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1、自主招生考试数 学 试 题第卷（选择题，共36 分）一、选择题（本大题共12 个小题，每小题3 分，共 36 分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）14的相反数是 ()A14 B14 C4 D42科技城2012 年国民生产总值约为14000000 万元，用科学记数法表示为 ()A 71410 B71.410C61.4 10 D70.14 103一次数学测试后，随机抽取九年级某班5 名学生的成绩如下：91，78，98，85，98 关于这组数据说法错误的是()A平均数是91 B极差是20 C中位数是91 D众数是98 4在一个不透明的盒子中装有3 个红球、2 个黄球和1 个绿球，这些
2、球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为（）A12 B13 C16 D1 5已知 x 是实数，且(2)(3)10 xxx，则 x2+x+1 的值为（）A13 B 7 C 3 D 13 或 7 或 3 6.如图，在四边形ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则sinC等于 ()A.34 B.43 C.45 D.357如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是 ()A点(0，3)B 点(2，3)C点(6，1)D点(5，1)8将抛物线23xy向左平移2 个单位，再向
3、下平移1 个单位，所得抛物线为（）A23(2)1yx B23(2)1yx C 23(2)1yx D23(2)1yx9图中各图是在同一直角坐标系，二次函数y=ax2+(a-c)x c 与一次函数yaxc的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是()10.如图O是ABC的外接圆，AD是O的直径，O半径为23，2AC，则sin B为（）A23 B32 C34 D4311如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4 将矩形ABCD绕点 C 沿顺时针方向旋转90后，得到矩形FGCE（点 A、B、D的对应点分别为点F、G、E）动点 P从点 B开始沿 BC-CE运动到点E后停止，动点Q从点 E开始沿 EF-F
4、G运动到点 G后停止，这两点的运动速度均为每秒1 个单位若点P和点 Q同时开始运动，运动时间为x（秒），APQ的面积为y，则能够正确反映y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（）A B C D 12.如图，在ABC中，5ACAB，8CB，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（）A25244B2524 C2512 D25124第卷（非选择题，共114 分）二、填空题（本大题共6 个小题，每小题4 分，共 24 分.请将答案填入答题卡相应的横线上.）13函数2yx中，自变量x的取值围是14分解因式：3244aaa15已知O1与O2的半径分别是方程28150 xx的两根,且两圆的圆心距
5、122O Ot,若这两个圆相交,则 t 的取值围为 .16.在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A(1,0)处第一次，它从点A先向右跳跃1 个单位，再向上跳跃1 个单位到达点A1；第二次，它从点A1先向左跳跃2 个单位，再向下跳跃2 个单位到达点A2；第三次，它从点A2先向右跳跃3 个单位，再向上跳跃3 个单位到达点A3；第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4 个单位到达点A4；依此规律进行，点7A的坐标为；若点 An的坐标为（2014，2013），则 n=17.如图，PA 与O相切于点A，PO 的延长线与O交于点C，若O的半径为3，PA=4 弦AC 的长为18.在直角梯形
6、ABCD中，ADBC，90ABCABBCE，为AB边上一点，15BCE，第 12 题图A C B D O 第 10 题图第 11 题图第 17 题P B O C A 绵阳市 2008-2012 年农业观光园经营年收入统计图绵阳市 2009-2012 年农业观光园经营年收入增长率统计表且AEAD连接DE交对角线AC于H，连接BH下列结论：ACDACE；CDE为等边三角形；2EHBE；EBCEHCSAHSCH其中结论正确的是()三、解答题(本大题共7 个小题，共90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19（本题共2 个小题，每小题8 分，共 16 分）（1）计算：0112(31)2sin
7、 603（2）先化简，后计算：，其中33a.20（本小题满分12 分）近年来，郊区依托丰富的自然和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目，城郊旅游业迅速崛起，农民的收入逐步提高以下是根据市统计局2013 年 1月发布的“市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分请根据以上信息解答下列问题：(1)市 2010 年农业观光园经营年收入的年增长率是；（结果精确到1%）(2)请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（结果精确到0.1）(3)如果从 2012 年以后，市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长，请你估算，若经营年收入要不低于2008 年的 4 倍，至
8、少要到年（填写年份）.21.（本小题满分12 分）如图，已知等腰直角ABC 中，BAC=90，圆心 O在ABC部，且O经过 B、C两点，若BC=8，AO=1，求O 的半径.年份年增长率（精确到1%）2009 年12%2010 年2011 年22%2012 年24%第 18 题图22（本小题满分12 分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2300 元，销售单价定为 3000 元.在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售;若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均
9、降低10 元，但销售单价均不低于2500 元.（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2500 元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y 元，求 y（元）与 x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值围.23（本小题满分12 分）如图，在 ABC 中，AB=AC，以 AC为直径作 O交 BC于点 D，过点 D 作 FE AB于点 E，交 AC的延长线于点F(1)求证：EF与 O相切；(2)若 AE=6，sin CFD=35，求 EB的长24.（本小题满分 12 分）如图，AB为O 的直径，AB=4，P为 AB上一点，过点 P作O 的弦 CD，设BCD=mA
10、CD（1）已知221mm，求 m的值，及 BCD、ACD 的度数各是多少？CBOA第 21 题第 23 题图（2）在（1）的条件下，且21PBAP，求弦 CD的长；（3）当323-2PBAP 时，是否存在正实数m，使弦CD最短？如果存在，求出m的值，如果不存在，说明理由.25.（本小题满分14 分）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l：34yxm与x轴、y轴分别交于点 A和点 B(0,32)，抛物线234yxbxc经过点 B，且与直线l的另一个交点为C9(,)4n (1)求 n 的值和抛物线的解析式；(2)点 D在抛物线上，且点D的横坐标为(0)ttnDE y轴交直线l于点 E，点 F
11、在直线l上，且四边形 DFEG 为矩形（如图2）若矩形DFEG的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及p 的最大值；(3)M是平面一点，将 AOB 绕点 M沿逆时针方向旋转90后，得到A1O1B1，点 A、O、B的对应点分别是点 A1、O1、B1若A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求出点A1的横坐标(实验学校)2013 年自主招生试卷每小题 3 分，共 36 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B A B C C D B 题号9 10 11 12 图 1 图 2 第 24 题图PCDOBA答案D A A D 二、填空题（本大题共6 个小题，每小题4 分，共 24 分）
12、13.2x 14.2(2)a a 15.06t 16.(5,4),4025 17.12 55 18.（1）（2）（4）三 19（本题共2 个小题，每小题8 分，共 16 分）（1）解：原式3142 3123233.8分（2）原式=5分当33a时，原式2 33.8分20.（1）17%；4分（2）所补数据为21.7；6分补全统计图如图20；8 分（3）2015 12分21.解：联结BO、CO，联结 AO并延长交BC于 D 1 分等腰直角三角形ABC且BAC=90 AB=AC 2 分 O 是圆心OB=OC直线 OA是线段 BC的垂直平分线4 分 ADBC，且 D是 BC的中点6 分在 RtABC中，
13、AD=BD=BC21BC=8 BD=AD=4 8分AO=1 OD=BD-AO=3 10 分AD BC BDO=90OB=5432222BDOD12 分22.解：（1）设商家一次购买该种产品x 件时，销售单价恰好为2500 元，依题意得300010(10)2500 x，解得60 x.3分答：商家一次购买该种产品60 件时，销售单价恰好为2500 元.4分（2）当010 x时，(30002300)700yxx;6分当1060 x时，2300010(10)230010800yxxxx;8分当60 x时，(25002300)200yxx.10分所以，ZxxxZxxxxZxxxy,60,200,6010
14、,80010,100,7002 1分23.（1）证明：连接OD.OC=OD，OCD=ODC.1分AB=AC，ACB=B.2 分ODC=B.OD AB.3分ODF=AEF.4分 EF AB，ODF=AEF=90.5 分第 23 题图图 20 CBOA第 21 题OD EF.OD为O 的半径，EF 与O 相切.6 分（2）解：由（1）知：OD AB，OD EF.在 RtAEF中，sin CFD=AEAF=35，AE=6.AF=10.8分OD AB，ODF AEF.AEODAFOF.9 分设O 的半径为r，10-r10=r6.解得 r=154.10分AB=AC=2r=152.EB=AB-AE=152
15、-6=32.12 分24.解：（1）由221mm，得2m.1分连结 AD、BD.AB是O 的直径 ACB=90，ADB=90，又 BCD=2 ACD，ACB=BCD+ACD.ACD=30，BCD=60.2分（2）连结 AD、BD，则 ABD=ACD=30，AB=4，AD=2，32BD.3分21PBAP，34AP，38BP.4分APC=DPB，ACD=ABD.APC DPB 5分BPPCDPAPDBAC，3383234DBAPDPAC，4 8323 39PC DPAP BP同理 CPB APD 6分ADBCDPBP，316238ADBPDPBC，由得DPAC338，由得16,3BCDP23316
16、338：BCAC，在ABC中，AB=4，2224)316()338DPDP（，372DP.第 24 题图由2 73239PC DPPC，得16 721PC.16 72 710 72137DCCPPD.8分方法二由得23316338：BCAC，在ABC中，AB=4，72143774AC，7782774BC.由316778DPDPBC，得372DP.由2 73239PC DPPC，得16 721PC.16 72 710 72137DCCPPD.8分（3）连结 OD，由323-2PBAP，AB4，则323-24APAP，则APAP）（）（3-2)32(432，则32AP.32APOP.10分要使 C
17、D最短，则CD AB于 P，于是23cosODOP POD.30POD，ACD=15，BCD=75，m=5，故存在这样的m值，且 m=5.12分25解：解：（1）直线l：34yxm经过点 B（0，32），32m.直线 l 的解析式为3342yx.第 24 题直线 l：3342yx经过点9(,)4c n,933,442n解得5n.1分抛 物线234yxbxc经过点9(,)4c n和点 B（0，32），23,29355.44cbc解得3,3.2bc2 分抛物线的解析式为233342yxx.3分（2）直线l：3342yx与 x 轴交于点A，点 A的坐标为(2,0).OA=2.在 RtOAB中，OB=
18、32，AB=22OAOB=22352()22.5分DE y轴，OBA=FED.矩形 DFEG中，DFE=90，DFE=AOB=90.OAB FDE .6分OAOBABFDFEDE.45OAFDDEDEAB，35OBFEDEDEAB.7分FGyxOBADCEl图 25 p=2(FD+FE)=43142()555DEDE.D（t，233342tt），E（t，3342t），且05t，223333315()(3)424244DEttttt.22143152121()544102ptttt.2215105()1028pt，且21010，当52t时，p有最大值1058 9分（3）根据题意可得11O B与x轴平行，11O A与y轴平行.1）当11,OB在抛物线上时，根据条件可设11113(,),(,)2O t yB ty，则223333333()3()424222tttt，解得54t.11 分 2）当11,A B在抛物线上时，根据条件可设11113(,),(,2)2A t yB ty，则223333333()3()2424222tttt，解得1336t.13 分综上，点A1的横坐标为54或1336.14分