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1、5.1.2导数的概念及其导数的概念及其几何意义几何意义知识回顾前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率.这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.知识回顾情境思考珠穆朗玛峰简称珠峰,高度8 848.86米,是世界第一高峰,登上珠峰是很多登山爱好者的终极梦想.每年都会有很多人向它发起挑战,但到现在为止能顺利登顶的人并不多.当山势的陡峭程度不同时,登山队员的感受也是不一样的,试想如何用数学知识来反映山势的陡峭程度呢?概念
2、探究一利用导数的定义求函数的导数例1(1)求函数y=x-在x=-1处的导数.(2)已知f(x)=x2-3x,则f(0)=()A.x-3 B.(x)2-3x C.-3D.0变式训练变式训练 1 1 A.-4B.2 C.-2 D.2(2)求函数y=f(x)=-x2+3x的导数.导函数导函数导函数导函数对于函数y=f(x),当x=x0时,f(x0)是一个确定的数.当x变化时,y=f(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y,易错警示 导数与导函数之间既有区别又有联系,导数是对一个点而言的,它是一个确定的值,与给定的函数及x(或x0)的位置有关,而
3、与x无关;导函数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,也与x无关.概念探究二导数定义式的理解与应用A.f(x0)B.f(-x0)C.-f(x0)D.-f(-x0)分析将所给极限式进行变形,构造出导数定义中的极限式进行求解.答案C 答案C 探 究斜率斜率概念P0Poxyy=f(x)割割线线T结论:当Q点沿着曲线无限逼近P点时,此时割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率.切切线线概念导数的几何意义探究三导数几何意义的应用例3 已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C在x=1的点处的切线方程;方法技巧利用导数几何意义研究切线方程的方法(1)利用导数的几何意义求曲线y=f(x)在点(x0
4、,f(x0)处的切线方程的步骤求函数f(x)在x0处的导数,即切线的斜率;根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).(2)运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上.若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率.变式训练变式训练 3.3.曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?提示:不一定.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线l与曲线y=f(x)的交点个数不一定只有一个,如图所示.曲线的切线与曲线的交点可能不止一个.思考探究四求切点坐标总结归纳反思感悟根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0,y0);(2)求导函数f(x);(3)求切线的斜率f(x0);(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)将x0代入f(x)求y0,得切点坐标.变式训练5.已知曲线y=2x2-7在点P处的切线方程为8x-y-15=0,求切点P的坐标.探究五函数变化趋势与导数的关系xy12O3A总结归纳1.1.导数的几何意义导数的几何意义总结归纳2.2.求切线方程步骤求切线方程步骤