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1、人教版九年级数学上册第二十一章*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系导学案1、教学目标1通过求根公式探索并理解根与系数的关系，会用这个关系求方程的两根之和与积或未知数2通过对代数式的熟练变形，能根据一元二次方程根与系数的关系求代数式的值2、预习反馈阅读教材P1516，完成下列内容1完成下列表格：方程x1x2x1 x2x1x2x25x60 2 3 5 6 x23x10 0 2 5 3 10 问题：你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律：两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项x2pxq0 的两根为 x1，x2，用式子表示你发现的规律：x1x2 p，x1x2q2完成下列表格：方程x1x2
2、x1x2x1x22x23x20 2 1232 1 3x24x10 131 4313问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：用语言叙述发现的规律：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比ax2bx c0 的两根为 x1，x2，用式子表示你发现的规律：x1x2ba，x1x2ca.3利用求根公式推导根与系数的关系：ax2bxc0 的两根 x1bb2 4ac2a，x2 bb24ac2a则 x1x2ba，x1x2ca2、例题精讲类型 1 利用根与系数的关系求方程的两根之和与积例 1根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2之和与两根
3、之积：(1)x26x 150；(2)3x27x90；(3)5x 14x2.解：(1)x1x26，x1x2 15.(2)x1x273，x1x2 3.(3)x1x254，x1x214.【点拨】先将方程化为一般形式，找对a，b，c的值，若b24ac0，则x1x2ba，x1x2ca.例 2已知方程2x2kx 90 的一个根是3，求另一根及k的值【思路点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x 3 代入方程先求k，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答解：另一根为32，k3.【跟踪训练1】已知实数x1，x2满足 x1x27，x1x212，则以 x1，x2为根的一元二次方程是(A)Ax27x 1
4、20 Bx27x120 Cx27x 120 Dx27x120【点拨】以 x1，x2为根的一元二次方程是x2(x1x2)x x1x20.【跟踪训练2】不解方程，求下列方程两个根的和与积(1)x26x 5；(2)2x21 35x；(3)3x23xx2；(4)4x2 2x1x8.解：(1)原方程化为x26x50，所以两根的和为6，两根的积为5.(2)原方程化为2x25x40，所以两根的和为52，两根的积为2.(3)原方程化为2x23x0，所以两根的和为32，两根的积为0.(4)原方程化为4x23x70，所以两根的和为34，两根的积为74.类型 2 根据一元二次方程根与系数的关系求相关代数式的值例 3
5、已知，是方程x23x 50 的两根，不解方程，求下列代数式的值(1)11；(2)22；(3).解：，是方程x23x 50 的两根，3，5.(1)1135.(2)22()2 2 32 2(5)19.(3)()2()2 4 32 4(5)29.29或29.【方法归纳】利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤及六种常用变形：1三个步骤：(1)算：计算出两根的和与积；(2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式；(3)代：代入求值2六种常用变形：(1)x21x22(x1x2)22x1x2；(2)(x1 x2)2(x1x2)24x1x2；(3)(x11)(x2 1)x1x2(x1x2)1；(4)1x1
6、1x2x1x2x1x2；(5)x1x2x2x1x21x22x1x2（x1x2）22x1x2x1x2；(6)|x1x2|（x1 x2）2（x1x2）24x1x2.【跟踪训练3】若方程 x22x 10 的两根分别为x1，x2，则 x1x2x1x2的值为 3【跟踪训练4】已知关于x 的方程 x26xk0 的两根分别是x1，x2，且满足1x11x23，则 k 的值是 24、巩固训练1一元二次方程x24x30 的两根为x1，x2，则 x1x2的值是(D)A 4 B 4 C3 D 3 2若 x1，x2是一元二次方程x25x60 的两个根，则x1x2的值是(B)A 1 B 5 C 5 D6 3两个实数根的和
7、为3 的一元二次方程是(A)A x2 3x4 0 B x23x4 0 C x2 3x4 0 D x23x4 0 4已知方程x2mx30 的一个根是1，则它的另一个根是3，m的值是 45已知方程x25x10 的两个实数根分别为x1，x2，则 x21x22236已知关于x 的方程 x22(m1)x m220，试根据下列条件，求m的值(1)两根互为相反数；(2)两根互为倒数解：设原方程的两个根为x1，x2，由根与系数的关系，得x1x22(m1)，x1x2m22.(1)若两根互为相反数，则x1x22(m1)0，解得 m 1.(2)若两根互为倒数，则x1x2m22 1，解得 m 3，而 b24ac 2(m 1)24 1(m2 2)0，解得 m 32.因为332，所以 m 3舍去，因此 m 3.5、课堂小结一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax2bxc0(a 0，b24ac0)的两根 x1，x2和系数a，b，c 有如下关系：x1 x2ba，x1x2ca.