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1、构造函数法证明不等式不等式证明是中学数学的重要内容之一由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使其成为各种考试命题的热点问题，函数法证明不等式就是其常见题型即有些不等式可以和函数建立直接联系，通过构造函数式，利用函数的有关特性，完成不等式的证明一、构造一元一次函数证明不等式一、构造一元一次函数证明不等式例 1 设 0 x1，0y1，0z1，求证：x(1y)y(1z)z(1x)1证明：构造一次函数= x(1y)y(1z)z(1x)，整理，得)(xf= (1yz)x(yzyz) 其中 0 x1，)(xf0 x1，0y1，0z1，11yz1当 01yz1 时，在(0，1)上是增函数，于
2、是)(xf=1yz1； )(xf) 1 (f当11yz0 时，在(0，1)上是减函数，于是)(xf= yzyz = 1(1y)(1z)1；)(xf)0(f当 1yz = 0，即 yz = 1 时，= yzyz = 1yz1)(xf综上，原不等式成立例 2 已知 | a |1 ，| b |1，| c |1，求证：abc2abc证明：构造一次函数= (bc1)x2bc，这里， | b |1，| c |1，| x |1，则 bc 1)(xf= 1bc2bc = (1bc)(1b)(1c)0，) 1(f= bc12bc =(1b)(1c)0，) 1 (f1x1，一次函数= (bc1)x2bc 的图象在
3、 x 轴上方，这就是说，当| a |1 )(xf，| b |1，| c |1 时，有(bc1)a2bc0，即 abc2abc二、构造一元二次函数证明不等式二、构造一元二次函数证明不等式例 3 若 a、b、cR+ ，求证：a b c abbcca 222证明 构造函数= x ( bc )xb c bc )(xf222因为 = ( bc ) 4( b c bc ) =3( bc ) 0 ，2222又因为二次项的系数为正数，所以 x ( bc )xb c bc0 对任意实数恒成立222以 a 替换 x 得：a ( bc )ab c bc0，222即 a b c abbc ca222例 4 已知 a、
4、b、c、d、 是满足 abcd = 8，a b c d = 16 的实数，求ee2222e2证：0 e516证明：构造一元二次函数= 4x 2(abcd)a b c d = (xa) (xb) (xc) (xd) 0，)(xf222222222又二次项系数为正数，= 4(abcd) 16(a b c d ) = 4(8 ) 16(16)0，22222e2e2解之得 0 e516故不等式成立三、构造单调函数证明不等式三、构造单调函数证明不等式例 5 已知 a0，b0，求证 ： aa1bb1baba1证明： 构造函数= ，易证= 1当 x0 时单调递增)(xfxx1)(xfxx1x11 ababab0 ， (abab)( ab) ff故 =(abab)( ab) =aa1bb1)1)(1 (2baabba)1abbaabbaffbaba1例 6 对任意自然数 n 求证： (11)(1)(1)41231n313 n证明：构造函数= (11)(1)(1)，)(nf41231n3131n由=1，)() 1(nfnf334313)1311 (nnn323)43() 13()23(nnn0，即是自然数集 N 上的单调递增函数，)(nf) 1( nf)(nf)(nf(11)(1)(1)41231n313 n