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1、引引 入入共共线线向向量量定定理理平平面面向向量量基基本本定定理理 A、P、B三点共线三点共线 线线性性运运算算且方向相同且方向相同数数量量积积坐标运算坐标运算有了有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标.引引 入入 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题积表
2、示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题6.4.1 6.4.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 盛盛 琪琪第第六六章章 平面向量及其应用平面向量及其应用2023/3/27引引 入入 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题 问题问题1：你能将以
3、下平面几何元素及其表示转化为向量及其运算吗？你能将以下平面几何元素及其表示转化为向量及其运算吗？几何元素及其表示向量及其运算点A线段AB，AB两点距离夹角AOB例题讲解例题讲解1.平行问题平行问题例例1 如图如图示示，DE是是ABC的中位线，证明：的中位线，证明：问题问题2：回忆回忆初中初中的的证明过程证明过程F证证：延长：延长DE至点至点F，使，使DE=EF，连结，连结CFE为为AC中点，中点，AE=EC又又DE=EF，AED=CEF，AEDCEF（SAS）AD=CF，ADE=FABCF，即，即BDCF又又AD=BD，BD=CF四边形四边形DBCF为平行四边形为平行四边形BC=DF=2DE，
4、且，且DEBC例题讲解例题讲解1.平行问题平行问题例例1 如图如图示示，DE是是ABC的中位线，用向量方法证明：的中位线，用向量方法证明：追问：追问：如何利用向量推导三角形内线段长度关系？如何利用向量推导三角形内线段长度关系？（1 1）平面几何中求线段的长度问题）平面几何中求线段的长度问题就是就是在向量中在向量中 求向量的模的问题求向量的模的问题选择基底选择基底（2 2）解题的关键是）解题的关键是 例题讲解例题讲解1.平行问题平行问题例例1 如图如图示示，DE是是ABC的中位线，用向量方法证明：的中位线，用向量方法证明：转化转化运算运算翻译翻译三步曲三步曲探究新知探究新知用用向量方法解决平面几
5、何问题的向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”:(1)建立建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题将平面几何问题转化转化为向量为向量问题；问题；基底法基底法坐标坐标法法(2)通过通过向量向量运算运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；问题；(3)把把运算结果运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系.转化转化选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找相应关系；把几何问题向量化课堂练习课堂练习2.垂直问题垂直问题例题讲解例题讲解3.长度问题长度
6、问题 第一第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题:例例2 如图如图示示，已知平行四边形已知平行四边形ABCD，你能发现对角线，你能发现对角线AC和和BD的长度与两的长度与两条邻边条邻边AB和和AD的长度之间的关系吗？的长度之间的关系吗？解：解：第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系:第三步，把运算结果第三步，把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系:平行四边形两对角线长的平方和等于各边长的平方和平行四边形两
7、对角线长的平方和等于各边长的平方和例题讲解例题讲解3.长度问题长度问题例例2 如图如图示示，已知平行四边形已知平行四边形ABCD，你能发现对角线，你能发现对角线AC和和BD的长度与两的长度与两条邻边条邻边AB和和AD的长度之间的关系吗？的长度之间的关系吗？平行四边形两对角线长的平方和等于各边长的平方和平行四边形两对角线长的平方和等于各边长的平方和 问题问题3：还可以选择其他基底吗？还可以选择其他基底吗？问题问题3：还可以还可以用什么方法解决以下问题用什么方法解决以下问题？如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xy课堂练习课堂练习如图所示，已知如图所示，已知ABC 中，中，
8、AB=AC，求证：，求证：B=C.2.证明证明:等腰三角形等腰三角形的两个底角相等的两个底角相等.4.角度问题角度问题课堂练习课堂练习 2.如图示，如图示，正方形正方形ABCD的边长为的边长为a，E是是AB的中点，的中点，F是是BC边上靠近点边上靠近点B的三等分点，的三等分点，AF与与DE交于点交于点M，求，求EMF的余弦值的余弦值.xy探究新知探究新知用用向量方法解决平面几何问题的向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”:(1)建立建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题将平面几何问题转化转化为向量为向量
9、问题；问题；基底法基底法坐标坐标法法(2)通过通过向量向量运算运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；问题；(3)把把运算结果运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系.转化转化选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找相应关系；把几何问题向量化建立适当的平面直角坐标系；建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找相应关系；用向量的坐标运算找相应关系；把几何问题向量化把几何问题向量化课堂练习课堂练习 4.如图示，如图示，在在ABC中，点中，点O是是BC的中点，过点的中点，过点O的直线分别交直线的
10、直线分别交直线AB，AC于不同的两点于不同的两点M，N.设设AB=mAM，AC=nAN，求，求m+n的值的值.课堂练习课堂练习5.在梯形在梯形ABCD中，中，ABCD，DAB=90，AB=2，CD=AD=1，若点若点M在线段在线段BD上，则求上，则求 的最小值的最小值.解：建立如图所示平面直角坐标系：解：建立如图所示平面直角坐标系：设设 ,M(x,y)则则(x-2,y)=(-2,1)的最小值为的最小值为当 时，课堂练习课堂练习证明：建立如图直角坐标系，设F(x,y)且设AB长为2探究新知探究新知1.三角形的四心概念三角形的四心概念（1）重心：）重心：三角形三条中线的交点，是中线靠近中点的三等分
11、点；三角形三条中线的交点，是中线靠近中点的三等分点；（2）垂心：）垂心：三角形三条高线的交点；三角形三条高线的交点；（3）内心：）内心：即三角形内切圆的圆心，是三条角平分线的交点，内心到三边距离相等；即三角形内切圆的圆心，是三条角平分线的交点，内心到三边距离相等；（4）外心：）外心：即即三角形外接圆三角形外接圆的圆心，是三的圆心，是三条边的中垂线的条边的中垂线的交点交点，外心到三个顶点距离，外心到三个顶点距离相等；相等；点点G是重心是重心点点H是垂心是垂心点点I是内心是内心点点O是外心是外心三角形的四心与向量的三角形的四心与向量的结合：结合：探究新知探究新知2.四四心对应的向量式心对应的向量式
12、外心外心垂心垂心内心内心重心重心下面证明四心的向量式下面证明四心的向量式.探究新知探究新知证明：证明：DEABCG探究新知探究新知若点若点G是是ABC 的重心，则的重心，则(1)点点G是三角形三条中线的交点，是中线靠近中点的三等分点；是三角形三条中线的交点，是中线靠近中点的三等分点；三角形重心的性质：三角形重心的性质：探究新知探究新知证明：证明：探究新知探究新知分分分分分分课堂练习课堂练习，C课堂练习课堂练习D课堂练习课堂练习C点G是重心课堂小结课堂小结平面几何中的向量方法:1.证明线段相等,转化为证明向量的长度相等;求线段的长,转化为求向量的模.2.证明线段、直线平行,转化为证明向量平行.3.证明线段、直线垂直,转化为证明向量垂直.4.几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题.5.对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题,通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,通过向量的坐标运算解决平面几何问题.布置作业布置作业（1）教材（2）同步作业THANKS