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1、4.1 数列的概念与简单表示数列概念表示表格图象通项公式递推公式特殊数列等差数列等比数列类比概念前n项和通项公式应用知识框图1.王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据(单位：cm)依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168实例引入这些数之间能交换位置吗？2.在两河流域发掘的一块泥版(编号K90,约产生于公元前7世纪)上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224
2、，240注：把满月分成240份，从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示.910111312141512456783这些数之间能交换位置吗？归纳:上面三个例子的共同特征是什么？你能仿照上面的叙述，说明也是具有确定顺序的一列数吗？定义：定义：按照一定顺序排列的一列数叫做按照一定顺序排列的一列数叫做 数列数列数列中的每一个数叫做这个数列的数列中的每一个数叫做这个数列的_.项项 排在第一位的数称为这个数列的排在第一位的数称为这个数列的第第1项项（），排在第二位，排在第二位的数称为这个数列的的数称为这个数列的第2项，排在第，排在第n位的数称为这个数列这个数列的位的数称为这个数列这个数列
3、的第n项.首项首项探究新知数列的一般形式可以写成：注注:右下角标表右下角标表示这一项在数列示这一项在数列中的中的位置序号位置序号数列与集合之间有怎样的区别与联系?提示(1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列中的项具有确定性、有序性、可重复性;(2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但数列中的每一项必须是数;(3)数列an不是集合,它是数列的一个整体符号,an表示数列a1,a2,a3,an,而an表示数列的第n项.思考1下列说法中，正确的是()A数列1，3，5，7可表示为1，3，5，7B数列1，0，1，2与数列2，1，0，1是相同的数列C数列的项可以相等D数列a，
4、b，c和数列c，b，a一定不是同一数列C练习：练习：序号项数列与函数的关系探究新知想一想：想一想：数列作为一种特殊的函数，它与以前我们学过的函数数列作为一种特殊的函数，它与以前我们学过的函数有什么区别？有什么区别？f(1)f(2)f(3)f(n)另一方面另一方面，对于函数，对于函数y=f(x)，如果，如果f(n)(nN*)有意义，有意义，那么那么f(1)，f(2),f(n),构成构成了了一个一个数列数列f(n).与其它函数一样，数列可以用表格和图象来表示 例如数列：思考：数列中的项的大小随序号的变化趋势如何？探究新知分类依据类型含义按项的个数有穷有穷数列项数有限的数列无穷无穷数列项数无限的数列
5、按项的变化趋势递增递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 an+1an递减递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 an+1an常常数列各项都相等的数列摆动摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列数 列 的 分 类探究一数列的概念及分类变式训练1下列数列既是递增数列又是无穷数列的是()A.-1,-2,-3,-4,C.-1,-2,-4,-8,D.5,6,7,8答案B解析A,B,C中的数列都是无穷数列,A,C中的数列都是递减数列,虽然D中的数列是递增数列,但是该数列只有四项,是一个有穷数列,故只有B中的数列既是递增数列又是无穷数列.如果数列an的第n项
6、与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式通项公式探究新知显然，通项公式就是显然，通项公式就是数列的函数解析式数列的函数解析式，根据通项，根据通项公式可以公式可以写出数列的各项写出数列的各项.微练习若数列an的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10=,224是该数列的第项.答案9915解析a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.解:(1)(2)探究二根据数列的前几项求通项公式1.通项公式能够很清楚的表示数列中项数和项的关系;2.由通项公式可以求出数列中的每一项；3.检验某数是否是该数列中的一项.
7、通项公式的作用：注意：注意：有些数列的通项公式不是唯一的有些数列的通项公式不是唯一的；如如：数列：数列1，-1，1，-1，不是每一个数列都能写出它的通项不是每一个数列都能写出它的通项公式公式.如如：1，24，8，3，19规律方法(1)根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:先统一项的结构,如都化成分数、根式等.分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.(2)常见数列的通项公式如下:数列-1,1,-1,1,的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-
8、1,1,-1,的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.数列1,2,3,4,的一个通项公式是an=n.数列1,3,5,7,的一个通项公式是an=2n-1.数列2,4,6,8,的一个通项公式是an=2n.数列1,2,4,8,的一个通项公式是an=2n-1.数列1,4,9,16,的一个通项公式是an=n2.探究三数列通项公式的应用方法技巧(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数,则是
9、数列中的项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列中的项.探究四数列的单调性及其应用角度1数列单调性判断例4已知数列an的通项公式(kR).(1)当k=1时,判断数列an的单调性;(2)若数列an是递减数列,求实数k的取值范围.分析(1)由于数列的通项公式已知,因此可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;(2)可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.反思感悟判断数列的单调性判断数列的单调性,一般是将其转化为比较相邻两项的大小,常用的方法有作差法、作商法.作差法判断数列单调性的步骤为先作差,再变形、定号,最后下结论.作商法适用于各项都是
10、同号的数列,且应比较比值与1的大小关系.A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列答案B角度2利用数列单调性求数列最大(小)项例5(1)已知数列an满足an=n2-5n-6,nN*.数列中有哪些项是负数?当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.(2)已知数列an的通项公式an=(n+1)(nN*),试问数列an有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.分析(1)根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;根据二次函数的性质即可求出.当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an.故a1a
11、2a3a11a12,数列中有最大项,最大项为第9,10项,方法技巧求数列的最大(小)项的两种方法(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集1,2,n这一条件.素养形成归纳法求数列的通项公式典例观察下列5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图形中有个小圆圈.分析仔细观察每个图形中小圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.解析5个图形中小圆圈的个数分别为1,12+1,23+1,34+1,45+1,故第n个图形中小圆圈的个数为(n-1)n+1=n2-n+1.答案n2-n+1反思感悟归纳是逻辑推理的一类,可以发现新命题.本例完美诠释了“观察现象,归纳规律,大胆猜想,小心求证”这一认识发展规律.1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数.（离散的数的函数）2.数列的分类：（1）按项的大小：递增数列、递减数列、常数列（2）按项的个数：有穷数列、无穷数列3.数列的通项公式（不唯一）课堂小结