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1、数学试卷一、填空题1.已知命题p:“xR,使得25x”,则p为_.2.已知集合1,2A,1,1,|Baa,若ABA,则a_.3.已知偶函数24()aaf xx在0,?上是减函数,则整数a的值是 _.4.125lg2lg 242_.5.已知平面向量,|1,|2,(2)u r u ru ru ru ru ru r,则|2|uu ru r的值是 _.6.已知等差数列na中,4610aa,若前5项的和55S,则其公差为 _.7.已知函数()cos(2)(|)2f xx的一个对称中心是(,0)3,则的值是 _.8.设0,Rxy,则“xy”是“xy”的 _条件.(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”
2、或“既不充分也不必要”)9.设fx是定义在R上且周期为6的函数,在区间3,3上,5,304()2cos,033axxxf xxx,则(2018)fa的值为 _.10.已知平行四边形ABCD中,2,60ADBAD.若E为DC中点,且1AE BDuu u r uu u r,则BD BEu uu r uuu r的值为 _.11.已知定义在0,?的函数()f x满足()3(2)f xf x,当0,2x时,2()2f xxx.设()f x在22,2nn上的最大值为*,nanN,则na的前n项和nS_.12.定义在R上的奇函数()f x,当0 x时,2()2f xxx.若实数m满足(5)()3f mf m
3、,则m的值是 _.13.已知函数1()log(1)1axf xaax,若对于定义域内的任意1x,总存在2x使得21()()f xf x,则实数a的取值范围是_.14.已知函数|()()xxf xxRe,12()421()xxg xaaaaR,若集合|(g()eAxfxR,则实数a的取值范围是 _.二、解答题15.在ABC中,内角,A B C所对的边分别为4,cos5a b cB.1.若4CB,求sin A的值;2.若2ca,求sinsinBC的值.16.设函数()sin()f xAx(,A为常数,且0,0,0A)的部分图象如图所示.1.求,A的值;2.若存在(,0)6x,使得等式2()()0f
4、 xf xm成立,求实数m的取值范围.17.如图,一个角形海湾AOB,2AOB(其中(0,)4).拟用长度为4(百米)的围网围成一个养殖区,有以下两种方案可供选择:方案一:如图 1,围成扇形养殖区OPQ,使得PQ、的弧长为4(百米),其面积记为1S;方案二:如图 2,围成等腰三角形养殖区OCD,使得底边CD的长为4(百米),其面积记为2S1.分别用表示1S,2S;2.为使养殖区的面积更大,应选择何种方案?并说明理由.18.已知na是以a为首项,q为公比的等比数列,nS为它的前n项和.1.当134,S SS成等差数列时,求q的值;2.当,mnlSS S成等差数列时,求证:对任意自然数,m knk
5、lkk aaa也成等差数列.19.已知定义在R上的函数2()(2)2)21f xxaaxaR,()2|g xx.1.当2?a时,求不等式()()f xg x的解集;2.定义(),()()()min(),()(),()()f xf xg xF xf xg xg xf xg x若在区间2,5上,恒有()()F xf x,求实数a的取值范围;当4a时,求()F x在0,上的最小值()m a.20.已知函数2()2ln()f xxaxx aR有两个极值点1212,()xxxx.1.求实数a的取值范围;2.函数fx的图象能否与直线3y相切?若能,求出实数a的值;若不能,请说明理由;3.求证:函数()yf
6、 x有且只有一个零点.参考答案1.答案：2,5xxR解析：2.答案：1 解析：3.答案：2 解析：4.答案：32解析：5.答案：10解析：由题2u ru ru r,所以有220u ru r u r,因为1,2u ru r所以12u r u r,由22224442410u ru ru ru r u ru r所以2u ru r的值为10.6.答案：2 解析：7.答案：6解析：8.答案：充分不必要解析：9.答案：1 解析：10.答案：3 解析：11.答案：31123n解析：12.答案：-3 或-2 解析：13.答案：4a解析：14.答案：10a解析：15.答案：1.因为4cos5B,所以27cos2
7、2cos125BB.又0B,所以23sin1cos5BB,所以3424sin 22sincos25525BBB.因为4CB,即4CB,所以324ABCB,所以3332722431 2sinsin2sincos2cossin 244422522550ABBB2.解法 1:在ABC中,因为4cos5B,所以222425acbac.因为2ca,所以22242522ccbcc,即22920bc,所以3 510bc又由正弦定理得sinsinBbCc,所以sin3 5sin10BC解法 2.因为4cos5B,(0,)B,所以23sin1cos5BB因为2ca,由正弦定理得sin2sinCA,所以68sin
8、2sincossin55CBCCC,即sin2cosCC.又因为22sincos1CC,sin0C,解得2 5sin5C,所以sin3 5sin10BC解析：16.答案：1.由图象得3A,因为最小正周期4 7()3 126T,所以22T,所以()3sin(2)f xx,由7()312f,得72()2122kkZ,所以523kkZ,因为0,所以32.由 1 知()3sin(2)3f xx,因为(,0)6x,所以2(0,)33x,所以30sin(2)32x,所以30()2f x.设()f xt,则3(0,)2t,问题等价于方程20ttm在3(0,)2上有解,因为2ytt在1(0,)2上单调递增,在
9、1 3(,)2 2上单调递减,所以2ytt的值域为3 1(,4 4,即实数m的取值范围是3 1(,4 4解析：17.答案：1.在图一中,设OPr,PQl,则24lr,即2r,所以11422Slrr.在图二中,取CD中点M,连结OM,因为OCOD,所以OMCD且OM平分AOB,在Rt OCM中,因为2CM,所以2tantanCMOM,所以21124422tantanSCD OM2.令()tan(0)2f xxxx,则22sinsin()()1coscosxxfxxx,当(0,)2x时,()0fx,所以()f x在(0,)2上单调递增,所以当(0,)2x时,总有()(0)0f xf,即tan xx
10、在(0,)2上恒成立(*),在(*)中令x,则tan,所以2144tanSS;所以两种方案中,所围面积最大的是1S.答:为使养殖区面积最大,应选择方案一解析：18.答案：1.由已知,1nnaaq,因此223134,(1),(1)Sa SaqqSaqqq.当134,S SS成等差数列时,4331SSSS,可得32aqaqaq,化简得210qq.解得152q.2.证明:若1q,则na的每项naa,此时,mkn kl kaaa显然构成等差数列.若1q,由,mnlSSS构成等差数列可得2mlnSSS,即(1)(1)2(1)111mlna qa qa qqqq.整理得2mlnqqq,因此,11()22k
11、mlnkm klknkaaaqqqaqa,所以,m kn kl kaaa也成等差数列.解析：19.答案：1.()()f xg x即为2232|xxx.当0 x时,*即为2430 xx,解得13x;当0?x时,*即为230 x,无解;所以,当2?a时,不等式()()f xg x的解集为1,32.因为()()F xf x在2,5上恒成立,所以()()f xg x在2,5上恒成立,即不等式22210 xaxa在2,5上恒成立,所以(2)320(5)2480haha,解得3a.因为0?x,所以2()min(),()min(22)21,2 F xf xg xxa xax,由()()f xg x得2221
12、0 xaxa,即(1)(21)0 xxa,解得1x或21xa,因为4a,所以211a,所以fx与g x的图象有两个交点,结合图象可知(),01()(),121(),21g xxF xf xxag xxa当01x时,min()(0)0F xg;当 121xa时,2()(22)21F xxa xa,因为4a,所以1121aa,所以()F x在1,1a上单调递减,在(1,21)aa上单调递增,2min()(1)42F xf aaa;当21xa时,()F x单调递增,()(21)42F xgaa因为4a,所以242(4)20aaa a且24242aaa,所以2()42m aaa解析：20.答案：1.函
13、数()f x的定义域为0,?,222()xaxfxx.因为函数()f x有两个极值点1212,()xxxx,所以方程2220 xax一定有两个不相等的正根1212,()xxxx,所以21212160,0,21,aaxxx x解得4a,此时f()x在1(0,)x和2(,)x上单调递增,在12,x x上单调递减,所以实数a的取值范围是4,2.假设函数fx的图象与直线3y相切于点0(,3)x,其中00 x,则00()3,()0,f xfx即200020002ln3,220,xaxxxaxx将20022axx代入方程20002ln3xaxx,得200ln102xx(*),令2()2l()n10g xx
14、xx,2(1)(1)()22xxg xxxx,当01?x时,()0gx,()g x单调递增;当1x时,()0gx,()g x单调递减;所以max()(1)0g xg,所以(*)有唯一解01x,将01x代入20002ln3xaxx,得4a,与 1 中4a矛盾,故fx的图象不能与直线3y相切3.由 1 知211222220220 xaxxax且1201xx,又因为f()x在1(0,)x和2(,)x上单调递增,在12,x x上单调递减,所以1112211212ln2ln2()()0f xf xxxaxxx,所以当20 xx时,()0f x.又4a时()2ln0f aa,且f()x的图象在2(,)xa上是一条连续不断的曲线,所以存在2(,)txa使得()0f t,所以f()x在0,?上有且只有一个零点解析：