高等学校招生全国统一考试数学文试题(陕西卷,解析).pdf

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1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷，解析版）-1-/12 2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷，解析版）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1设a，b是向量，命题“若ab，则|ab”的逆命题是（）（A）若ab，则|ab（B）若ab，则|ab（C）若|ab，则ab（D）若|ab，则ab【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。【解】选 D 原命题的条件是ab，作为逆命题的结论；原命题的结论是|ab，作为逆命题的条件，即得逆命题“若|ab，则

2、ab”，故选 D2设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x，则抛物线的方程是（）（A）28yx（B）24yx（C）28yx（D）24yx【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键【解】选 C 由准线方程2x得22p,且抛物线的开口向右（或焦点在x轴的正半轴），所以228ypxx3.设0ab，则下列不等式中正确的是（）（A）2ababab（B）2abaabb（c）2abaabb (D)2ababab【分析】根据不等式的性质，结合作差法，放缩法，基本不等式或特殊值法等进行比较【解】选B（方 法 一）已 知ab和2abab，比 较a与ab，因 为22()()0aaba ab，所以aab，同理由

3、22()()0babb ba得abb；作差法：022abbab，所以2abb，综上可得2abaabb；故选 B（方法二）取2a，8b，则4ab，52ab，所以2abaabb4.函数13yx的图像是（）2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷，解析版）-2-/12【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断【解】选B 取18x，18，则12y，12，选项 B，D符合；取1x，则1y，选项 B符合题意二、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）6.2837.838.8-2 9.23【分析】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算

4、【解】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3218222833V.6.方程cosxx在,内（）(A)没有根 (B)有且仅有一个根(C)有且仅有两个根（D）有无穷多个根【分析】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，观察直观判断【解】选C 构造两个函数|yx和cosyx，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察知图像有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷，解析版）-3-/12 7.如右框图，当126,9,xx8.5p时，3x等于（）(A)7 (B)8 (C)10 （D）11【分

5、析】按照程序框图的逻辑顺序进行计算【解】选B 126,9,xx3|9|3x；又8.5p，127.52xx，显然3|9|3x不成立，即为“否”，有3|9|3x，即3612x，此时有398.52x，解得38x，符合题意，故选B8.设集合22|cossin|,My yxxxR，|1xNxi，i为虚数单位，xR，则MN为（）(A)(0,1)(B)(0,1 (C)0,1)(D)0,1【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。【解】选C 22|cossin|cos2|0,1yxxx，所以0,1M；因为|1xi，即|1xi，所以|1x，又因为xR，所以11x，即(1,1)

6、N；所以0,1)MN，故选 C.9设1122(,),(,),xyxy ，(,)nnxy是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（）(A)直线l过点(,)x y（B）x和y的相关系数为直线l的斜率（C）x和y的相关系数在0 到 1 之间2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷，解析版）-4-/12（D）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断【解】选A 选项具体分析结论A 回归直线l一定过样本点中心(,)x y；由回归直线

7、方程的计算公式aybx可知直线l必过点(,)x y正确B 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同不正确C 相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到 1 之间时，两个变量为正相关，在1到 0之间时，两个变量负相关不正确D l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关，也不一定是平均分布不正确10植树节某班20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10 米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1 到 20 依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）

8、（A）和（B）和 (C)和 (D)和【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论【解】选D （方法一）选项具体分析结论A 和：10(1219)23800比 较 各 个路 程 和 可知 D 符合题意B：10(128)2(1211)22040：10(129)10(1210)2=2000 C：10(129)10(1210)2=2000 D 和：路程和都是2000（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10 个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以

9、计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是10(1219)219(1 19)10238002；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷，解析版）-5-/12 10(129)10(1210)29(19)10(1 10)102 1022290011002000，所以路程总和最小为2000 米.(二）填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分）11设lg,0()10,0 xx xf xx，则(2)ff_.【分析】由2x算起，先判断x的范围，是大于0，还是不大于0,；

10、再判断(2)f作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果【解】20 x，21(2)100100f，所 以22(10)lg102f，即(2)2ff【答案】212如图，点(,)x y在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2xy的最小值为 _.【分析】本题为线性规划问题，采用数形结合法解答，解答本题的关键是确定目标函数过哪一个点时取得最小值【解】目标函数2zxy，当0 x时，zy，所以当y取得最大值时，z的值最小；移动直线20 xy，当直线移动到过点A时，y最大，即z的值最小，此时2 1 11z【答案】1 13观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+1

11、0=49 照此规律，第五个等式应为_.【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，根据以上规律写出第五个等式，注意行数、项数及其变化规律是解答本题的关键【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是21n；等式右边都是完全平方数，行数等号左边的项数1=1 1 1 2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷，解析版）-6-/12 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7 则第 5 行等号的左边有9 项，右边是9 的平方，所以2565(251)19，即561381

12、【答案】56789 1011 12 1381（或561381）14设nN，一元二次方程240 xxn有整数根的充要条件是n【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算【解】41642nx24n，因为x是整数，即24n为整数，所以4n为整数，且4n，又因为nN，取1,2,3,4n验证可知3,4n符合题意；反之3,4n时，可推出一元二次方程240 xxn有整数根【答案】3 或 4 15（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A（不等式选做题）若不等式|1|2|xxa对任意xR 恒成立，则a的取值范围是【分析】先确定|1|2|xx的取值范围，

13、则只要a不大于|1|2|xx的最小值即可【解】当1x时，|1|2|12213xxxxx；当12x时，|1|2|123xxxx；当2x时，|1|2|12213xxxxx；综上可得|1|2|3xx，所以只要3a，即实数a的取值范围是(,3【答案】(,3B（几何证明选做题）如图，B=D，AEBC，90ACD，且 AB=6，AC=4，AD=12，则 AE=【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解【解】因为AEBC，2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷，解析版）-7-/12 所以 AEB=90ACD，又因为B=D，所以AEB ACD，所以ACADAEAB

14、,所以64212AB ACAEAD【答案】2 C（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy中，以原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A，B分别在曲线1C：3cossinxy（为参数）和曲线2C：1上，则|AB的最小值为【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程【解】曲线1C的方程是22(3)1xy，曲线2C的方程是221xy，两圆外离，所以|AB的最小值为22301 11【答案】1（3）解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6 小题，共75 分）P.（本小题满分12 分）如图，在 ABC中，ABC=45，BAC=90，AD是 BC上

15、的高，沿AD把 ABD折起，使BDC=90。（1）证明：平面平面；（2）设 BD=1，求三棱锥D的表面积。【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算【解】（1）折起前是边上的高，当 折起后，AD，AD，又 DB，平面，又AD 平面 BDC.平面 ABD 平面 BDC（2）由（1）知，DADB,DBDC,DCDA,DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=2,2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷，解析版）-8-/12 111 1,2

16、2DAMDBCDCASSS1322sin 6022ABCS三棱锥D的表面积是13333.222S17.（本小题满分12 分）设椭圆C:222210 xyabab过点（0，4），离心率为35（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标【分析】（1）由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；然后利用中点坐标公式求解【解】（1）将点（0，4）代入C的方程得2161b,b=4,又35cea得222925aba，即2169125a，5aC的方程为2212516xy（2）

17、过点3,0且斜率为45的直线方程为435yx，设直线与的交点为11,xy，22,xy，将直线方程435yx代入的方程，得22312525xx，即2380 xx，解得13412x，23412x，AB的中点坐标12322xxx，1212266255yyyxx，即所截线段的中点坐标为36,252011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷，解析版）-9-/12 注：用韦达定理正确求得结果，同样给分18.（本小题满分12 分）叙述并证明余弦定理。【分析】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识学习和巩固【解】叙述：余弦定理：三角形任何一

18、边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC中，a，b，c 为 A，B，C的对边，有2222cosabcbcA，2222cosbcacaB，2222coscababC.证明：（证法一）如图，2cBCACABACAB?222ACACABAB?222cosACACABAAB?222cosbbcAc即2222cosabcbcA同理可证2222cosbcacaB，2222coscababC（证法二）已知ABC中，,A B C所对边分别为,a b c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则(cos,sin),(,0)C bA bAB c，222222222|(

19、cos)(sin)cos2cossinaBCbAcbAbAbcAcbA222cosbcbcA，即2222cosabcbcA同理可证2222cosbcacaB，2222coscababC19.（本小题满分12 分）2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷，解析版）-10-/12 如图，从点1(0,0)P做 x 轴的垂线交曲线xye于点1(0,1),Q曲线在1Q点处的切线与x 轴交于点2P，再 从2P做x 轴 的 垂 线 交 曲 线 于 点2Q，依 次 重 复 上 述 过 程 得 到 一 系 列 点：1122,;,.;,nnPQPQP Q记kP点的坐标为(,0)(1,2,.,)k

20、xkn.（）试求1x与1kx的关系(2)kn（）求112233.nnPQPQPQPQ【分析】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x轴的交点坐标；（2）尝试求出通项|nnPQ的表达式，然后再求和【解】（）设11(,0)kkPx，由xye得111(,)kxkkQxe点处切线方程为111()kkxxkyeexx由0y得11(2)kkxxkn。（）110,1kkxxx，得(1)kxk，(1)kxkkkPQee112233.nnnSPQPQPQPQ112(1)111.11nnneeeeeeee20.（本小题满分13 分）如图，A地到火车站共有两条路径1L和2L，现随机抽取100 位从 A地到达

21、火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间（分钟）14050 5060 选择1L的人数6 12 18 12 12 选择2L的人数0 4 16 16 4（1）试估计40 分钟内不能赶到火车站的概率；（2）分别求通过路径1L和2L所用时间落在上表中各时间段内的频率；（3）现甲、乙两人分别有40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷，解析版）-11-/12 为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径【分析】（1）读懂数表，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；（2）根据频

22、率的计算公式计算；（3）计算选择不同的路径，在允许的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径【解】（1）由已知共调查了100 人，其中40 分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计相应的概率为0.44.（2）选择1L的有 60 人，选择2L的有 40 人，故由调查结果得频率为：所用时间（分钟）14050 5060 选择1L的人数0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 选择2L的人数0 0.1 0.4 0.4 0.1（3）用1A，2A分别表示甲选择1L和2L时，在 40 分钟内赶到火车站；用1B，2B分别表示乙选择1L和2L时，在 50 分钟内赶到火车

23、站由（2）知 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5，P(A1)P(A2)，甲应选择路径1L；P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B2）P（B1），乙应选择路径L2.21.（本小题满分14 分）设()lnf xx，()()()g xf xfx（1）求()g x的单调区间和最小值；（2）讨论()g x与1()gx的大小关系；（3）求a的取值范围，使得()()g ag x1a对任意x0 成立【分析】（1）先求出原函数()fx，再求得()g x，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小

24、值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷，解析版）-12-/12 并由单调性判断函数的正负；（3）对任意x0 成立的恒成立问题转化为函数()g x的最小值问题【解】（1）由题设知1()ln,()lnf xx g xxx，21(),xg xx令()gx0 得x=1，当x（0，1）时，()g x0，()g x是减函数，故（0，1）是()g x的单调减区间。当x（1，+）时，()g x0，()g x是增函数，故（1，+）是()g x的单调递增区间，因此，x=1 是()g x的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以()g x的最小值为(1)1.g(2)1()lngxxx设11()()()lnh xg xgxxxx，则22(1)()xh xx，当1x时，(1)0h，即1()()g xgx，当(0,1)(1,)x时，()0h x，因此，()h x在(0,)内单调递减，当01x时，()(1)0h xh即1()().g xgx（3）由（1）知()g x的最小值为1，所以，1()()g ag xa，对任意0 x，成立1()1,g aa即1,Ina从而得0ae。