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1、数学试卷一、选择题1.设集合2=1 2230MNxZ xx，,则MN()A.1,2B.(1,3)C.1D.1,22.若复数12,z z在复平面内对应的点关于y轴对称,且12zi,则复数12zz()A.1B.1C.3455iD.3455i3.己知直线1:sin10lxy,直线2:3cos10,lxy若12ll，则sin2=()A.23B.35C.35D.354.三世纪中期,魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术,就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图,现向圆中随机投掷一个点,则该点落在正六边形
2、内的概率为()A.3 32B.3 32C.3 22D.325.若双曲线22131xymm的一条渐近线方程为230 xy,则 m的值为()A.313B.2313C.35D.756.已知2:,20;:28apxR xxaq.若“pq”是真命题,则实数a的取值范围是()A.1,B.(,3)C.1,3D.(,1)(3,)7.九章算术是我国古代一部数学名著,某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图,其中MOD,m n表示m除以r的余数,例如7,31MOD.若输入m的值为8?时,则输出i的值为()A.2 B.3 C.4 D.5 8.已知ABC中,2,4,60ABACBACo,P为线段AC上任意一
3、点,则PB PCuu u r uuu r的范围是()A.1,4B.0,4C.2,4D.9,449.己知数列na中,11a,且对任意的*,m nN,都有m nmnaaamn,则201811iia()A.20172018B.20171009C.20182019D.4036201910.某单位实行职工值夜班制度,己知,A B C D E,5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班,且没有两人同时值夜班,星期六和星期日不值夜班,若A昨天值夜班,从今天起,B C至少连续4天不值夜班,D星期四值夜班,则今天是星期几()A.二B.三C.四D.五11.已知抛物线2:4Cyx的焦点为F,过F的直线交C于,A B两点
4、,点A在第一象限,0,6,PO为坐标原点,则四边形OPAB面积的最小值为()A.74B.134C.3 D.4 12.如图,虚线小方格是边长为1的正方形,粗实(虚)线画出的是某几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为()A.36B.32C.9D.8二、填空题13.已知向量1,0,2,2ababab,则实数_.14.若,x y满足条件124xxy,且32xzy,则z的最大值为 _.15.已知10210012101111xaaxaxax，,则8a_.16.若存在实常数k和b,使得函数()Fx 和()Gx对其公共定义域上的任意实数都满足:()F xkxb 和()G xkxb 恒成立,则称此直线ykx
5、b 为()Fx和()G x的“隔离直线”,已知函数2()()f xx xR,1()(0)g xxx,()2 lnh xex,有下列命题:()()()F xf xg x在31(,0)2x内单调递增;()fx和()g x之间存在“隔离直线”,且b的最小值为4;()fx和()g x之间存在“隔离直线”,且k的取值范围是(4,0;()fx和()h x之间存在唯一的“隔离直线”2yex e.其中真命题的个数为_(请填所有正确命题的序号)三、解答题17.己知,a b c分别为ABC三个内角,A B C的对边,且3cos2sinaAcC.1.求角A的大小;2.若5bc,且ABC的面积为3,求a的值.18.已
6、知三棱锥PABC(如图 1)的平面展开图(如图 2)中,四边形ABCD为边长为2的正方形,ABE和BCF均为正三角形,在三棱锥PABC中1.证明:平面PAC平面ABC;2.求二面角APCB的余弦值.19.在创建“全国文明卫生城”过程中,某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样,得到参加问卷调查的100 人的得分(满分 100 分)统计结果如下表所示:组别30,4040,5050,6060,7070,8080,9090,100频数2 15 20 25 24 10 4 1.由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分Z服从正态
7、分布,198,N近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),利用该正态分布,求3779PZ2.在(I)的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:得分不低于的可以获赠2 次随机话费,得分低于的可以获赠1 次随机话费;每次获赠的随机话费和对应的概率为:赠送话费的金额(单位:元)2040概率3414现有市民甲参加此次问卷调查,记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列与数学期望.附:参考数据与公式:19814.若2XN,则=0.6826,PX220.9544,PX330.9974.PX20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦
8、点与抛物线23:12E xy的焦点相同,A为椭圆C的右顶点,以A为圆心的圆与直线byxa相交于,?PQ两点,且0,3.AP AQOPOQu uu r uuu ruuu ruuu r1.求椭圆C的标准方程和圆A的方程;2.不过原点的直线l与椭圆C交于,M N两点,已知OM,直线l,ON的斜率12,k k k成等比数列,记以,OM ON为直径的圆的面积分别为12,S S,试探究12SS的值是否为定值,若是,求出此值;若不是,说明理由.21.已知函数ln2axfxex(e为自然对数的底数).1.若,axaR F xefx，,讨论F x的单调性;2.若12a,函数1g xfxx在1，内存在零点,求实数
9、a的范围.22.选修 44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为4cos3,直线l过点0,3P且倾斜角为3.1.求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;2.设直线l与曲线C交于,A B两点,求PAPB的值.23.选修 4-5:不等式选讲已知函数12fxxx的最大值为t.1.求t的值以及此时x的取值集合;2.若实数,a b满足222abt,证明:22124ab.参考答案1.答案：D 解析：21,3230:0,1,2xxxNNxZxZ,所以1,2NN,故选D2.答案：C 解析：22,zi所以12222342555ii
10、ziizi,故选C3.答案：D 解析：因为12ll,所以 sin3cos0,所以 tan3,所以2222sincos2tan3sin 22sincos.sincos1tan5故选D4.答案：A 解析：设圆的半径为r,则圆的面积21Sr,正六边形的面积22213 36sin232Srr,所以向圆中随机投掷一个点,该点落在正六边形内的概率22213 33 322rSPSr,故选A.5.答案：A 解析：6.答案：C 解析：7.答案：B 解析：模拟执行程序框图,可得:2n,0i,8m,满足条件8n,满足条件8,20MOD,1i,3n,满足条件8n,不满足条件8,30MOD,4n,满足条件8n,满足条件
11、8,40MOD,2i,5n,*8NnQ,可得:2,4,8,共要循环 3 次,故3i.故选 B 8.答案：D 解析：9.答案：D 解析：10.答案：C 解析：11.答案：B 解析：12.答案：B 解析：13.答案：12解析：由1,0,2ab,则22,0,22,2,1,2abab,所以22222222284,52abab,又由2abab,所以228452,解得12,故答案为12.14.答案：7 解析：由题1024xxyxy,画出可行域为如图ABC区域,32zxy且0y,当P在1,2A处时,max7z,故答案为 7.15.答案：180 解析：1010101021001210288101121,111
12、1,2180,xxxxaaxaxaxaCQL,故答案 180 16.答案：解析：2311,02m xfxg xxxxQ,2120,mxxxm xfxg x，在31,02x内单调递增，故正确；,设fx g x的隔离直线为ykxb,则21xkxbkxbx对任意,0 x恒成立,即有22010 xkxbkxbx对任意,0 x恒成立.由210kxbx对任意,0 x恒成立得0k.若0?k则有0b符合题意;若0k则有20 xkxb对任意,0 x恒成立,又2100400,2kxkbb则有220,0,402bxbkk,即有24kb且421664,40kbkk,同理421664bkb,可得40b,所以40,40,
13、kb故正确,错误;函数fx和h x的图象在xe处有公共点,因此存在fx和h x的隔离直线,那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为k,则隔离直线方程为yek xe,即ykxkee,由0fxkxk ee x恒成立,若0?k,则200 xex不恒成立.若0k,由200 xkxkeex恒成立,令2,0u xxkxkee x,2u xxkxkee在0,xe单调递增,0ueekekee,故0k不恒成立.所以0k,可得20 xkxkee,当0 x恒成立,02kx则2320ke,只有2ke,此时直线方程为2yexe,下面证明2h xexe,令2G xexeh x222 ln,e xeexeex Gxx,当
14、xe时,0Gx;当0 xe时,0Gx;当xe时,;当0GX时,GX取到极小值,极小值是0,也是最小值,20G Xexeh x则2h xexe,函数fx和h x存在唯一的隔离直线2yexe,故正确,故答案为.17.答案：1.由正弦定理得,3sincos2sinsinsin03sincos2AACCCAAQ即sin16A056662623AAAAQ2.由:3ABCS可得1sin32SbcA.4bc5bc由余弦定理得:22222cos2121abcbcAbcbca解析：18.答案：1.证明:方法 1:设AC的中点为O,连接,BO PO.由题意得,2,1,1PAPBPCPOAOBOCO,因为在PAC中
15、,PAPC O为AC的中点,所以,POAC因为在POB中,1,1,2,POOBPB所以POOB,因为,ACOBO AC OB平面ABC,所以PO平面ABC,因为PO平面,所以平面PAC平面ABC.2.由PO平面ABC,OBAC,如图建立空间直角坐标系,则0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1OCBAP.由OB平面APC,故平面APC的法向量为0,1,0OBuuu r,由1,1,0,1,0,1BCPCuu u ruu u r,设平面PBC的法向量为(,)nx y zr,则由0,0,n BCn PCuu u ruu u r得:0,0 xyxz令1x,得1,1yz,即(1,1,1
16、)nr,13cos,33 1n OBn OBnOBr uu u rr uu u rruu u r由二面角APCB是锐二面角,所以二面角APCB的余弦值为33.解析：19.答案：1.350.02450.15550.2650.25750.24850.1950.0465,EZ故65u,198146514651451790.6826PZPZ652 14652 1437930.9544.3793517937790.13592PZPZPZPZPZ综上,3779375151790.13590.68260.8185PZPZPZ2.1.易知12P ZP Z2.获赠话费的可能取值为20,40,60,80.3.13
17、320;248111331340;2424432131113360;24424416111180.24432PPPP的分布列为:4.20 40 60 80 P381332316132313312040608037.58321632E解析：20.答案：1.如图,设T为PQ、的中点,连接AT,则ATPQ,0,AP AQuuu r uu u r即,APAQ1,2ATPQ又3,OPOQuuu ruuu r所以,OTPQ1,2ATOT1,2ba由已知得3c,所以224,1,ab椭圆C的方程为2214xy222|,ATOTOA22|4|4,ATAT25,5AT210,5AP圆A的方程为228(2).5xy
18、2.设直线l的方程为1122(0),(,),(,),ykxm mM xyN xy由2214ykxmxy,得222(4)84(1)0 xkxkmxm,由题设知,22212121212121212()()(),y ykxm kxmkm xxmkkkkx xx xx x212()0,km xxm222280,14k mmk210,4mk则22222222221212112212()()(11)44444xxSSOMONxyxyxx22221212(11)444xxxx22212121233()()2=162162xxxxx x2222223648(1)16(14)142k mmkk223544(1)
19、1624mm故12SS为定值,该定值为54.解析：21.答案：1.定义域为2x x,11ln2ln222axaxaxfxa exeeaxxx故1ln22axFxa efxaxx则22121222aaxaFxxxx(1)若1a,则0,FxF x在2,上单调递减;(2)若0a,令102Fxxa.当0a时,则122xa,因此在2,上恒有0Fx,即F x在2,上单调递减;当0a时,122xa,因而在12,2a上有0Fx,在12,a上有0Fx;因此F x在上单调递减,在12,2a单调递增.综上,(1)当0a时,F x在2,上单调递减;(2)当0a时,F x在12,2a上单调递减,在12,a单调递增.2.
20、设1ln21,1,axg xfxxexxx11n211,2axaxgxfxeaxe Fxx设1,axh xgxe F x则22241ln2,2axaxaxahxeaFxFxeaxx(1)若1a,1ln21,1,g xfxxxxx1110,1,22xgxxxxg x在1,x单调递减,10g xg故此时函数g x无零点,0a不合题意.(2)若0a,当0 x时,01axe,由(1)知ln21xx对任意1,x恒成立ln2111110axaxaxg xexxexxxe,故0g x,对任意0,x恒成立,当10 x时,1110,0ln 202agega,因此当10 x时gx必有零点,记第一个零点为0 x,当
21、01,xx时0gx,g x单调递增,10g xg.由可知,当0a时,g x必存在零点.(2)当102a,考察函数hx,由于12221141210,ln2022122aaheaheaaaahx在1,上必存在零点.设hx在1,的第一个零点为1x,则当1(-1,)xx时,0hx,故h x在11,x上为减函数,又110ah xhe,所以当1(-1,)xx时,0gx,从而g x在1(-1,)xx上单调递减,故当1(-1,)xx时恒有10g xg.即10g x,令1,1axaxxeaxxa e,则x在(1,0)x单调递减,在0,x单调递增.00 x即1axeax注意到1axeaxaxa,因此ln211n2
22、11n21axg xexxa xlxxxax,令10axe时,则有111101ln211ln10aaaag xeaeeae,由零点存在定理可知函数yg x在11,ax e上有零点,符合题意.综上可知,a的取值范围是1,00,2.解析：22.答案：1.C曲线:4cos4coscos4sinsin,333C所以22cos2 3sin,即2222 3xyxy,得曲线C的直角坐标方程为22134Xy,直线l的参数方程为12332xtyt为参数).2.将12332xtyt为参数)代入圆的方程,得221312 3422tt,整理得2790tt,得121 27,9ttt t,所以120,0tt所以127PAPBtt.解析：23.答案：1.解:依题意得,当1x时,123fxxx;当12x时,1221fxxxx,此时1,3fx;当2x时,123fxxx,所以fx的最大值为3,即3t,此时2,)x.2.证明:由222abt,得,221ab,所以2120ab,所以12b,所以22221242224abbbb.解析：