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1、2020 年娄底市中考数学试卷一、选择题（共12 小题）.1 2020 的倒数是（）A 2020B2020CD2下列运算正确的是（）Aa2?a3a6B（a+b）2a2+b2C（2a）3 8a3Da2+a2a43如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果1 28，那么 2 的度数为（）A62B56C28D724一组数据7，8，10，12，13 的平均数和中位数分别是（）A7、10B9、9C10、10D12、115我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）ABCD62020 年中央财政下达义务教育补助经费1695.9 亿元，比上年增长8.3%其中 1695.9 亿元用科学
2、记数法表示为（）A16.9591010元B1695.9 108元C1.69591010元D1.6959 1011元7正多边形的一个外角为60，则这个多边形的边数为（）A5B6C7D88如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1L?cos，阻力臂L2l?cos，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A越来越小B不变C越来越大D无法确定9如图，平行于y 轴的直线分别交y与 y的图象（部分）于点A、B，点 C 是 y轴上的动点，则ABC 的面积为（）Ak1k2B（k1k2）Ck2k1D（k2 k1）10下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此
3、规律，x 的值为（）A135B153C170D18911函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（）Ayx2+x+2By+1Cyx+Dy|x|112二次函数y（xa）（xb）2（a b）与 x 轴的两个交点的横坐标分别为m 和 n，且 mn，下列结论正确的是（）Ama nbBam bnCmabnDamnb二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）13一元二次方程x22x+c0 有两个相等的实数根，则c14口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3 个，白色球2 个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是15若（ac），则16如图，公路弯
4、道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R300 处的弯道上从点A 行驶了 100米到达点B，则线段 AB米17如图，四边形ABDC 中，ABAC3，BDCD2，则将它以AD 为轴旋转180后所得分别以AB、BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为18由 4 个直角边长分别为a，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（ab）2与 4 个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理 a2+b2c2，还可以用来证明结论：若 a0、b 0且 a2+b2为定值，则当 ab时，ab 取得最大值三、解答题（本大题共2 小题，每小题6 分，共 12 分
5、）19计算：|1|3tan30+（3.14）0+（）120先化简（），然后从 3，0，1，3 中选一个合适的数代入求值四解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共 16 分）21我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t（h）：A0t0.5，B0.5t1，C1t1.5，Dt1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的学生共人，a（2）补全条形统计图（3）扇形图中“0t 0.5”部分的圆心角是度22如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019 年 12 月
6、 18 日动工，2020 年2 月 28 日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”该桥的引桥两端各由 2 个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E 点距地面5m，从 E 点处测得D 点俯角为30，斜面 ED 长为 4m，水平面 DC 长为 2m，斜面 BC 的坡度为 1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB 的长（结果精确到0.1m，1.41，1.73）五解答题（本大题共2 小题，每小题9 分，共 18 分）23为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品某校花7200 元购进洗手液与84 消毒液共400 瓶，已知洗手液的价格是25 元/瓶，84 消毒液
7、的价格是15 元/瓶求：（1）该校购进洗手液和84 消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84 消毒液共150 瓶，总费用不超过2500 元，请问最多能购买洗手液多少瓶？24如图，?ABCD 中，BC2AB，ABAC，分别在边BC、AD 上的点 E 与点 F 关于 AC对称，连接EF、AE、CF、DE（1）试判定四边形AECF 的形状，并说明理由；（2）求证：AEDE六、综合题（本大题共2 小题，每小题10 分，共 20 分）25如图，点 C 在以 AB 为直径的 O 上，BD 平分 ABC 交O 于点 D，过 D 作 BC 的垂线，垂足为E（1）求证：DE 与O 相切；（2）若 AB5，BE4
8、，求 BD 的长；（3）请用线段AB、BE 表示 CE 的长，并说明理由26如图，抛物线经过点A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点 P（m，n）是抛物线上的动点，当3m0 时，试确定m 的值，使得 PAC的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B 的点 D，满足 DA2DC2 6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，满分36 分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1 2020 的倒数是（）A 2020B2020C
9、D【分析】乘积是1 的两数互为倒数依据倒数的定义回答即可解：2020 的倒数是，故选：D2下列运算正确的是（）Aa2?a3a6B（a+b）2a2+b2C（2a）3 8a3Da2+a2a4【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则、合并同类项法则和完全平方公式分别化简求出答案即可判断解：A、a2?a3a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（a+b）2a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（2a）3 8a3，原计算正确，故此选项符合题意；D、a2+a22a2，原计算错误，故此选项不符合题意故选：C3如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果1 28，那么 2 的度数为（）A62
10、B56C28D72【分析】由两锐角互余的性质可求DAC 度数，由平行线的性质可求解解：如图，标注字母，由题意可得：BAC90，DAC BAC 162，EF AD，2 DAC 62，故选：A4一组数据7，8，10，12，13 的平均数和中位数分别是（）A7、10B9、9C10、10D12、11【分析】根据平均数、中位数的计算方法求出结果即可解：10，从小到大排列处在中间位置的一个数是10，因此中位数是 10，故选：C5我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）ABCD【分析】根据中心对称图形的概念求解解：A、不是中心对称图形故错误；B、是中心对称图形故正确；C、不
11、是中心对称图形故错误；D、不是中心对称图形故错误故选：B62020 年中央财政下达义务教育补助经费1695.9 亿元，比上年增长8.3%其中 1695.9 亿元用科学记数法表示为（）A16.9591010元B1695.9 108元C1.69591010元D1.6959 1011元【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n 为整数确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数解：1695.9 亿元 169590000000 元 1.69591011元，故选：D7正
12、多边形的一个外角为60，则这个多边形的边数为（）A5B6C7D8【分析】多边形的外角和等于360，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成 60 n，列方程可求解解：设所求正n 边形边数为n，则 60?n360，解得 n6故正多边形的边数是6故选：B8如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1L?cos，阻力臂L2l?cos，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A越来越小B不变C越来越大D无法确定【分析】根据杠杆原理及cos的值随着的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案解：动力动力臂阻力阻力臂，当阻力及阻力臂不变时，动力动力臂为定
13、值，且定值0，动力随着动力臂的增大而减小，杠杆向下运动时的度数越来越小，此时cos的值越来越大，又动力臂L1L?cos，此时动力臂也越来越大，此时的动力越来越小，故选：A9如图，平行于y 轴的直线分别交y与 y的图象（部分）于点A、B，点 C 是 y轴上的动点，则ABC 的面积为（）Ak1k2B（k1k2）Ck2k1D（k2 k1）【分析】AB 的长是两个函数当自变量为x 时，因变量的差的绝对值，再根据三角形的面积公式进行计算即可解：由题意可知，AB，AB 边上的高为x，SABC（）?x（k1k2），故选：B10下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（）A135B15
14、3C170D189【分析】分析前三个正方形可知，规律为左上方的数等于序号数，左下方的数比左上方数大 1，右上方数是左下方数的2 倍，右下方数为左下方数的平方数的2 倍加上序号数，由此解决问题解：根据规律可得，2b18，b9，ab18，x2b2+a 162+8170，故选：C11函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（）Ayx2+x+2By+1Cyx+Dy|x|1【分析】根据函数的零点的意义，逐项代入求解进行判断即可解：当 y0 时，方程 x2+x+20 无实数根，因此选项A 不符合题意；方程+10 无实数根，因此选项B 不符合题意；方程 x+0 无实数根，因此选项C
15、 不符合题意；方程|x|10 的解为 x 1，因此选项D 符合题意，故选：D12二次函数y（xa）（xb）2（a b）与 x 轴的两个交点的横坐标分别为m 和 n，且 mn，下列结论正确的是（）Ama nbBam bnCmabnDamnb【分析】依照题意画出二次函数y（xa）（xb）及 y（xa）（x b）2 的图象，观察图象即可得出结论解：二次函数y（x a）（xb）与 x 轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y（xa）（xb）2 的图象，如图所示观察图象，可知：mabn故选：C二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）13一元二次方程x22x+
16、c0 有两个相等的实数根，则c1【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式b2 4ac0，建立关于 c 的不等式，求出c 的值即可解：一元二次方程x22x+c0 有两个相等的实数根，b24ac（2）24c0，解得 c1故答案为114口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3 个，白色球2 个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是【分析】从袋中任取一球有3+25 种可能，其中摸出白球有3 种可能，利用概率公式进行求解解：袋子中共有5 个小球，其中白色小球有2 个，从中任意摸出一球，有5 种等可能结果，其中摸到白色小球的有2 种可能，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率
17、是，故答案为：15若（ac），则【分析】根据分比的性质即可求解解：（a c），故答案为：16如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R300 处的弯道上从点A 行驶了 100米到达点B，则线段 AB300米【分析】根据弧长公式求出AOB 的度数，根据等边三角形的性质即可求解解：100，n60，又 AOBO，AOB 是等边三角形，AB AOBO300（米），故答案为：30017如图，四边形ABDC 中，ABAC3，BDCD2，则将它以AD 为轴旋转180后所得分别以AB、BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为3：2【分析】根据两个圆锥的底面圆相同，设底面圆的周长为l，根
18、据圆锥的侧面积公式可得上面圆锥的侧面积为：l?AB，下面圆锥的侧面积为：l?BD，即可得出答案解：两个圆锥的底面圆相同，可设底面圆的周长为l，上面圆锥的侧面积为：l?AB，下面圆锥的侧面积为：l?BD，AB AC3，BD CD 2，S上：S下3：2，故答案为：3：218由 4 个直角边长分别为a，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（ab）2与 4 个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理 a2+b2c2，还可以用来证明结论：若 a 0、b0 且 a2+b2为定值，则当 ab时，ab 取得最大值【分析】作斜边c 上高 h，由完全平方公式可得a
19、b 最大值为，由三角形的面积公式可得 h，由等腰直角三角形的性质可求解解：如图，作斜边c 上高 h，（ab）20，a2+b2 2ab0，又 a2+b2c2，a2+b2为定值，ab，ab 最大值为，a，b为直角边的直角三角形面积a?bc?h，c?h，h，等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半，当 ab 时，h，故答案为：三、解答题（本大题共2 小题，每小题6 分，共 12 分）19计算：|1|3tan30+（3.14）0+（）1【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值解：原式13+1+21+1+2220先化简（），然后从 3，0，1，3 中
20、选一个合适的数代入求值【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m 的值代入计算即可求出值解：原式?（m3）2（m+3）m32m6 m9，当 m 3，0，3 时，原式没有意义，舍去；当 m1 时，原式19 10四解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共 16 分）21我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t（h）：A0t0.5，B0.5t1，C1t1.5，Dt1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的
21、学生共100人，a40（2）补全条形统计图（3）扇形图中“0t 0.5”部分的圆心角是18度【分析】（1）根据图形得出本次调查参加义务劳动的学生35 35%，求出即可；（2）求出劳动时间在0.5 t1 范围内的学生，再画出图形即可；（3）先求出劳动时间在0t0.5 范围内的学生占总数的百分比，再求出圆心角即可解：（1）本次调查参加义务劳动的学生共35 35%100（人），100a%40，a40，故答案为：100，40；（2）如图所示：；（3）1 20%35%100%5%，扇形图中“0t0.5”部分的圆心角是360 5%18，故答案为：1822如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于201
22、9 年 12 月 18 日动工，2020 年2 月 28 日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”该桥的引桥两端各由 2 个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E 点距地面5m，从 E 点处测得D 点俯角为30，斜面 ED 长为 4m，水平面 DC 长为 2m，斜面 BC 的坡度为 1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB 的长（结果精确到0.1m，1.41，1.73）【分析】作DF AE 于 F，DG AB 于 G，CH AB 于 H，则 DF GA，DCGH2，AFDG CH，由含30角的直角三角形的性质得出EF DE 2，DF EF 2，求出 CHAF3，由
23、斜面BC 的坡度求出BH4CH 12，进而得出答案解：作 DFAE 于 F，DGAB 于 G，CHAB 于 H，如图所示：则 DF GA，DCGH 2，AF DG CH，由题意得：EDF 30，EFDE42，DF EF 2，AE 5，CH AFAEEF 5 23，斜面 BC 的坡度为1：4，BH 4CH 12，AB AG+GH+BH 2+2+122+14 17.5（m），答：处于同一水平面上引桥底部AB 的长约为17.5m五解答题（本大题共2 小题，每小题9 分，共 18 分）23为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品某校花7200 元购进洗手液与84 消毒液共400 瓶，已知
24、洗手液的价格是25 元/瓶，84 消毒液的价格是15 元/瓶求：（1）该校购进洗手液和84 消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84 消毒液共150 瓶，总费用不超过2500 元，请问最多能购买洗手液多少瓶？【分析】（1）设该校购进洗手液x 瓶，该校购进84 消毒液 y 瓶，根据“共400 瓶；花费 7200 元”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设能购买洗手液a 瓶，则能购买洗手液（150a）瓶，根据总费用不超过2500 元，列出不等式求解即可解：（1）设该校购进洗手液x 瓶，该校购进84 消毒液 y 瓶，依题意有，解得故该校购进洗手液120 瓶，该校购进84
25、消毒液 280 瓶；（2）设能购买洗手液a 瓶，则能购买洗手液（150a）瓶，依题意有25a+15（150a）2500，解得 a25故最多能购买洗手液25 瓶24如图，?ABCD 中，BC2AB，ABAC，分别在边BC、AD 上的点 E 与点 F 关于 AC对称，连接EF、AE、CF、DE（1）试判定四边形AECF 的形状，并说明理由；（2）求证：AEDE【分析】（1）由轴对称的性质得出AEAF，CECF，OE OF，证 AOF COE（AAS），得出AF CE，则 AEAF CECF，即可得出四边形AECF 是菱形；（2）证 ACB30，ABE 是等边三角形，则 AE ABBE，AEB 60
26、，AEC120，证出CEBEBCABCD，则 CED CDE 30，进而得出结论【解答】（1）解：四边形AECF 是菱形，理由如下：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC，OAF OCE，点 E 与点 F 关于 AC 对称，AE AF，CECF，OEOF，在 AOF 和 COE 中，AOF COE（AAS），AF CE，AE AFCECF，四边形AECF 是菱形；（2）证明：BC2AB，ABAC，ACB 30，B60，AE CE，EAC ACB30，BAE 90 30 60 B，ABE 是等边三角形，AE ABBE，AEB 60，AEC 120，四边形ABCD 是平行四边形，AB CD，AB
27、CD，DCE 180 B120，又 CEAE，CE BEBCABCD，CED CDE30，AED 120 30 90，AE DE六、综合题（本大题共2 小题，每小题10 分，共 20 分）25如图，点 C 在以 AB 为直径的 O 上，BD 平分 ABC 交O 于点 D，过 D 作 BC 的垂线，垂足为E（1）求证：DE 与O 相切；（2）若 AB5，BE4，求 BD 的长；（3）请用线段AB、BE 表示 CE 的长，并说明理由【分析】（1）连接 OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到ODB CBD，根据平行线的性质得到ODDE，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到ADB 90，根据
28、相似三角形的性质即可得到结论；（3）过 D 作 DH AB 于 H，根据角平分线的性质得到DH DE，根据全等三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：连接OD，ODOB，ODB OBD，BD 平分 ABC，OBD CBD，ODB CBD，ODBE，BE DE，ODDE，DE 与O 相切；（2）解：AB 是O 的直径，ADB 90，BE DE，ADB BED 90，BD 平分 ABC，OBD CBD，ABD DBE，BD 2；（3）解：CE ABBE，过 D 作 DH AB 于 H，BD 平分 ABC，DEBE，DH DE，在 Rt BED 与 Rt BHD 中，RtBED RtBHD（HL
29、），BH BE，DCE A，DGA DEC90，ADH CDE（AAS），AH CE，AB AH+BH，AB BE+CE，CE ABBE26如图，抛物线经过点A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点 P（m，n）是抛物线上的动点，当3m0 时，试确定m 的值，使得 PAC的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B 的点 D，满足 DA2DC2 6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）据题意可设抛物线的解析式为ydx+3）（x1），将点代入C（0.3）解出 a，即可求出抛物线的解析（2）先求出直线AC 的解析式，然后根据当3m0 时，点
30、P（m，n）在直线AC 上方，过点P 作 x 轴的垂线与线段AC 相交于点Q，可将 xm 分别代入y一 x22x+3和 yx+3 得 P（m，m22m+3），Q（m，m+3），从而得出PQ 的代数式，从而可求出 m 的值；（3）由题意可得AB4，OB1，CO3，根据 BC210，CAO 45，可求出BA2BC26，连接 BC，过 B 作 AC 的垂线交抛物线于点D，交 AC 于点 H，可得DA2DC2HA2HC2BA2BC26，根据 CAO DBA，可得 BD 与 AC 关于 AB 的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴x 1 对称，即点D 与点 C 关于抛物线的对称轴 x 1 对称，从而可求
31、出点D 的坐标解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为ya（x+3）（x1），把 C（0，3）代入，可得a 1，抛物线的解析式为y x22x+3（2）设直线 AC 的解析式为ykx+b，将 A（3，0），C（0，3）代入得到，解得，直线 AC 的解析式为yx+3当 3m0 时，点 P（m，n）在直线 AC 的上方，过点 P 作 x 轴的垂线交AC 于 Q则P（m，m22m+3），Q（m，m+3），PQ m22m+3（m+3）m2 3m，（m+）2+，3m0，当 m时，PQ 的值最大，此时 SPAC?PQ?AOPQ最大，m（3）由 A（3，0），B（1，0），C（0，3），可得AB4，OB 1，OC3，BC210，CAO 45，BA2BC26，连接 BC，过点 B 作 AC 的垂线交抛物线于D，交 AC 于 H则 AHB 90，DBA CAO45，DA2DC2HA2HC2AB2BC26，CAO DBA，BD，AC 关于 AB 的垂直平分线的对称，即关于抛物线的对称轴x 1 对称，点 D 与点 C 关于抛物线的对称轴x 1 对称，C（0，3），点 D 的坐标为（2，3）