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1、第 1 页 共 3 页用构造局部不等式法证明不等式有些不等式的证明，若从整体上考虑难以下手，可构造若干个结构完全相同的局部不等式，逐一证明后，再利用同向不等式相加的性质，即可得证。例 1.若abR，*，ab2，求证：21212 3ab分析：由 a，b 在已知条件中的对称性可知，只有当ab1，即213a时，等号才能成立，所以可构造局部不等式。证明：2133213332132332aaaa()()同理，21332bb()21213323322 3abab()()例 2.设xxxn12，是 n 个正数，求证：xxxxxxxxxxnnn122223122112xn。证明：题中这些正数的对称性，只有当x
2、xxn12时，等号才成立，构造局部不等式如下：xxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnn12221223321212112222，。将上述 n 个同向不等式相加，并整理得：xxxxxxxxxxxnnnn122223122112。例 3.已知aaan12，均为正数，且aaan121，求证：第 2 页 共 3 页aaaaaaaaann121222232112。证明：因aaan12，均为正数，故aaaaaa12121214，aaaaaaaaaaaannnn222323221144，。又aaaaaaaaann12231124441212()，把以上各个同向不等式相加，整理得：aaaaaaaaaaaa
3、nnn121222232112121故aaaaaaaaann121222232112。例 4.设abcR，*，且abc1，求证：111333abcbcacab()()()32。证明：由 a，b，c在条件中的对称性知，只有当abc1时，才有可能达到最小值32，此时刚好14123abcbcbc()。所以，可构造如下局部不等式。14214133abcbcbca bca()，14214133bacacacb acb()，14214133cabababc abc()，11111114333abcbcacababcbcbcacacabab()()()()()12111321323()abcabc第 3 页 共 3 页例 5.设abcR，*，且abc2，求证：abcbcacab2221。证明：由a，b，c 在条件中的对称性知，只有当abc23时，才可能达到最小值1，此时刚好abcbc24。所以，可构造如下局部不等式。abcbcabcacabcababc222444，abcbcacababcabc22212()即abcbcacab2221