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1、函数值域求法十一种函数值域求法十一种在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定;研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用;确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环;对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用;本文就函数值域求法归纳如下,供参考;1.直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;例 1.求函数解：x 01 0 xy 1x的值域;显然函数的值域是：(,0)(0,)例
2、 2.求函数y 3x的值域;解：x 0故函数的值域是：,3 2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一;2y x 2x 5,x1,2的值域;例 3.求函数2解：将函数配方得：y (x 1)4x1,2由二次函数的性质可知：当 x=1 时,ymin 4,当x 1时,ymax8故函数的值域是：4,8 3.判别式法1 x x2y 1 x2的值域;例 4.求函数解：原函数化为关于 x 的一元二次方程1 当y 1时,xR13 y2解得：21 31,2 当 y=1 时,x 0,而2 21 32,2故函数的值域为例 5.求函数y x x(2 x)的值域;222x 2(y 1)x y 01解：两边平方整理
3、得：xR2 4(y 1)8y 0解得：12 y 12但此时的函数的定义域由x(2 x)0,得0 x 2由 0,仅保证关于 x 的方程：2x 2(y 1)x y 0在实数集 R 有实根,而不能确保其实根在区间 0,2 上,即不能确保方程 1 有实根,由 0求出的范围可能比 y1 32,2;的实际范围大,故不能确定此函数的值域为22可以采取如下方法进一步确定原函数的值域;0 x 2ymin 0,y 12代入方程 12 2 2422解得：x10,22 2 242x12即当时,原函数的值域为：0,12注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除;
4、4.反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域;3x 4例 6.求函数5x 6值域;解：由原函数式可得：y x 4 6y5y 346y3x 5x 3,其定义域为：5则其反函数为：3,5故所求函数的值域为：5.函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域;ex1y xe 1的值域;例 7.求函数y 1exy 1解：由原函数式可得：xe 0y 10y 1解得：1 y 1故所求函数的值域为(1,1)cosxsinx 3的值域;例 8.求函数解：由原函数式可得：ysin x cosx 3y,可化为：y sinx(x)3yy2
5、1即xRsinx(x)1,113yy 121即解得：22 y 4422,44故函数的值域为 6.函数单调性法x5y 2 log3x 1(2 x 10)的值域;例 9.求函数解：令y1 2x5,y2 log3x 1则y1,y2在 2,10 上都是增函数所以y y1 y2在 2,10 上是增函数当 x=2 时,ymin 23 log321 185当 x=10 时,ymax 2 log39 3318,33故所求函数的值域为：例 10.求函数y x 1 x 1的值域;解：原函数可化为：y 2x 1 x 1令y1x 1,y2x 1,显然y1,y2在1,上为无上界的增函数所以y y1,y2在1,上也为无上
6、界的增函数22所以当 x=1 时,y y1 y2有最小值2,原函数有最大值2显然y 0,故原函数的值域为(0,2 7.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用;例 11.求函数y x x 1的值域;解：令x 1 t,(t 0)2则x t113y t2 t 1(t)224又t 0,由二次函数的性质可知当t 0时,ymin1当t 0时,y 故函数的值域为1,)2y x 2 1(x 1)例 12.求函数的值域;21(x 1)0解：因即(x 1)1故可令x 1 cos,0,2y co
7、s1 1cos sin cos120,0544故所求函数的值域为0,12x3 xy 4x 2x21的值域;例 13.求函数12x1 x2y 221 x1 x2解：原函数可变形为：2x1 x22sin2,cos 22x tg1 x可令,则有1 xk1ymax428时,当k1 ymin 28时,4当而此时tan有意义;1 14,4故所求函数的值域为 x,例 14.求函数y (sinx 1)(cosx 1),12 2的值域;解：y (sinx 1)(cosx 1)1sinxcosx(t21)2令sinx cosx t,则由t sin x cosx 2 sin(x /4)x,且12 22 t 22可得
8、：当t 2时,ymax32322t y 2时,422,当32 3,2422;故所求函数的值域为2例 15.求函数y x 45 x的值域;2解：由5 x 0,可得|x|5故可令x 5 cos,0,0 当 /4时,ymax 4 10当 时,ymin 4 5故所求函数的值域为：4 5,4 10 8.数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目;22y(x 2)(x 8)例 16.求函数的值域;解：原函数可化简得：y|x 2|x 8|上式可以看成数轴上点 Px 到定点 A2,B(8)间的距离之和;由上图可
9、知,当点 P 在线段 AB 上时,y|x 2|x 8|AB|10当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时,y|x 2|x 8|AB|10故所求函数的值域为：10,例 17.求函数y x 6x 13 x 4x 5的值域;解：原函数可变形为：上式可看成 x 轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(2,1)的距离之和,22y|AB|(3 2)(21)43,min由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时,22故所求函数的值域为 43,22例 18.求函数y x 6x 13 x 4x 5的值域;2222解：将函数变形为：y(x 3)(0 2)(x 2)(01)上式可看成定点 A3,2 到
10、点 Px,0 的距离与定点B(2,1)到点P(x,0)的距离之差;即：y|AP|BP|由图可知：1 当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时,如点P,则构成ABP,根据三角形两边之差小于第三边,有|AP|BP|AB|(3 2)2(2 1)226即：26 y 262 当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时,有|AP|BP|AB|26综上所述,可知函数的值域为：(26,26注：由例 17,18 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使 A、B 两点在 x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使 A,B 两点在 x 轴的同侧;如：例 17 的 A,B 两点坐标分别为：3,2,(
11、2,1),在 x 轴的同侧；例 18 的 A,B两点坐标分别为 3,2,(2,1),在 x 轴的同侧;9.不等式法利用基本不等式a b 2 ab,a b c3 abc(a,b,cR),求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧;例 19.求函数解：原函数变形为：当且仅当tanx cotxx k 3y(sinx 1212)(cosx)4sinxcosx的值域;4时(kz),等号成立即当故原函数的值域为：5,)例 20.求函数y 2sin xsin2x的值域;解：y 4sin xsin xcosx22当且仅当sinx 2
12、 2sinx,即当sin2x 23时,等号成立;由y2648 38 3 y 9927可得：8 3 8 3,99故原函数的值域为：10.一一映射法原理：因为知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围;例 21.求函数y 13x2x 1的值域;y ax b(c 0)cx d在定义域上 x 与 y 是一一对应的;故两个变量中,若11x|x 或x 22解：定义域为1 y13xx y 2y 32x 1得由故x 1 y1 y11 x 2y 32或2y 3233y 或y 22解得33,22故函数的值域为 11.多种方法综合运用例 22.求函数y x 2x 3的值域;2解：令t x 2(t 0),则x 3 t1
13、y 1 当t 0时,2 当 t=0 时,y=0;t111t21t 120 y t2,当且仅当 t=1,即x 1时取等号,所以10,2综上所述,函数的值域为：注：先换元,后用不等式法1 x 2x2 x3 x4y 1 2x2 x4例 23.求函数的值域;1 2x2 x4x x3y 241 2x x1 2x2 x4解：1 x22x tan1 x2cos 2,则令2117ymax4时,16当当sin 1时,ymin 2sin此时注：此题先用换元法,后用配方法,然后再运用sin的有界性;总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法;tan17 2,162都存在,故函数的值域为