2020届广东省东莞市高三二模数学(文)试题(解析版).pdf-淘文阁

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1、第 1 页共 22 页2020 届广东省东莞市高三二模数学（文）试题一、单选题1已知集合2|3Ax xx，1,1,2,3B，则AB（）A1,1,2B1,2C1,2D1,2,3【答案】B【解析】先求得集合|03Axx，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合2|3|(3)0|03Ax xxx x xxx，又有1,1,2,3B，则AB1,2.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合A，再结合集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2已知复数1234izi，i 为虚数单位，则|z（）A15B55C12D22【答案】B【解

2、析】利用复数模的性质zz，以及乘除法的模的性质计算【详解】222212121253434534iizzii故选：B【点睛】本题考查求复数的模，利用模的性质求解更加方便简捷复数模的性质：zz，1212z zz z，1122zzzz3在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心若圆柱的轴截面是边长为2 的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为()第 2 页共 22 页A5B6C3D4【答案】A【解析】由已知得到圆锥的半径与母线长，再代入扇形面积公式求得圆锥侧展图面积【详解】圆锥的侧面展开图是半径为5，弧长为2的扇形，其面积11(21)5522Sl r，所以圆锥的侧面展开

3、图面积为5.【点睛】本题考查求圆锥侧展图及扇形面积的基本运算4设等差数列na的前n项和nS，满足346aa，529a，则7S（）A352B21C492D28【答案】C【解析】设等差数列na的公差为d，可得出关于1a和d的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得7S的值.【详解】设等差数列na的公差为d，由题意可得341512562289aaadaad，解得1121ad，因此，717 61497721222Sad.故选：C.【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本量的求解，考查计算能力，属于基础题.5某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm）进行质检，若从这批

4、轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953内，则称这批轮胎基本合格已知这批轮胎的宽度分别为195、196、190、194、200，则这批轮胎基本合格的概率为（）A25B35C45D710【答案】D 第 3 页共 22 页【解析】可知轮胎的宽度为195、196、194在1953内，列举出所有的基本事件，并列举出“从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953内”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，轮胎的宽度为195、196、194在1953内，从这批轮胎中随机选取3个，所有的基本事件有：195,196,190、195,196,19

5、4、195,196,200、195,190,194、195,190,200、195,194,200、196,190,194、196,190,200、196,194,200、190,194,200，其中，事件“从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953内”所包含的基本事件有：195,196,190、195,196,194、195,196,200、195,190,194、195,194,200、196,190,194、196,194,200，共 7 个，因此，这批轮胎基本合格的概率为710P.故选：D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般要列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题

6、.6古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作圆锥曲线论中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD为平面(与两个圆锥侧面的交线为,AC BD)，用平行于的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于,AC BD，则双曲线的离心率为（）A3 24B2 33C2D2 2【答案】A 第 4 页共 22 页【解析】求得圆锥的高，可得矩形ABCD的对角线长，即有AC，BD的夹角，可得两条渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值【详解】解

7、：设与平面平行的平面为，以,AC BD的交点在平面内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面内的射影为x轴，在平面内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线2222:1(0,0)xyabab.由题意可得双曲线的渐近线方程为24yx，由24ba，得离心率222223 214cabbeaaa.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题7已知为锐角，3cos5，则tan42（）A13B12C2 D3【答案】A 第 5 页共 22 页【解析】由3cos5计算出tan2，再将tan42用两角差的正切公式拆开，代入求值即可.【

8、详解】解：3cos5，22cos2cos112sin22，且为锐角2 5cos25，5sin255sin152tan222 5cos251tantan11422tan14231tantan1 1422故选：A【点睛】本题考查二倍角公式与同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式，属于中档题.8已知函数()xxaf xee为偶函数，若曲线()yf x的一条切线与直线230 xy垂直，则切点的横坐标为（）A2B2C2ln 2Dln 2【答案】D【解析】先根据偶函数求参数1a，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.【详解】fx为偶函数，则()()(1)0 xxxxxxaafx

9、eeeeaee1a，()xxf xee+，().xxfxee设切点得横坐标为0 x，则0003().2xxfxee解得02xe，（负值舍去）所以0ln 2x.故选：D【点睛】本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基第 6 页共 22 页础题.9已知 A，B，C 三点不共线，且点O 满足161230OAOBOC则（）A123OAABACB123OAABAOC123OAABACD123OAABAO【答案】A【解析】由向量的线性运算化简【详解】161230OAOBOC，1612()3()0OAOAABOAAC，整理得123OAABAC故选：A【点睛】本题考查向量

10、的线性运算，解题关键是把,OB OC用,OA AB AC表示10 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知 bcosC+ccosB6,c3,B2C,则cosC 的值为（）A35B34C33D32【答案】D【解析】由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得6cosbC，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得26ac，进而根据余弦定理即可求解cosC的值【详解】解：3c，2BC，sinsin22sincosBCCC，由正弦定理sinsinbcBC,可得2sincossinbcCCC,可得6cosbC，coscos6bCcB，设ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得6s

11、incossincos2BCCBR，又sincossincossinsinBCCBBCA，可得6sin2sin62ARAR，可得26ac，22223636cos926scos26coCCabcCab，可得23cos4C，第 7 页共 22 页ca，则C为锐角，解得3cos2C故选：D【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求解，属于中档题.11在三棱锥ABCD 中，ABD 与CBD 均为边长为2 的等边三角形，且二面角ABDC的平面角为120，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A7B 8C163D283【答案】D【解析】如图，取 BD 中点 H

12、，连接 AH，CH，则 AHC 为二面角ABDC 的平面角，即 AHD120，分别过E，F 作平面 ABD，平面 BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接 AO，HO，则由对称性可得OHE60，进而可求得 R 的值【详解】解：如图，取BD 中点 H，连接 AH，CH 因为 ABD与CBD均为边长为2的等边三角形所以 AHBD，CHBD，则 AHC 为二面角 ABDC 的平面角，即AHD120设 ABD 与 CBD 外接圆圆心分别为E，F 则由 AH 2332可得 AE23AH233，EH13AH33分别过 E，F 作平面 ABD，平面 BCD 的垂线，则三棱锥的外接球

13、一定是两条垂线的交点记为 O，连接 AO，HO，则由对称性可得OHE60所以 OE 1，则 ROA22213AEEO则三棱锥外接球的表面积221284493R故选：D 第 8 页共 22 页【点睛】本题考查三棱锥的外接球，球的表面积公式，画出图形，数形结合是关键，属于中档题12已知函数|2()xf xeax，对于任意12,(,0)x x，都有21210 xxfxfx，则实数a的取值范围是（）A(,2eB(,2eC0,2eD,02e【答案】A【解析】根据题意，结合函数的性质，得出()f x 在区间(0,)为单调递增函数，转化为(0,)x时，()0fx在(0,)上恒成立，分离参数，得到2xeax

14、在(0,)上恒成立，再构造新函数xeg xx，利用导数求得函数()g x的单调性与最小值，即可求解.【详解】根据函数()f x 对于任意12,(,0)x x，都有21210 xxfxfx，可得函数()f x 在区间(,0)为单调递减函数，由|2|2()()()xxfxeaxeaxf x，可得函数()f x 为偶函数，图象关于y轴对称，所以函数()f x 在区间(0,)为单调递增函数，当(0,)x时，函数2()xf xeax，可得()2xfxeax，根据函数()f x 在区间(0,)为单调递增函数，可得()0fx在(0,)上恒成立，即20 xeax在(0,)上恒成立，可转化为2xeax在(0,)

15、上恒成立，令xeg xx，则2(1)xexgxx，第 9 页共 22 页当(0,1)x时，()0g x，函数()g x单调递减，当(1,)x时，()0g x，函数()g x单调递增，所以当1x时，函数()g x取得最小值，最小值为(1)ge，所以2(1)age，解得2ea，即实数a的取值范围是(,2e.故选：A.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及利用函数的单调性求解参数问题，其中解答中把函数的单调性转化为函数的导数恒成立，利用函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题13已知实数x，y满足210020 xxyxy，则目标函数2zx

16、y的最大值为 _.【答案】3【解析】根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解2yxz在y轴截距的最大值，由图象平移可知当直线过1,1B点时，z最大，代入求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则求2zxy的最大值等价于求解直线2yxz在y轴截距的最大值由2yx平移可知，当2yxz过点B时，在y轴截距最大由020 xyxy得：1,1Bmax213z第 10 页共 22 页本题正确结果：3【点睛】本题考查利用线性规划的知识求解最大值的问题，关键是能够将问题转化为求解直线在y轴截距最大值的问题，属于常规题型.14记等比数列na的前 n 项和为nS，若214a，378S，则公比q_

17、.【答案】12或 2【解析】由214a，378S，可得：11174448qq，化简解出即可得出【详解】解：由214a，378S，11174448qq，化为：22520qq解得12q或 2故答案为：12或 2【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15若非零向量a、b满足4ba，2aba，则a与b的夹角为 _【答案】3【解析】设a与b的夹角为，由2aba得出20aba，结合平面向量数量积的运算律可求得cos的值，再结合角的取值范围可求得角的值，即可得解.【详解】设a与b的夹角为，4ba，2aba，则2220abaaa b，即2222cos24co

18、s0aabaa，可得1cos2，0，3.因此，a与b的夹角为3.第 11 页共 22 页故答案为：3.【点睛】本题考查利用平面向量垂直求夹角，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.16在三棱锥ABCD中，,2,2 3,2 2ABAD ABADBCCD，当三棱锥ABCD的体积最大时，三棱锥ABCD外接球的体积与三棱锥ABCD的体积之比为 _.【答案】8:3【解析】根据题意，当面BCD面 ABD 时，三棱锥ABCD的体积最大.此时取 BD的中点 O，由,2,2 3ABAD ABAD，得4BD，OA=2，同理根据2 2BCCD，且222BCCDBD，由直角三角形中线定理可得

19、2OC，从而得到外接圆半径R=2，再分别利用体积公式求解.【详解】如图所示：当面 BCD面 ABD 时，三棱锥ABCD的体积最大.取 BD 的中点 O，因为,2,2 3ABAD ABAD，所以4BD，OA=2，2 2BCCD，222BCCDBD，2OC，第 12 页共 22 页外接圆半径R=2，V球343233R，114 322 32323A BCDV，三棱锥ABCD外接球的体积与三棱锥ABCD的体积之比为8:3.故答案为：8:3【点睛】本题主要考查组合体的体积问题，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17 已知数列na是等比数列，数列nb满足1212bb，338b，11

20、21nnnnabb（1）求na的通项公式；（2）求nb的前n项和【答案】（1）2nna；（2）222nn.【解析】（1）分别令1n、2n可分别求得2a、3a，进而可求得等比数列na的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得na的通项公式；（2）由已知条件得出数列2nnb是等差数列，确定该数列的首项和公差，求得数列2nnb的通项公式，进一步可求得数列nb的通项公式，然后利用错位相减法可求得数列nb的前n项和【详解】（1）设等比数列na的公比为q，由于数列nb满足1212bb，338b，1121nnnnabb当1n时，则221212a bb，即2122a，可得24a；当2n时，则332413a b

21、b，即3338a，可得38a.322aqa，212aaq，111222nnnnaa q；（2）1121nnnnabb，即11221nnnnbb，11221nnnnbb，且121b，第 13 页共 22 页所以，数列2nnb是以1为首项，以1为公差的等差数列，则2111nnbnn，2nnnb.设数列nb的前n项和为nS，则231232222nnnS，231112122222nnnnnS，得2311111111111222112222222212nnnnnnnnnS，222nnnS.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.18已知几何体ABCDE

22、F中，/AB CD，/FC EA，ADAB，AE面ABCD，2ABADEA，4CDCF（1）求证：平面BDF平面BCF；（2）求点B到平面ECD的距离【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）由FC平面ABCD，可得BDFC，并推导出BDBC，利用线面垂直的判定定理可得出BD平面BCF，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）计算出三棱锥EBCD的体积，并计算出ECD的面积，利用等体积法可计算出点B到平面ECD的距离【详解】（1）/FCEA且AE面ABCD，FC平面ABCD，BD平面ABCD，BDFC，第 14 页共 22 页ABAD且2ABAD，由勾股定理得222 2BDAB

23、AD，且45ABD，/AB CD，45BDC，由余弦定理得2222cos458BCBDCDBD CD，2 2BC，222BCBDCD，90CBD，BCBD，FCBCC，BD平面BCF，BD平面BDF，平面 BCF平面BDF；（2）AE平面ABCD，BCBD，且2 2BCBD，142BCDSBC BD，11842333EBCDBCDVSAE，AE平面ABCD，CD平面ABCD，CDAE，ADAB，/AB CD，CDAD，AEADA，CD平面ADE，DE平面ADE，CDDE，又2222DEAEAD，1142 24 222CDESCD DE，设点B到平面ECD的距离为h，则BCDEEBCDVV，即1

24、833CDESh，88242CDEhS.因此，点B到平面ECD的距离为2.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在15,45以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在15,30以内的产品为合格品旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图第 15 页共 22 页所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示质量指标值频数15,20220,

25、25825,302030,353035,402540,4515合计100（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率；（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计（3）已知每件产品的纯利润y（单位：元）与产品质量指标t的关系式为第 16 页共 22 页2,30451,1530tyt 若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本参考公式：22n adbc

26、Kabcdacbd，其中nabcd20P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）估计新、旧设备所生产的产品优质品率分别为70%、55%；（2）列联表见解析，有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”，理由见解析；（3）471.【解析】（1）根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的优质品率；（2）根据题中所给的数据完善22列联表，计算出2K的观测值，

27、结合临界值表，可得出结论；（3）根据新设备所生产的优质品率，分别计算出1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可收回成本.【详解】（1）估计新设备所生产的产品优质品率为302515100%70%100，估计旧设备所生产的产品优质品率为50.060.030.02100%55%；（2）根据题中所给数据可得到如下22列联表：非优质品优质品合计新设备产品3070100旧设备产品4555100合计75125200第 17 页共 22 页22220030 5570 454.83.84110075 125K，因此，有95%的把握认为“产品质量高低与新设备

28、有关”；（3）新设备所生产的产品的优质品率为0.7，每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有10000.7700件优质产品，有300件合格品，则每台新设备每天所生产的产品的纯利润为700230011700（元），8000001700471（天），因此，估计至少需要471天方可收回成本.【点睛】本题考查理由频率分布直方图和频数分布表求频率，同时也考查了利用独立性检验解决实际问题，考查学生的数据处理能力与计算能力，属于基础题.20已知点0,0O、点4,0P及抛物线2:4Cyx（1）若直线l过点P及抛物线C上一点Q，当OPQ最大时求直线l的方程；（2）问x轴上是否存在点M，使得过点M的任一条直

29、线与抛物线C交于点A、B，且点M到直线AP、BP的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）240 xy或240 xy；（2）存在，且点M的坐标为4,0.【解析】（1）要使得OPQ最大，则过P的直线与抛物线相切，设过点P的直线方程为4xmy，与抛物线的方程联立，由0求得m的值，由此可得出直线l的方程；（2）由题意可知，直线AP、BP的斜率互为相反数，设点,0M m，设直线AB的方程为xtym，设点11,A x y、22,B xy，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式求得实数m的值，由此可得出结论.【详解】（1）如下图所示，当过点P的直线l与抛物

30、线相切时，即当点Q为切点时，OPQ最大.第 18 页共 22 页当直线l与x轴重合时，则点P与点Q重合，不合乎题意；当直线l与x轴不重合时，可设直线l的方程为4xmy，联立244xmyyx，消去x得24160ymy，则216640m，解得2m.因此，当OPQ最大时，直线l的方程为240 xy或240 xy；（2）假设存在这样的点M满足条件，设点,0Mm，因为点M到直线AP、BP的距离相等，则MP为APB的角平分线，所以APMBPM，可得0APBPkk，设直线AB的方程为xtym，设点11,A x y、22,B xy，联立24xtymyx，消去x并整理得2440ytym，由韦达定理得124yy

31、t，124y ym.1221121212444444APBPyxyxyykkxxxx122112121212442404545ytymytymty ymyyxxxx，1212240ty ymyy，即24440tmt m，整理得1640tm，由题意可知，等式1640tm对任意的tR恒成立，所以，4m.因此，在x轴上存在点4,0M，使得点M到直线AP、BP的距离相等.【点睛】本题考查利用直线与抛物线相切求直线方程，同时也考查了抛物线中存在定点满足条第 19 页共 22 页件，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.21已知()lnxef xaxaxx.（1）若0a，讨论函数()f

32、 x 的单调性；（2）当1a时，若不等式1()()0 xf xbxbexx在1,)上恒成立，求b的取值范围【答案】（1）见解析；（2）1,)e.【解析】（1）fx的定义域为0,，且21xxeaxfxx，据此确定函数的单调性即可；（2）由题意可知10 xb xelnx在1,上恒成立，分类讨论0b和0b两种情况确定实数b的取值范围即可.【详解】（1）fx的定义域为0,21xxeaxfxx，0a，当0,1x时，0fx；1,x时，0fx函数fx在0,1上单调递减；在1,上单调递增.（2）当1a时，1xfxbxbexx1xb xelnx由题意，10 xb xelnx在1,上恒成立若0b，当1x时，显然有

33、10 xb xelnx恒成立；不符题意.若0b，记1xh xb xelnx，则1xhxbxex,显然hx在1,单调递增，（i）当1be时，当1x时，110hxhbe1,x时，10h xh（ii）当10be，110hbe，1110bhebeb第 20 页共 22 页存在01x，使0h x.当01,xx时，0hx，0,xx时，0h xh x在01,x上单调递减；在0,x上单调递增当01,xx时，10h xh，不符合题意综上所述，所求b的取值范围是1,e【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22在平面直角坐标系

34、xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos2sin1若P为曲线1C上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足2OPOQ，记动点Q的轨迹为2C（1）求2C的直角坐标方程；（2）若曲线1C与曲线2C交于M、N两点，求OMN的面积【答案】（1）22125xy（去掉原点）；（2）35.【解析】（1）设点Q的极坐标为,，点P的极坐标为1,，根据题意得出12，将点P的极坐标代入曲线1C的极坐标方程，可得出一个等式，然后将12代入等式，化简可得出曲线2C的极坐标方程，进而利用极坐标与直角坐标之间的转换关系可得出曲线2C的直角坐标方程；（2）将曲线1C的方程化为直

35、角坐标方程，计算出圆心到直线MN的距离，利用勾股定理求出MN，并计算出原点到直线MN的距离，利用三角形的面积公式可求得OMN的面积.【详解】（1）设点Q的极坐标为,，点P的极坐标为1,，第 21 页共 22 页2OPOQ，12，可得12.将点P的极坐标代入曲线1C的极坐标方程得11cos2sin1，将12代入等式11cos2sin1，得24cossin1，即2cos4sin，等式两边同时乘以得22cos4sin0，化为直角坐标方程得22240 xyxy，即22125xy，因此，曲线2C的直角坐标方程为22125xy（去掉原点）；（2）曲线1C的直角坐标方程为210 xy，曲线1C为直线，曲线

36、2C是以点1,2P为圆心，以5为半径的圆（去掉原点），圆心P到直线MN的距离为45d，2246 52 52 555MNd，原点到直线MN的距离为15h，因此，OMN的面积为116 51322555OMNSMNh.【点睛】本题考查曲线极坐标方程的求解，考查了曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了圆的内接三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.23已知函数1()|3|2()2f xxkxkR（1）当1k时，解不等式()1f x；（2）若()f xx对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）5|13xx；（2）|1 k k.【解析】（1）当1k时，去绝对值，把()f

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