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1、1.3 1.3 函数的基本性质函数的基本性质一、函数单调性定义一、函数单调性定义 一一般般地地，设设函函数数y=f(x)的的定定义义域域为为I，如如果果对对于于定定义义域域I内内的的某某个个区区间间D内内的的任任意意两两个个自自变变量量x1，x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说那么就说f(x)在区间在区间D上是上是增函数增函数区间区间D叫做函数叫做函数f(x)的的单增区间单增区间.1增函数增函数(1)单调函数的定义思考思考3:3:对于函数定义域对于函数定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两上的任意两个自变量个自变量 的值，若当的值，若当 时，都有时，都有
2、 ,则函数则函数 在区间在区间D D上是增函数还是上是增函数还是减函数？减函数？注意：注意：1.函数的单调性是描绘函数在定义域内的某个区间上函数的单调性是描绘函数在定义域内的某个区间上的变化趋势，是函数的的变化趋势，是函数的局部性质局部性质；2.对于某一个点而言，由于它的函数值是一个对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，确定的常数，无单调性可言，在写单调区间时可以包括端点，也可以不包括端点在写单调区间时可以包括端点，也可以不包括端点。3.但对于某些不在定义域内的区间端点，但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点。书写时就必须去掉端点。例例1.下图是定义在
3、区间下图是定义在区间-5，5上的函数上的函数y=f(x)，根，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上,它是增函数还是减函数？它是增函数还是减函数？解解:函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2),1,3)上是减函数，上是减函数，在区间在区间-2,1),3,5 上是增函数上是增函数.-5,-2),-2,1),1,3),3,5.二二.典例精典例精1.1.若若f(x)f(x)为增函数，为增函数，g(x)g(x)为增函数，为增函数，则则F(X)=f(x)+g(x)F(X)=f(x)+g(x)为增函数。为增函数
4、。2.2.若若f(x)f(x)为减函数，为减函数，g(x)g(x)为减函数，为减函数，则则F(X)=f(x)+g(x)F(X)=f(x)+g(x)为减函数。为减函数。3.3.若若f(x)f(x)为增函数，为增函数，g(x)g(x)为减函数，为减函数，则则F(X)=f(x)-g(x)F(X)=f(x)-g(x)为增函数。为增函数。4.4.若若f(x)f(x)为减函数，为减函数，g(x)g(x)为增函数，为增函数，则则F(X)=f(x)-g(x)F(X)=f(x)-g(x)为减函数。为减函数。证明：证明：（取值）（取值）（作差）（作差）（下结论）（下结论）（定号）（定号）（变形）（变形）证明函数证
5、明函数f(x)f(x)在区间在区间D D上的单调性的步骤：上的单调性的步骤：1.1.取值取值:任取任取x x1 1，x x2 2DD，且，且x x1 10f(2a-1)-f(1-a)0，求实数，求实数 a a 的范围。的范围。例4函数f(x)对任意的a、bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.求抽象函数单调性【解】(1)证明：设x1，x2R，且x10，f(x2x1)1.f(x2)f(x1)f(x2x1)x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10.f(x2)f(x1)即f(x)是R上的增函数例4函数f(x)对任意的a、bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.求抽象函数单调性求抽象函数单调性