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1、5.1.2 导数的几何意义1 1了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数的图象理解导数的几何意义的图象理解导数的几何意义2 2了解导函数的概念，会求导函数了解导函数的概念，会求导函数3 3根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程(重点、难点重点、难点)平均变化率平均变化率一般地，函数一般地，函数 在区间在区间 上的平均变化率为上的平均变化率为 ：结合结合直线斜率的定义可知：函数在直线斜率的定义可知：函数在点点P0到点到点P1之间的之间的平均变化率即为割线平均变
2、化率即为割线P0P1的斜率的斜率.平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义 如果当如果当 时，平均变化率时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称有极限，则称 在在 处可导，并把这个确定的值叫做处可导，并把这个确定的值叫做 在在 处的处的导数导数(也称为也称为瞬时变化率瞬时变化率)，记作，记作 或或 ，即，即：曲线：曲线 在在点点 处的处的切线的切线的斜率斜率 平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义瞬时变化率（导数）瞬时变化率（导数）对函数在某点处导数的认识对函数在某点处导数的认识(1)(1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值改变量与自
3、变函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量量的改变量比值的极限，不是变量(2)(2)函数在函数在 x0 处的导数处的导数 f(x0)只与只与 x0 有关，与有关，与 x 无关无关(3)(3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛例例1 1.(.(1)1)求函数求函数 在在 处的导数处的导数.(2)(2)求函数求函数 在在 处的导数处的导数.解：解：(1)因为因为所以所以 .(2)因因为为所以所以 .例例2.2.下列命题正确的是下列命题正确的是()()A.A.若若 ，则函数，则函数 在在 处
4、无切线处无切线B.B.函数函数 的切线与函数的图象可以有两个公共点的切线与函数的图象可以有两个公共点C.C.函数函数 在在 处的导数处的导数D.D.曲线曲线 在在 处的切线方程为处的切线方程为 ，则，则B某物体的运动路程某物体的运动路程s(s(单位：单位：m)m)与时间与时间t(t(单位：单位：s)s)的关系可用函数的关系可用函数s(t)s(t)t2t2t t1 1表示，表示，试求该物体在哪一时刻的瞬时速度为试求该物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.9 m/s.导函数的定义导函数的定义 从求函数从求函数 在在 处导数的过程可以看到，当处导数的过程可以看到，当 时，时，是是一个确定的数这样，当
5、一个确定的数这样，当 x 变化时，变化时，就是就是 x 的一个函数，我们称的一个函数，我们称它为它为 的的导函数导函数(简称简称导数导数)的导函数有时也记作的导函数有时也记作y，即，即函数在某点处的导数与导函数的区别：函数在某点处的导数与导函数的区别：(1)(1)函数函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数；(2)(2)函数函数 在在 x0 处的导数就是导函数处的导数就是导函数 在在 处的函数值处的函数值例例3 3(1)(1)求函数求函数 的导函数的导函数；(2)(2)求函数求函数 的导函数的导函数.解：解：(1)(1)(2)(2)求曲线的切线求
6、曲线的切线例例4 4(1)(1)已知曲线已知曲线 ，求求曲线在曲线在 处的切线方程；处的切线方程；(2)(2)已知曲线已知曲线 ，求曲线在，求曲线在 处的切线方程处的切线方程.解：解：(1)(1)因为因为所以切线方程为所以切线方程为化简得化简得 (2)(2)因为因为所以切线方程为所以切线方程为化简得化简得 解：解：(2)(2)设切点坐标为设切点坐标为 ，因为切点在曲线，因为切点在曲线 上，则上，则 ，又因为过点又因为过点 的切线斜率为的切线斜率为因为切线过因为切线过 和和 两点，所以两点，所以即即 ，解得，解得 或或当当 时，切点为时，切点为 ，切线为，切线为 ；当当 时，切点为时，切点为 ，
7、切线为，切线为 .1 1已知已知曲线曲线 ，求曲线过点，求曲线过点 的切线方程的切线方程.求曲线上的点求曲线上的点 P 处的切线与求过点处的切线与求过点 P 的切线有区别的切线有区别：1.已知切点已知切点 的的切线方程是切线方程是:2.不知道切点，求不知道切点，求切点坐标可以按以下步骤进行：切点坐标可以按以下步骤进行：(1)(1)设出切点坐标；设出切点坐标；(2)(2)利用导数或斜率公式求出斜率；利用导数或斜率公式求出斜率；(3)(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标把横坐标代入曲线或切线方程，求
8、出切点纵坐标1 1已知曲线已知曲线 上一点上一点A(2(2，8)8)，则点，则点A处的切线斜率为处的切线斜率为()A A4 4B B1616C C8 8D D2 2C 解：解：曲线在点曲线在点A 处切线的斜率就是函数处切线的斜率就是函数 在在 处的导数，处的导数，因为因为故选故选C.C.2 2曲线曲线 在点在点(-2(-2，-1)-1)处的切线方程为处的切线方程为_._.解：解：因为因为所以切线方程为所以切线方程为化简得化简得3 3设曲线设曲线 在点在点(1(1，a)处的切线与直线处的切线与直线 平行，则平行，则 a 等于等于()()A.1A.1B.B.C.C.D.D.A 解：解：因为因为又切
9、线的斜率为又切线的斜率为 2，所以所以 ，故，故 .4.4.在曲线在曲线 上过哪一点的切线上过哪一点的切线(1)(1)垂直于直线垂直于直线 ；(2)(2)与与 x 轴成轴成135135的倾斜角的倾斜角 利用导数的几何意义求切线方程的方法利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数yf(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程yy0f(x0)(xx0).(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.作作业业布置：布置：训练训练（十四）（十四）