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1、函数值域的求法大全题型一求函数值：特别是分段函数求值例 1 已知 f(x)(x R，且 x1)，g(x)x22(xR).(1)求 f(2)，g(2)的值；(2)求 fg(3)的值.解(1)f(x)，f(2).又g(x)x22，g(2)2226.(2)g(3)32211，fg(3)f(11).反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于fg(x)型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意 fg(x)与 gf(x)的区别.跟踪训练 4 已知函数 f(x).(1)求 f(2)；(2)求 ff(1).解(1)f(x)，f(2).(2)f(1)，ff(1
2、)f().5.已知函数 f(x)x2x1.(1)求 f(2)，f()；(2)若 f(x)5，求 x 的值.解(1)f(2)22215，f()1.(2)f(x)x2x15，x2x60，x2，或 x3.(3)4.函数 f(x)对任意自然数 x 满足 f(x 1)f(x)1，f(0)1，则 f(5)_.答案6 解析f(1)f(0)1112，f(2)f(1)13，f(3)f(2)14，f(4)f(3)15，f(5)f(4)16.二、值域是函数y=f(x)中 y 的取值范围。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（
3、逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R；反比例函数的定义域为 x|x 0，值域为 y|y 0；二次函数的定义域为 R，当 a0时，值域为 ；当 a0，=，当 x0时，则当时，其最小值；当 a0）时或最大值（a0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.若a,b,则a,b 是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应
4、根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数 y=3+的值域解：由算术平方根的性质，知0，故 3+3。函数的值域为.2、求函数的值域解：对称轴1 单调性法例 3 求函数 y=4x(x 1/3)的值域。设 f(x)=4x,g(x)=,(x 1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-在定义域为 x1/3 上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为 y|y 4/3。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：
5、求函数 y=3+的值域。(答案：y|y 3)2 换元法例 4 求函数的值域解：设，则点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数 y=的值域。（答案：y|y 3/4 求的值域；例 5（三角换元法）求函数的值域解：设小结：（1）若题目中含有，则可设（2）若题目中含有则可设，其中（3）若题目中含有，则可设，其中（4）若题目中含有，则可设，其中（5）若题目中含有，则可设其中3 平方法例 5（选）求函数的值域解：函数定义域为：4 分离常数法例 6 求函数的值域由，可得值域小结：已知分
6、式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。练习求函数的值域求函数的值域求函数 y=的值域；（y(-1，1)）例 7 求的值域解法一：（图象法）可化为如图，观察得值域解法二：（不等式法）同样可得值域练习：的值域例 8 求函数的值域解：（换元法）设，则原函数可化为例 9 求函数的值域解：（换元法）令，则由指数函数的单调性知，原函数的值域为例 10 求函数的值域解：（图象法）如图，值域为（换元法）设，则例 13 函数的值域解法一：（逆求法）2 解法二：（换元法）设，则解法三：（判别式法）原
7、函数可化为1）时 不成立2）时，综合 1）、2）值域解法四：（三角换元法）设，则原函数的值域为例 14 求函数的值域5 解法一：（判别式法）化为1）时，不成立2）时，得综合 1）、2）值域解法二：（复合函数法）令，则所以，值域例 15 函数的值域解法一：（判别式法）原式可化为01)1(2xyx,31,1304)1(02原函数值域为或 yyy解法二：（不等式法）1）当时，2）时，12)(1)(1yxxxx综合 1）2）知，原函数值域为例 16(选)求函数的值域解法一：（判别式法）原式可化为解法二：（不等式法）原函数可化为当且仅当时取等号，故值域为例 17（选）求函数的值域解：（换元法）令，则原函
8、数可化为。小结：已知分式函数，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为（选）的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。利用判别式求值域时应注意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据例 1、求函数的值域象这种分子、分母的最高次为2 次
9、的分式函数可以考虑用判别式法求值域。解：由得：（y-1）x2+(1-y)x+y=0 上式中显然 y1,故式是关于 x 的一元二次方程用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验例：求函数的值域。错解：原式变形为（），解得。故所求函数的值域是错因：把代入方程（）显然无解，因此不在函数的值域内。事实上，时，方程（）的二次项系数为0，显然不能用“”来判定其根的存在情况。正解：原式变形为（）（1）当时，方程（）无解；（2）当时，解得。综合（1）、（2）知此函
10、数的值域为二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化例 2：求函数的值域。错解：将函数式化为（1）当时，代入上式得，故属于值域；（2）当时，综合（1）、（2）可得函数的值域为。错因：解中函数式化为方程时产生了增根（与虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉与时方程中相应的值。所以正确答案为，且。三、注意变形后函数值域的变化例 3：求函数的值域。错解：由已知得，两边平方得整理得，由，解得。故函数得值域为。错因：从式变形为式是不可逆的，扩大了的取值范围。由函数得定义域为易知，因此函数得最小值不可能为。时，故函数的值域应为。四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性例 4：求函数的值域。错
11、解：令，则，由及得值域为。错因：解法中忽视了新变元满足条件。设，。故函数得值域为。综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。练习：1、；解：x0，y11.另外，此题利用基本不等式解更简捷：(或利用对勾函数图像法)2、0y 5.3、求函数的值域；解：令0,则,原式可化为,u0，y，函数的值域是（-，.解：令 t=4x 0 得 0 x 4 在此区间内(4x)=4 ，(4x)=0 函数的值域是 y|0 y 2 4、求函数
12、y=|x+1|+|x-2|的值域.解法 1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是y|y 3.解法 2：函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2 的距离之和，易见 y 的最小值是 3，函数的值域是 3，+.如图O12-1xO12-1xO12-1x5、求函数的值域解：设则 t 0 x=1 代入得t0 y4 6、（选）求函数的值域方法一：去分母得(y1)+(y+5)x6y6=0 当 y1 时xR=(y+5)+4(y1)6(y+1)0 由此得 (5y+1)0 检验（有一个根时需验证）时（代入求根）2 定义域 x|x2且 x3 再检验 y=
13、1 代入求得 x=2 y1综上所述，函数的值域为 y|y1且 y 方法二：把已知函数化为函数(x2)由此可得 y1，x=2 时即函数的值域为 y|y1且 y 函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1.求函数x1y的值域。解：0 x0 x1显然函数的值域是：),0()0,(例 2.求函数x3y的值域。解：0 x3x3,0 x故函数的值域是：3,2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 3.求函数2,1x,5x2xy2的值域。解：将函数配方得：4)1x(y22,1x由二次函数的性质可知：当x=1 时，4ymin，当1x时，8ymax故函数的值
14、域是：4，8 3.判别式法例 4.求函数22x1xx1y的值域。解：原函数化为关于x 的一元二次方程0 x)1y(x)1y(2（1）当1y时，Rx0)1y)(1y(4)1(2解得：23y21（2）当 y=1 时，0 x，而23,211故函数的值域为23,21例 5.求函数)x2(xxy的值域。解：两边平方整理得：0yx)1y(2x222（1）Rx0y8)1y(42解得：21y21但此时的函数的定义域由0)x2(x，得2x0由0，仅保证关于 x 的方程：0yx)1y(2x222在实数集 R有实根，而不能确保其实根在区间0，2 上，即不能确保方程（1）有实根，由0求出的范围可能比y 的实际范围大，
15、故不能确定此函数的值域为23,21。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。2x00)x2(xxy21y,0ymin代入方程（1）解得：2,022222x41即当22222x41时，原函数的值域为：21,0注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4.反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 6.求函数6x54x3值域。解：由原函数式可得：3y5y64x则其反函数为：3x5y64y，其定义域为：53x故所求函数的值域为：53,5.函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反
16、客为主来确定函数的值域。例 7.求函数1e1eyxx的值域。解：由原函数式可得：1y1yex0ex01y1y解得：1y1故所求函数的值域为)1,1(例 8.求函数3xsinxcosy的值域。解：由原函数式可得：y3xcosxsiny，可化为：y3)x(xsin1y2即1yy3)x(xsin2Rx 1,1)x(xsin即11yy312解得：42y42故函数的值域为42,426.函数单调性法例 9.求函数)10 x2(1xlog2y35x的值域。解：令1xlogy,2y325x1则21y,y在2，10 上都是增函数所以21yyy在2，10 上是增函数当 x=2时，8112log2y33min当 x
17、=10时，339log2y35max故所求函数的值域为：33,81例 10.求函数1x1xy的值域。解：原函数可化为：1x1x2y令1xy,1xy21，显然21y,y在,1上为无上界的增函数所以1yy，2y在,1上也为无上界的增函数所以当 x=1时，21yyy有最小值2，原函数有最大值222显然0y，故原函数的值域为2,0(7.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 11.求函数1xxy的值域。解：令t1x，)0t(则1tx243)21t(1tty22又0t，由二次函数
18、的性质可知当0t时，1ymin当0t时，y故函数的值域为),1例 12.求函数2)1x(12xy的值域。解：因0)1x(12即1)1x(2故可令,0,cos1x1cossincos11cosy21)4sin(24540,0211)4sin(201)4sin(22故所求函数的值域为21,0例 13.求函数1x2xxxy243的值域。解：原函数可变形为：222x1x1x1x221y可令tgx，则有2222cosx1x1,2sinx1x24sin412cos2sin21y当82k时，41ymax当82k时，41ymin而此时tan有意义。故所求函数的值域为41,41例 14.求函数)1x)(cos1
19、x(siny，2,12x的值域。解：)1x)(cos1x(siny1xcosxsinxcosxsin令txcosxsin，则)1t(21xcosxsin222)1t(211t)1t(21y由)4/xsin(2xcosxsint且2,12x可得：2t22当2t时，223ymax，当22t时，2243y故所求函数的值域为223,2243。例 15.求函数2x54xy的值域。解：由0 x52，可得5|x|故可令,0,cos5x4)4sin(10sin54cos5y04544当4/时，104ymax当时，54ymin故所求函数的值域为：104,548.数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义
20、，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 16.求函数22)8x()2x(y的值域。解：原函数可化简得：|8x|2x|y上式可以看成数轴上点P（x）到定点 A（2），)8(B间的距离之和。由上图可知，当点P在线段 AB上时，10|AB|8x|2x|y当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时，10|AB|8x|2x|y故所求函数的值域为：,10例 17.求函数5x4x13x6xy22的值域。解：原函数可变形为：2222)10()2x()20()3x(y上式可看成 x 轴上的点)0,x(P到两定点)1,2(B),2,3(A的距离之和，由图
21、可知当点 P为线段与 x 轴的交点时，43)12()23(|AB|y22min，故所求函数的值域为,43例 18.求函数5x4x13x6xy22的值域。解：将函数变形为：2222)10()2x()20()3x(y上式可看成定点A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点)1,2(B到点)0,x(P的距离之差。即：|BP|AP|y由图可知：（1）当点 P在 x 轴上且不是直线 AB与 x 轴的交点时，如点P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(|AB|BP|AP|22即：26y26（2）当点 P恰好为直线 AB与 x 轴的交点时，有26|AB|BP|AP|综上所述，可
22、知函数的值域为：26,26(注：由例 17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在 x 轴的同侧。如：例 17的 A，B两点坐标分别为：（3，2），)1,2(，在 x 轴的同侧；例 18 的 A，B两点坐标分别为（3，2），)1,2(，在 x 轴的同侧。9.不等式法利用基本不等式abc3cba,ab2ba3)Rc,b,a(，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 19.求函数4)xcos1x(cos)xsin1x(siny22的值域。解：原函
23、数变形为：52xcotxtan3xcotxtan3xsecxces1xcos1xsin1)xcosx(siny22322222222当且仅当xcotxtan即当4kx时)zk(，等号成立故原函数的值域为：),5例 20.求函数x2sinxsin2y的值域。解：xcosxsinxsin4yxcosxsin422764 3/)xsin22xsinx(sin8)xsin22(xsinxsin8xcosxsin16y322222224当且仅当xsin22xsin22，即当32xsin2时，等号成立。由2764y2可得：938y938故原函数的值域为：938,93810.一一映射法原理：因为)0c(dc
24、xbaxy在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例 21.求函数1x2x31y的值域。解：定义域为21x21x|x或由1x2x31y得3y2y1x故213y2y1x或213y2y1x解得23y23y或故函数的值域为,2323,11.多种方法综合运用例 22.求函数3x2xy的值域。解：令)0t(2xt，则1t3x2（1）当0t时，21t1t11tty2，当且仅当 t=1，即1x时取等号，所以21y0（2）当 t=0 时，y=0。综上所述，函数的值域为：21,0注：先换元，后用不等式法例 23.求函数42432xx21xxx2x1y的值域。解：4234242xx21xxxx21xx21y2222x1xx1x1令2tanx，则2222cosx1x1sin21x1x21sin21sinsin21cosy22161741sin2当41sin时，1617ymax当1sin时，2ymin此时2tan都存在，故函数的值域为1617,2注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。