAPCR，故答案为：8.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系之切线的相关问题，关键在于运用点差法，得出弦的中点的轨迹方程，属于中档题.7在 ABC 中，(ABACu uu ruu u r)BCuuu r(1)，若角 A 的最大值为6，则实数的值是_【答案】3【解析】把向量BCuuu r进行转化，用表示cosA，利用基本不等式可求实数的值.第 6 页 共 20 页【详解】22()()(1)cos0ABACABACcbbcAuuu ruuu ru uu ru
11、uu r123cos()112bcAcb，解得3故答案为：3.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养.8已知1F、2F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且123F PF，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_.【答案】4 33【解析】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2 2r1r2cos3，在椭圆中，化简为即4c2=4a23r1r2，在双曲线中，化简为即4c2=4a12+r1r2，2212134ee所以，再利用柯西不等式求椭
12、圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值.【详解】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（aa1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,F1PF2=3，则 由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos3，在椭圆中，化简为即4c2=4a23r1r2，在双曲线中，化简为即4c2=4a12+r1r2，2212134ee所以，第 7 页 共 20 页由柯西不等式得（1+13）（221213ee）（121313ee）212114 33ee所以故答案为4 33【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的
13、定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键属于难题9已知夹角为的两个单位向量,a br r，向量cr满足0acbcrrrr，则cr的最大值为 _.【答案】cossin22【解析】建立平面直角坐标系，设出向量ab crrr，的坐标，得出向量cr的终点C的轨迹方程，再运用点与圆的位置关系可以得到|cr的最大值.【详解】由已知建立平面直角坐标系，设10cos,sin,OAaOBbOCcx yuuu ru uu ruuu rrrr，又()()0acbcrrrr，所以22+1+cossin+cos0 xxyy，所以点C在以1+cossin,22P为圆心，以sin2R为半径的圆上，所以 cr的最
14、大值为221+cossin+sincos+sin22222OPR，所以cr的最大值为cossin22，故答案为：cossin22.【点睛】本题考查求向量的模的最值，建立平面直角坐标系，设出向量坐标，得出向量的终点的轨迹方程是解决本题的关键，属于中档题.10 已知长方体1111ABCDA B C D，5AB，3AD，14AA，过点A且与直线CD第 8 页 共 20 页平行的平面将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为_.【答案】2110【解析】设CMx，根据1BB PBCM得112B Px，设圆1O的半径为1r，根据等面积法得
15、12339xrxx，又132r，解得0 x，设圆2O的半径为2r，则222123,239rrxx，解得85x，所以12231239xrrxx，设23128(),539xf xxxx，求导判断函数的单调性，可得最值.【详解】如图所示:平面ABMN将长方体分成两部分,延长11B C与BM交于点P,如图 2 所示，设CMx，根据1BB PBCM得112B Px，设圆1O的半径为1r，根据等面积法得12339xrxx，又132r，解得0 x，设圆2O的半径为2r，则222248123,21214439416xrrxxxx，解得85x，所以12231239xrrxx，设23128(),539xf xxx
16、x，则222222223(39)(312)12712399()(39)(39)9xxxxxxxfxxxxxx，设2()271239g xxx，则()g x在8,5上单调递减，且805g，所以()0g x恒成立，所以()0fx恒成立，所以函数fx在8,5上单调递减，所以max821()510f xf，第 9 页 共 20 页故答案为：2110.【点睛】本题考查几何体的内切球的问题，关键在于运用空间想象能力得出两内切球的半径之和的函数，运用求导研究函数的单调性，属于难度题.11已知数列na满足11a，195nnnaaa，则na_.【答案】23n【解析】由已知数列递推式可得数列13na以12为首项,
17、以12为公差的等差数列,求出等差数列的通项公式后可得na.【详解】由195nnnaaa得1115903323230nnnnnnnnaaaaaaaa，1111332nnaa，又11113132a，所以数列13na以12为首项,以12为公差的等差数列,111(1)3222nnna，23nan，所以23nan，故答案为：23n.【点睛】本题考查根据数列的递推式求得数列的通项，关键在于由递推式构造出新的数列，使新数列为等差数列或等比数列，属于中档题.第 10 页 共 20 页12已知1x，2x是函数2ln2fxxmxx，mR的两个极值点，若12xx，则12fxx的取值范围为 _【答案】3ln 2,02
18、【解析】先由题得所以12121,2mxxxx，1102x.化简得12fxx=111111)2ln1xxxx（，再构造函数1)xxg()=（1112 ln(0)12xxxx，利用导数求函数的值域即得解.【详解】由题得函数的定义域为(0,)，21()22(22)mfxxxxmxx，所以12,x x是方程2220 xxm的两个实数根，所以12121,2mxxxx，因为12xx，1 0 x，所以112021xxx，所以1102x.所以2211111121222ln2(1)2ln1=fxxmxxxx xxxxx=111111)2ln1xxxx（记1111)2 ln(0)12xxxxxxg()=（，所以2
19、2211()12ln2ln()(1)(1)g xxexxx由102x2201,ln()04eexex，所以()0,()g xg x在1(0)2，单调递减，第 11 页 共 20 页又由洛必达法则得当0 x时，21lnln011xxxxxxx，即00lim(ln)0,lim()0 xxxxg x1113()ln2ln 22222g，所以函数g(x)的值域为3ln 2,02.即12fxx的取值范围为3ln 2,02.故答案为：3ln 2,02【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和取值范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13 已知222:2,(0)Exyaa，12,FF分
20、别为其左右焦点，P为E上任意一点，D为12F PF平分线与x轴交点，过D作12,PF PF垂线，垂足分别为,M N，求12DMNF PFSSVV的最大值 _【答案】14【解析】设1PFm，2PFn，12F PF，计算sinsin2mnDMDNPDmn，化简得到122222sinsinsin44DMNF PFSmnmnSmnmnVV，再计算最值得到答案.【详解】设1PFm，2PFn，12F PF，故12111sinsinsin22222PF FSmnmPDnPD，故2cos2mnPDmn，sinsin2mnDMDNPDmn，故1222221sinsinsinsin121444sin2DMNFPF
21、DMDNSDMDNmnmnSmnmnmnmnVV.第 12 页 共 20 页当P为上下顶点时，mn，2，等号成立.故答案为：14.【点睛】本题考查了椭圆内的面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.14已知函数ln,11,12x xfxxx，若1Fxffxm有两个零点12,x x，则12x x的取值范围 _.【答案】,e【解析】先运用分段函数的解析式，得出1Fxffxm的解析式，再利用导数求得函数的单调性区间,即可求得12x x的取值范围.【详解】当1x时,()ln0f xx,()11f x,()1ln()1)f f xf x,当131()1()1()1ln()1)222xxf xf
22、xff xf x，,综上可知：1ln()1)0Fxffxmf xm,则()1mf xe，()1mf xe有两个根1x，2x,(不妨设12xx,当1x时,2ln1mxe，当1x时,1112mxe,令112mte,则2ln xt，2txe，112xt，122xt，12(22)tx xet，12t,设()(22)tg tet，12t,所以()2tg tte,1,()02tg t，函数()g t单调递减,1()2g tge,()g x的值域为(,)e,12x x取值范围为(,)e,故答案为：(,)e.【点睛】第 13 页 共 20 页本题考查分段函数的零点问题，关键在于讨论自变量的范围得出函数的表达式
23、，再运用导函数得出函数的图象趋势，得出12x x的函数解析式，属于难度题.二、解答题15已知函数2()3 sin 212sin()f xxx xR.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，若3c，()22Cf，sin2sinBA，求,a b的值.【答案】（1）T=，2,63kkkZ；（2）1,2ab.【解析】（1）利用倍角公式降幂化一，可求周期和单调区间.（2）由22Cf求出 C 的值，结合正余弦定理求得a，b 的值【详解】（1）3sin2cos22sin 26fxxxx，周期为T.因为3222262kxkkZ，所以263k
24、xkkZ，所以所求函数的单调递减区间为2,63kkkZ.（2）因为2sin226CfC，又0C，所以3C，所以2222232cos,33abababab，又因为sin2sinBA，由正弦定理可得，2ba，由 可得1,2ab.【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式，考查了y=asin+bcos型的化一问题，训练了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题16如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB底面ABCD，第 14 页 共 20 页点M为PD的中点，90PCDo.（1）求证：PBP平面AMC；（2）求证：PB平面ABCD.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)连结BD,
25、交AC于O,连结MO,再证明MOPB进而得到PBP平面AMC即可.(2)根据线面垂直的性质结合证明PBAB判定即可.【详解】（1）如图,连结BD,交AC于O,连结MO.因为四边形ABCD为矩形,ACBDOI,所以O为BD的中点,又M是PD的中点,所以,在PBD中,MOPB.又 PB平面AMC,MO平面AMC,所以PBP平面AMC.（2）因为四边形ABCD为矩形,所以BCCD.因为90PCDo,则PCCD.又BCPCC,BC、PC平面PBC,所以CD平面PBC.又PB平面PBC,所以CDPB.在矩形ABCD中,ABCD,所以PBAB.又平面PAB底面ABCD,平面PAB底面ABCDAB,PB平面
26、PAB,所以PB平面ABCD.【点睛】第 15 页 共 20 页本题主要考查了线面平行的证明以及根据面面垂直的性质判定线面垂直的方法,属于中档题.17如图所示，射线OP在第一象限，且与x轴正向的夹角为45，动点A在射线OP上，动点B在x轴正向上，AOBV的面积为定值S.（1）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（2）设12,MM是曲线C上的动点，点12,MM到x轴的距离之和为1.若u为点12M M到y轴的距离之积，问是否存在最大的常数m，使得um恒成立？若存在，求出这个m的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2220,0 xyyS xy（2）答案不唯一，具体见解析【解析】（1）设,Mx y，
27、则2,2Ayy，所以22,0Bxy，所以12222Sxyy,可得线段AB的中点M的轨迹;（2）设111,Mx y，22212,1Mxyyy，因为222Syxy，所以2221212121212222224SySySSux xy ySyyy y，令1114ty y，可得224SSytt的单调性，从而得出结论.【详解】（1）设,Mx y，则2,2Ayy，所以22,0Bxy，所以12222Sxyy,所以线段AB的中点M的轨迹2:220,0CxyyS xy;第 16 页 共 20 页（2）设111,Mx y，22212,1Mxyyy，因为222Syxy，所以2221212121212222224SySy
28、SSux xy ySyyy y,令21212+124yyty y，224SSytt在220,4SS单调递减，在22,4SS单调递增，所以当2215114424SSSt，即12yy，2min14uSSm，当221501442SSS，则224SSt，2min2uSSS.【点睛】本题考查与直线有关的函数的最值问题，曲线的轨迹方程的求法,导数的应用,单调性常常利用导数求解;考查计算能力,转化思想,属于难度题.18已知椭圆W：22221(0)xyabab的离心率为22，点(2,3)Pa，1F，2F分别是椭圆W的左、右焦点，12PF F为等腰三角形.（）求椭圆W的方程；（）过左焦点1F作直线1l交椭圆于,
29、A B两点，其中A(0,1)，另一条过1F的直线2l交椭圆于,C D两点（不与,A B重合），且D点不与点01，重合.过1F作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E,G.求B点坐标；求证：11EFFG.【答案】（）2212xy；（）41,33B见解析.【解析】（）根据已知求出222,1ab，即得椭圆W方程为2212xy.（）由22112yxxy可求41,33B.当2l与x轴垂直时，,C D两点与E,G两点重合，由椭圆的对称性，11EFFG.当2l不与x轴垂直时，联立直线和椭圆方程证第 17 页 共 20 页明0EGyy，即11EFFG.【详解】（）由已知22cea，222abc，得bc，2ac，Q
30、12PF F为等腰三角形，122F FF P，则2222213ca解得1c，222,1ab椭圆W方程为2212xy.（）由题意可得直线1l的方程为1yx.与椭圆方程联立,由22112yxxy，可求41,33B.当2l与x轴垂直时，,C D两点与E,G两点重合，由椭圆的对称性，11EFFG.当2l不与x轴垂直时，设11,C xy，22,D xy，2l的方程为1yk x（1k）.由22112yk xxy消去y，整理得2222214220kxk xk.则21224+21kxxk，21222221kx xk.由已知，20 x，则直线AD的方程为2211yyxx，令1x，得点E的纵坐标2221Exyyx
31、.把221yk x代入得221 1Exkyx.由已知，143x，则直线BC的方程为1111434333yyxx,第 18 页 共 20 页令1x，得点G的纵坐标1111433Gyxyx.把111yk x代入得111134Gxkyx.21211 11134EGxkxkyyxx2121211134134kxxxxxx121221123434kx xxxxx,把21224+21kxxk，21222221kx xk代入到1212234x xxx中，1212234x xxx=222222423402121kkkk.即0EGyy，即11EFFG.【点睛】本题主要考查椭圆是几何性质和方程的求法，考查直线和椭
32、圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19已知函数当时，求曲线在点处切线的斜率；若存在，且当时，证明：【答案】（1）（2）见解析【解析】求出,求出的值，可得曲线在点处切线的斜率；令，将转化为，设，所以在恒成立所以在单调递减，故，从而可得结论【详解】依题意，故，即曲线在点处切线的斜率为：第 19 页 共 20 页依题意，不妨设，令，则令，故，故函数在上单调递增，所以，从而；因为，所以所以，所以；下面证明，即证明，只要证明设，所以在恒成立所以在单调递减，故，从而得证所以，即【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合
33、分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.20设数列na的前n项和为nS，且*22,nnSanN.（1）求证：数列na为等比数列；（2）设数列2na的前n项和为nT，求证：2nnST为定值；（3）判断数列3nna中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.
34、【答案】（1）见解析（2）见解析（3）不存在【解析】试题分析：（1）依据题设探求出12nnaa，再运用等比数列的定义进行推证；（2）借助等比数列的前项和公式分别求出2nS，nT，然后再求其比值；（3）假设存在满足题设条件的三项，然后运用假设进行分析推证，找出矛盾，从而断定不存在假设的三项：解：（1）当1n时，1122,Sa，解得12a.第 20 页 共 20 页当2n时，111222222nnnnnnnaSSaaaa，即12nnaa.因为10a，所以12nnaa，从而数列na是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以2nna.（2）因为2224nnna，所以2124nnaa，故数列2na是以 4 为首项，4 为公比的等比数列，从而222 122 4112nnnS，4 14441143nnnT，所以232nnST.（3）假设3nna中存在第,()m n k mnk项成等差数列，则2 333nmknmkaaa，即2 33232nmmkkna.因为mnk，且*,m n kN，所以1nk.因为112 332323232nmmkkmmnnna，所以332nmm，故矛盾，所以数列3nna中不存在三项成等差数列.点睛：数列是江苏高考的特色问题，这类问题的设置旨在考查等比数列、等差数列等特殊数列的通项公式前项和公式等基础知识、基本公式与基本概念，同时考查运算求解能力和推理论证能力