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1、内蒙古呼和浩特市开来中学2019-2020 学年高二上学期期末考试试题数学（理）一、选择题（每题5 分，共 60 分）1.设命题2:0,log23pxxx，则p为()A.20,log23xxxB.02000,log23xxxC.02000,log23xxxD.20,log23xxx2.在ABC中，已知三边满足()()3abcabcab，则 C等于（）A.15B.30C.45D.603.椭圆22214xym与双曲线22212xym有相同的焦点，则m的值是()A.1B.1 C.-1 D.不存在4 在ABC中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,S表示 ABC的面积,若,则B=()A.90B.
2、60C.45D.305.在数列na中,112,221nnaaa,则101a的值是()A.52 B.51 C.50 D.49 6.对于常数m,n,“0mn，”是“方程221mxny表示的曲线是椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.数列1111,25 8 8 113132nn的前n项和为()A.32nn B.64nn C.364nn D.12nn8.过椭圆22221(0)xyabab的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P,2F 为右焦点,若1260F PF,则椭圆的离心率为()A.22 B.33 C.12 D.139.在棱长为 1的正方体1111
3、ABCDABC D中,M,N分别为11A B和1BB的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是()A.32 B.1010 C.35 D.2510.如图，已知点(22,0)Q及抛物线24xy上的动点(,)P x y，则yPQ的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.2 211.设Rx,则“12x”是“2210 xx”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要必要条件 D.既不充分也不必要条件12.已知二面角l为60,动点P、Q分别在面、内,P到的距离为3,Q到的距离为2 3,则P、Q两点之间距离的最小值为()A.2 B.2 C.2 3 D.4二、填空题（每题5 分，共 20 分）
4、13.已知实数,x y满足1,3,10,xyxy则222xyx的最小值是 _.14.设命题2:p aa；命题:q对任何Rx，都有2410 xax.若命题pq为假命题，pq为真命题，则实数a的取值范围是 _.15.已知抛物线x4y2，以点）（1,4P为中点的抛物线的弦AB，则弦AB所在直线方程 _.16.椭圆22221(0)xyabab，点12,A B BF依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线2AB与直线1B F的交点恰在直线2axc上，则椭圆的离心率为_.三、解答题（17 题 10 分，18-22题，每题12 分，共 70 分）17.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西 60 方向的B处,
5、且与岛屿A相距 12 海里,渔船乙以 10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上,此时到达 C 处.(1).求渔船甲的速度;(2).求 sin的值.18.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3，点(3,0)是双曲线的一个顶点(1).求双曲线的方程；(2).经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为 30 的直线，直线与双曲线交于不同的两点,A B，求|AB的长。19.如图,四面体ABCD中,O、E分别,BD BC的中点,2,2CABCCDBDABAD.(1).求证:AO平面BCD;(2)求异面直线AB与CD所成角
6、的余弦值;20.已知数列na是等比数列,12a,21a是1a和3a的等差中项.(1).求数列na的通项公式;(2)设22log1nnba,求数列nna b的前n项和nT21.设命题:p实数x满足22430 xaxa,其中0a；命题:q实数x满足2260280 xxxx.(1).若1a,且pq为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.22.如图,四棱柱1111ABCDA BC D中,侧棱1A A底面ABCD,/ABDC,ABAD,1ADCD,12AAAB,E为棱1AA的中点.(1).证明11B CCE;(2)求二面角11BCEC的正弦值;(3)设点M在线段EC
7、1上，且直线AM与平面11AADD所成角的正弦值为62，求线段AM的长.参考答案一、选择题1.答案：C 解析：全称命题的否定为特称命题，所以p为00 x，200log23xx.故选 C 2.答案：D 解析：由()()3abcabcab，得22223aabbcab222122abcab，cos60C，故选 D。考点：本题主要考查余弦定理、代数式恒等变形。点评：基本题型，从()()3abc abcab出发，变换出22223aabbcab，便于应用余弦定理。3.答案：A 解析：验证法：当1m时，21m，对椭圆来说，2224,1,3abc.对双曲线来说，2221,2,3abc，故当1m时，它们有相同的
8、焦点.直接法：显然双曲线的焦点在x轴上，故2242mm，则21m，即1m.4.答案：C 解析：由正弦定理可知所以.解得,因此5.答案：A 解析：1221nnaa,121nnaa.即112nnaa.na是以为公差的等差数列.1011101 125052aad.6.答案：B 7.答案：B 解析：8.答案：B 解析：由题意得,知2,bPca,又1260F PF,有232baa,从而可得33cea,故选 B.9.答案：D 解析：10.答案：A 解析：如图所示，过点P 作 PM 垂直准线于点M，则由抛物线的定义可知11yPQPMPQPFPQ，当且仅当,P F Q 三点共线时，PFPQ最小，最小值为22(
9、220)(01)3QF，则yPQ的最小值为312.11.答案：A 解析：由2210 xx,得(1)(21)0 xx,即1?x或12x,212102xxx,而212102xxx.12.答案：C 二、填空题13.答案：1 解析：设22222(1)1xyxxy表示可行域中的点到(1,0)的距离的平方与1的差,画出可行域,可知(1,0)到直线10 xy的距离的平方最小,则的最小值为1.14.答案：11,0,122解析：由2aa得01a，:01pa；由2410 xax恒成立知21640a，解得1122a.11:22qa.pq为假命题，pq为真命题，p与q一个为真命题一个为假命题.当p为假命题q为真命题时
10、，102a；当p为真命题q为假命题时，112a.实数a的取值范围是11,0,12215.答案：y=2x-7 16.答案：1/2 三、解答题17.答案：(1).依题意知120BAC,12AB(海里)10220AC(海里),BCA,在ABC中,由余弦定理得2222cosBCABACAB ACBAC2212202 1220cos120784,解得28BC,渔船甲的速度为142BC(海里/时)(2).在ABC中,12AB(海里),120BAC,28BC(海里),BCA,由正弦定理,得sinsin120ABBC,312sin1203 32sin2814ABBC.解析：18.答案：(1).双曲线2222:
11、1(0,0)xyCabab的离心率为3，点(3,0)是双曲线的一个顶点，33caa解得3,6cb，双曲线的方程为22136xy.(2).双曲线22136xy的右焦点为2(3,0)F，经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30 的直线的方程为3(3)3yx联立221363(3)3xyyx,得256270 xx.设1122(,),(,)A xyB xy，则1212627,55xxx x.所以2162716 3|1+()4()3555AB解析：19.答案：1.证明:连结OC.,BODOABADAOBD.,BODOABCDCOBD.在AOC中,由已知可得1,3AOCO,而2AC,222,90AOCOACAO
12、C,即AOOC.BDOCO,AO平面BCD2.方法一:取AC的中点M,连结,OMME OE,由E为BC的中点知/MEAB,/OEDC.直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在OME中,121,1222EMABOEDC,OM是直角AOC斜边AC上的中线,112OMAC,2cos4OEA,即异面直线AB与CD所成角的余弦值为24.方法二:以O为原点,以 OB为 x 轴，建立空间直角坐标系,则131,0,0,1,0,0,(0,3,0),(0,0,1),022BDCAE,(1,0,1),(1,3,0)BACD2cos,4BA CDBA CDBA CD异面直线AB与CD所成角的余弦值为
13、2420.答案：1.设数列na的公比为q,因为12a,所以22aq,322aq因为12a,21a是1a和3a的等差中项,所以21321aaa即22 2122qq,化简得220qq.因为公比0q,所以2q所以111222()nnnnaa qnN2.因为2nna,所以22log121nnban.所以21 2nnna bn,则23132527221 221 2nnnTnn,2341232527221 221 2nnnTnn.-得,2313222222221 2nnnTn111432221 2221 21212nnnnn,所以1221 2nnTn解析：21.答案：1.由22430(0)xaxaa，得3
14、axa，即p为真命题时，3axa.由2260280 xxxx得2324xxx或即23x.即q为真命题时，23x.1a时，:13px.由pq为真，知,p q均为真命题，则1323xx得23x.所以实数x的取值范围为(2,3).2.设|3,|23Ax axaBxx.由题意知p是q的必要不充分条件，所以BA.则0233aa解得12a.所以实数a的取值范围为1,2.解析：22.答案：1.如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得0,0,0A,0,0,2B,1,0,1C,10,2,2B,11,2,1C,0,1,0E.证明:易得11(1,0,1)BC,1,1,1CE,于是110BCCE,所以11BCC
15、E.2.11,2,1BC.设平面1BCE的法向量为(,)mx y z,则10,0,m BCm CE即20,0.xyzxyz,消去x,得20yz,不妨令1z,可得一个法向量为3,2,1m.由 1 问知,11BCCE,又111CCBC,可得11BC平面1CEC,故11(1,0,1)BC为平面1CEC的一个法向量.于是111111cos,m B Cm B CmB C42 77142,从而1121sin,7m BC,所以二面角11BCE C的正弦值为217.3.0,1,0AE,11,1,1EC,设1,EMEC,01,有(,1,)AMAEEM.可取(0,0,2)AB为平面11ADDA的一个法向量.设为直线AM与平面11ADDA所成的角,则sincos,AMABAMABAMAB2222232112.于是226321,解得13,所以2AM.