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1、函数概念1从集合角度定义函数2判定函数是否相等3求给定函数的定义域和值域学习目标学习目标:问题提出问题提出1.1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？式分别是什么？一次函数：一次函数：y ykxkxb(k0)b(k0)；二次函数：二次函数：y yaxax2 2bxbxc(a0)c(a0)；反比例函数：反比例函数：(k0).(k0).2.2.初中对函数概念是怎样定义的？初中对函数概念是怎样定义的？在一个变化过程中，如果有两个变量在一个变化过程中，如果有两个变量x x与与y y，并且，并且对于对于x x的每一个确定的值，的每一个确定的值
2、，y y都有唯一确定的值与都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说其对应，那么我们就说x x是自变量，是自变量，y y是是x x的函数的函数.一枚炮弹发射后，经过一枚炮弹发射后，经过26s26s落到地面击中目标落到地面击中目标.炮弹的射炮弹的射高为高为845m845m，且炮弹距离地面的高度，且炮弹距离地面的高度h h随时间随时间t t变化的规律是变化的规律是 h h130t-5t130t-5t2 2.思考思考1 1：这里的变量：这里的变量t t的变化范围是什么？变量的变化范围是什么？变量h h的变化范的变化范围是什么？试用集合表示？围是什么？试用集合表示？A At|0t26t|0t26，B Bh
3、|0h845h|0h845思考思考2 2：高度变量：高度变量h h与时间变量与时间变量t t之间的对应关系是否为函数？之间的对应关系是否为函数？对于数集对于数集A中的任意一个时间中的任意一个时间t，按照对应关系按照对应关系 h h130t-5t130t-5t2 2在数集在数集B中都有唯一的高度中都有唯一的高度h和它对应。和它对应。0110.0125800.ABf f:h:h130t-5t130t-5t2 2解：解：用用列表法列表法可将函数表示为可将函数表示为笔记本数笔记本数x12345 钱数钱数y510152025某种笔记本的单价是某种笔记本的单价是5元，买元，买x 个笔记个笔记本需要本需要y
4、元。元。51015202512345对于数集对于数集A中的任意一个中的任意一个x，按照对应关系按照对应关系 y=5x,y=5x,在数集在数集B中都有唯一的中都有唯一的y和它对应。和它对应。那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？设A、B是非空是非空数集数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意任意一个数一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x),xAx x叫做叫做自变量自变量，与，与x x值相对应的值相对应的y y值叫做值叫做函数值函数值.x x的取值范围
5、叫做的取值范围叫做定义域定义域，y y的取值范围叫做的取值范围叫做值域值域6 函数的三要素：定义域、值域、对应法则函数的三要素：定义域、值域、对应法则.定义域不可能是空集定义域不可能是空集,对应法则是核心对应法则是核心,值域是定义域和值域是定义域和对应法则决定的对应法则决定的.即定义域和对应法则确定了即定义域和对应法则确定了,值域也就值域也就随之确定了随之确定了.1.如果两个函数的如果两个函数的定义域和对应法定义域和对应法则完全相同则完全相同.就称就称 这两个这两个函数相同函数相同2.用什么字母表示自变量、函数值和对应法则是无关用什么字母表示自变量、函数值和对应法则是无关紧要的紧要的如如f(x
6、)=3x+4，f(t)=3t+4，g(x)=3x+4表示同一函数表示同一函数.3.f 可以看作是对可以看作是对“x”施加的某种运算或法则、施加的某种运算或法则、表格、图像等。表格、图像等。2判断两个函数是否相等判断两个函数是否相等一个函数一个函数定义域、对应关系、值域定义域、对应关系、值域由组成由组成 f：AB两个函数相等两个函数相等:定义域相同，对应关系一致定义域相同，对应关系一致.下列可作为函数下列可作为函数y=f(x)的图象的是的图象的是xxxxyyyyOOOO例例2 2、对于函数、对于函数y=f(x)y=f(x)，以下说法正确的有，以下说法正确的有()()yy是是x x的函数的函数 对
7、于不同的对于不同的x,yx,y的值也不同的值也不同 f(a)f(a)表示当表示当x=ax=a时函数时函数f(x)f(x)的值，是一个常量的值，是一个常量 f(x)f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来一定可以用一个具体的式子表示出来A A、1 1个个 B B、2 2个个 C C、3 3个个 D D、4 4个个B例例3 3、给出四个命题、给出四个命题,正确有正确有()()函数就是定义域到值域的对应关系函数就是定义域到值域的对应关系 若函数的定若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素 因因f(x)=5(xR),f(x)=5(xR),这个函数值不随
8、这个函数值不随x x的变化范围而的变化范围而变化，所以变化，所以f(0)=5f(0)=5也成立也成立 定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了 A A、1 1个个 B B、2 2个个 C C、3 3个个 D D、4 4个个D二、由函数的概念导出映射的概念二、由函数的概念导出映射的概念 函数是两个非空数集间的一种确定的对应关系。若函数是两个非空数集间的一种确定的对应关系。若将数集扩展到任意的集合时，会得到什么结论？将数集扩展到任意的集合时，会得到什么结论？设设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系的对应关系f，
9、使对于集合，使对于集合A中的任意一个元素中的任意一个元素x，在，在集合集合B中都有惟一确定的元素中都有惟一确定的元素y与之对应，那么就称与之对应，那么就称对应对应f:AB为从集合为从集合A到集合到集合B的一个的一个映射映射。映射映射函数概念与映射概念之间有怎样的关系？有什么异同？函数概念与映射概念之间有怎样的关系？有什么异同？函数是从非空数集函数是从非空数集A到非空数集到非空数集B的映射。的映射。映射是从集合映射是从集合A到集合到集合B的一种对应关系，这里的一种对应关系，这里的集合的集合A、B可以是数集，也可以是其他集合。可以是数集，也可以是其他集合。函数是一种特殊的映射。函数是一种特殊的映射
10、。问题问题 如何判断一个对应关系是不是映射？如何判断一个对应关系是不是映射？123456123332211941一对一，多对一，但不能一对多一对一，多对一，但不能一对多任意性，唯一性，方向性任意性，唯一性，方向性941332211例例1.判断下列对应是否映射？有没有对判断下列对应是否映射？有没有对应法则？应法则？abcefgabcdefg是是不是不是是是 1、3是映射，有对应法则，对应是映射，有对应法则，对应法则是用图形表示出来的法则是用图形表示出来的.abcefgd例例7 7 以下给出的对应是不是从集合以下给出的对应是不是从集合A A到到B B的映射的映射?(1)(1)集合集合A=A=P|P
11、P|P是数轴上的点，集合是数轴上的点，集合B=RB=R，对应关系对应关系f f：数轴上的点与它所代表的实数对应：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)(2)集合集合A AP|PP|P是平面直角坐标系中的点，是平面直角坐标系中的点，集合集合B B ，对应关系对应关系f f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)(3)集合集合A Ax|xx|x是三角形，集合是三角形，集合B Bx|xx|x是圆，是圆，对应关系对应关系f f：每一个三角形都对应它的内切圆；：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)(4)集合集合A Ax|xx|x是新华中学的班级，是新华中学的班级
12、，集合集合B Bx|xx|x是新华中学的学生，是新华中学的学生，对应关系对应关系f f：每一个班级都对应班里的学生；：每一个班级都对应班里的学生；集合表示集合表示区间表示区间表示数轴表示数轴表示x axb(a ,b)。x axba ,b.x axba ,b).。x axb(a ,b.。x xa(,a)。x xa(,a.x xb(b,+)。x xbb,+).x xR(,+)数轴上所有的点数轴上所有的点把下列不等式写成区间表示把下列不等式写成区间表示1.-2x4 4,记作记作:_；(4,+)3.5x7,记作记作:；5,74.2x5,记作记作:；2,5)5.1x3,记作记作:_；(1,36.x-10
13、,记作记作:_；(-,-107.7.x3,3,记作记作:_:_；8.8.x-6,6,记作记作:_:_；(-,-6)3,+)10.x|-2x6 x|36x|-5 0a 0图像图像定义域定义域值域值域已学函数的定义域和值域已学函数的定义域和值域若若f(x)是整式是整式,则函数的定义域为则函数的定义域为R;y=2x1若若f(x)是分式是分式,函数的分母不为零函数的分母不为零;被开方数非负被开方数非负;零的零次方没有意义零的零次方没有意义;组合型函数的定义域是各个初等函数定组合型函数的定义域是各个初等函数定 义域的义域的交集交集.如何确定函数的定义域如何确定函数的定义域?19三三 求函数定义域求函数定
14、义域例题例题求抽象函数的函数值：赋值法求抽象函数的函数值：赋值法观察法观察法；分离常数法分离常数法:适用于适用于分子分母有分子分母有x的函数的函数求函数的值域，常用以下方法：求函数的值域，常用以下方法：数形结合法数形结合法：适用于可：适用于可画出图像画出图像的函数的函数换元法换元法：适用于：适用于含根号含根号的函数的函数注意：换元注意元素的取值变化注意：换元注意元素的取值变化值域为值域为 _.例例2.2.求下列函数的值域：求下列函数的值域：值域为值域为 _R-1,0,1(,0)(0,+)0,+)观察法观察法:由函数解析式直接看出由函数解析式直接看出.值域为值域为 _.值域为值域为 _.(6)y
15、=x22x+3(1x2)解解:由由y=(x 1)2+2,1 x 2,xyo11234561234由图知由图知:2:2y66.故函数的值域为故函数的值域为 2,6.已知已知y=x2-2-2x+5(0+5(0 x33),求值域求值域.数形结合法数形结合法:适用于可适用于可画出图像画出图像的函数的函数(8)y=|x+1|1x|解：由解：由 y=|x+1|x 1|当当x1时时,y=(x+1)+(x1)=2;当当1 1x 1 1时时,y=(,y=(x+1)+(+1)+(x-1)=2-1)=2x;当当x1时时,y=(x+1)(x1)=2.xy1122o由图知由图知:2y2.故函数的值域为故函数的值域为2,
16、2.数形结合法数形结合法:适用于可适用于可画出图像画出图像的函数的函数故函数的值域为故函数的值域为解：由解：由分离常数法分离常数法:适用于适用于分子分母有分子分母有x的函数的函数可将其分离出一个常数可将其分离出一个常数.分离常数法分离常数法:适用于适用于分子分母有分子分母有x的函数的函数可将其分离出一个常数可将其分离出一个常数.解：设解：设 则则 x=1-t 2 且且 t 0.y=1-t 2+t tyo由图知：由图知：故函数的值域为故函数的值域为换元法：适用于换元法：适用于含根号含根号的函数的函数注意：换元注意元素的取值变化注意：换元注意元素的取值变化解：设解：设 t=xyo由图知：由图知：故
17、函数的值域为故函数的值域为换元法：适用于换元法：适用于含根号含根号的函数的函数注意：换元注意元素的取值变化注意：换元注意元素的取值变化观察法观察法；分离常数法分离常数法:求函数的求函数的值域值域，常用以下方法：，常用以下方法：数形结合法数形结合法：适用于可：适用于可画出图像画出图像的函数的函数换元法换元法：教学建议：可先讲第二节的图像法，再讲值域教学建议：可先讲第二节的图像法，再讲值域注意：换元注意元素的取值变化注意：换元注意元素的取值变化例.已知函数 （1）求）求f(x)的定义域；的定义域；（2）求）求f(x+3)的表达式，以及的表达式，以及f(x+3)的定义域。的定义域。（3）求）求f(2
18、x+1)的表达式，以及的表达式，以及f(2x+1)的定义域。的定义域。注意：注意：1.函数函数f(x+3)的定义域指的是的定义域指的是x的取值范围，而不是的取值范围，而不是x+3 的取值范围。的取值范围。2.本题中函数本题中函数f(x+3)的定义域为的定义域为-1x2，则，则2x+3 5 与与f(x)的定义域相同。的定义域相同。原因是我们在求原因是我们在求f(x+3)f(x+3)的表达的表达式时是用式时是用“x+3x+3”整个代替整个代替f(x)f(x)表达式中的表达式中的“x x”。变式变式1：已知函数f(x)的定义域为(2,5，求函数f(x+3)的定义域。变式变式2：已知函数f(x+3)的
19、定义域为(-1,2，求函数f(x)的定义域。解：解：(1)因为因为f(x)的定义域为的定义域为(2,5，所以，所以2x+35，得得-1x2。所以函数。所以函数f(x+3)的定义域为的定义域为(-1,2。解：解：（2）因为）因为f(x+3)的定义域为的定义域为(-1,2，所以，所以-1x2，得得2x+35，所以，所以f(x)的定义域为的定义域为(2,5。(1)已知已知y=f(2x+1)的定义域为的定义域为-1,1,求求:f(x)的定义域；的定义域；解解:-1x1,-12x+13.函数函数f(x)的定义域为的定义域为:-1,3.(3)f(x)的定义域为的定义域为(-2,3,求求f(2x-1)的定义
20、域的定义域.(2)(2)已知已知f(x)的定义域为的定义域为0,2,0,2,求求f(2(2x)的定义域的定义域.解解:由题由题02x2,0 x1.故故f(2x)的定义域为的定义域为0,1.(4)已知已知y=f(x+3)的定义域为的定义域为 1,3,求求:f(x)的定义域的定义域.令令t=2x+1,则则-1t3.f(t)的定义域为的定义域为 -1,3.(4)4,6例例3.求下列函数的定义域求下列函数的定义域.1.已知函数f(x)的定义域为-1,1，求函 数f(2x+1)的定义域。2.已知函数f(2x-1)的定义域为-3,3,求函数f(x)的定义域。1.已知函数f(2x-1)的定义域为0,1)，求 f(1-3x)的定义域。2.已知函数f(x)的定义域为0,1，求 的定义域。3.若函数f(x+3)的定义域为-5,-2,求F(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域。