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1、学案学案1 1 角的概念的推广角的概念的推广 与弧度制与弧度制返回目录返回目录 1.角的概念角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点从一个位置角可以看成一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转到另一个位置所成的图形,按旋转的方向按旋转的方向,可分可分为为 、.零角零角 正角正角 负角负角 返回目录返回目录 2.象限角象限角象限角象限角象限角象限角的集合表示的集合表示第一象限角第一象限角第二象限角第二象限角第三象限角第三象限角第四象限角第四象限角|k360+270k360+360,kZ|k360k360+90,kZ|k360+90k360+180,kZ|k360+180k36
2、0+270,kZ3.终边落在坐标轴上的角终边落在坐标轴上的角角角终边位置终边位置角角的集合的集合在在x x轴非负半轴上轴非负半轴上在在x x轴非正半轴上轴非正半轴上在在y y轴非负半轴上轴非负半轴上在在y y轴非正半轴上轴非正半轴上在在x x轴上轴上在在y y轴上轴上在坐标轴上在坐标轴上 返回目录返回目录|=k90,kZ|=k360,kZ|=k360+180,kN|=k360+90,kZ|=k360+270,kZ|=k180,kZ|=k180+90,kZ返回目录返回目录 4.终边相同的角终边相同的角所有与角所有与角终边相同的角终边相同的角,连同角连同角在内在内,可构成一个集合可构成一个集合 或
3、或 .5.角的度量角的度量角度与弧度的换算关系角度与弧度的换算关系360=rad;1=rad;1 rad=.6.扇形的弧长、扇形面积的公式扇形的弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为设扇形的弧长为l,圆心角大小为圆心角大小为(rad),半径为半径为r,则则l=,扇形的面积为扇形的面积为S=.|r2S=|=k360+,kZS=|=2k+,kZ2|r lr返回目录返回目录 考点一考点一考点一考点一 终边角问题终边角问题终边角问题终边角问题 写出终边在函数写出终边在函数y=x的图象上的角的集合的图象上的角的集合S.【分析分析分析分析】函数函数y=x的图象是一条直线（一、三象的图象是一条直线（一、三象限的
4、角平分线），而角的终边是一条射线，故应分限的角平分线），而角的终边是一条射线，故应分别求出终边在一、三象限的角，再求其并集别求出终边在一、三象限的角，再求其并集.【解析解析】在在0到到360的范围内，终边在函数的范围内，终边在函数y=x的图象的图象上的角有两个，即上的角有两个，即45和和225.因此，所有与因此，所有与45角终边相同的角构成集合角终边相同的角构成集合:S1=|=45+k360,kZ =|=45+2k180,kZ,而所有与而所有与225角终边相同的角角终边相同的角构成集合构成集合:返回目录返回目录 0 y=xx y 返回目录返回目录 S2=|=225+k360，kZ =|=45+
5、（2k+1）180,kZ,于是，终边在函数于是，终边在函数y=x图象如图上的角的集合图象如图上的角的集合:S=S1S2 =|=45+2k180,kZ|=45+(2k+1)180,kZ=|=45+n180，nZ.坚持化简原则，培养求简意识；坚持化简原则，培养求简意识；数形结合可以数形结合可以使思路清晰；使思路清晰；表示角可用角度，也可用弧度，但在同一表示角可用角度，也可用弧度，但在同一表示中弧度和角度不能混用表示中弧度和角度不能混用.返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练 已知已知,的终边相同，那么的终边相同，那么-的终边在（的终边在（）A.x轴的非负半轴上轴的非负半轴上 B.y轴的
6、非负半轴上轴的非负半轴上C.x轴的非正半轴上轴的非正半轴上 D.y轴的非正半轴上轴的非正半轴上A(,终边相同终边相同,=2k+,kZ.-=2k，kZ.-的终边在的终边在x轴的非负半轴上轴的非负半轴上.故应选故应选A.)返回目录返回目录 A返回目录返回目录 考点二考点二考点二考点二 象限角问题象限角问题象限角问题象限角问题 若若是第二象限的角，试分别确定是第二象限的角，试分别确定2,的终边的终边所在位置所在位置.【分析分析分析分析】判断角判断角在哪个角限在哪个角限,只需把只需把改写成改写成0+k360(kZ),其中其中00360.【解析解析解析解析】是第二象限的角是第二象限的角,k360+90k
7、360+180(kZ).(1)2k360+18022k360+360(kZ),2是第三或第四象限的角是第三或第四象限的角,或角的终边在或角的终边在y轴的非轴的非正半轴上正半轴上.(2)k180+45 k180+90(kZ),当当k=2n(nN)时时,n360+45 n360+90;当当k=2n+1(nZ)时时,n360+225 n360+270.是第一或第三象限的角是第一或第三象限的角.返回目录返回目录 返回目录返回目录(3)k120+30 k120+60(kZ),当当k=3n(nZ)时时,n360+30 n360+60;当当k=3n+1(nZ)时时,n360+150 n360+180;当当k
8、=3n+2(nZ)时时,n360+270 n360+300.是第一或第二或第四象限的角是第一或第二或第四象限的角.(1)若由若由90180,得得45 0),当当为多少弧度时为多少弧度时,该扇形有最大面积该扇形有最大面积?【分析分析分析分析】(1)直接套用公式直接套用公式l=R可求弧长可求弧长,利用利用S弓弓=S扇扇-S可求弓形面积可求弓形面积.(2)将将S扇扇表示为表示为的函数的函数,转化为函数求最大值问题转化为函数求最大值问题.返回目录返回目录【解析解析解析解析】(1)设弧长为设弧长为l,弓形面积为弓形面积为S弓弓,=60=,R=10,l=,S弓弓=S扇扇-S=10-102sin60=50(
9、-)cm2.(2)扇形周长扇形周长c=2R+l=2R+R,R=,S扇扇 R2 当当 ,即即=2(=-2舍去舍去)时时,扇形面积有最大值扇形面积有最大值 .(1)有关最值的问题有关最值的问题,一般转化为求函数的最值一般转化为求函数的最值.要要注意自变量的实际意义注意自变量的实际意义.(2)弧长、面积是实际应用中经常遇到的两个量，应弧长、面积是实际应用中经常遇到的两个量，应切实掌握好其公式并能熟练应用切实掌握好其公式并能熟练应用.(3)公式公式l=|R,S=R2|均要求均要求的值是弧度数的值是弧度数.返回目录返回目录 返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练(1)=120=rad,r=6
10、,AB的弧长为的弧长为l=6=4.(2)S扇形扇形OAB=lr=46=12,SABO=r2sin =62 =,S 弓形弓形OAB =S 扇形扇形OAB S ABO=12-.已知扇形已知扇形OAB的圆心角的圆心角为为120,半径长为半径长为6.(1)求求AB的弧长的弧长;(2)求弓形求弓形OAB的面积的面积.返回目录返回目录 1.1.区分象限角、范围角（如锐角、钝角）等概念区分象限角、范围角（如锐角、钝角）等概念区分象限角、范围角（如锐角、钝角）等概念区分象限角、范围角（如锐角、钝角）等概念.2.2.理解弧度概念理解弧度概念理解弧度概念理解弧度概念,正确利用正确利用正确利用正确利用rad=180
11、rad=180进行度与弧度的互进行度与弧度的互进行度与弧度的互进行度与弧度的互化化化化.3.3.理解由弧度概念推导的弧长公式、扇形面积公式理解由弧度概念推导的弧长公式、扇形面积公式理解由弧度概念推导的弧长公式、扇形面积公式理解由弧度概念推导的弧长公式、扇形面积公式.4.4.本学案概念较多本学案概念较多本学案概念较多本学案概念较多,需注意各自特点和表示法需注意各自特点和表示法需注意各自特点和表示法需注意各自特点和表示法.例如例如例如例如:第一第一第一第一象限角、锐角、小于象限角、锐角、小于象限角、锐角、小于象限角、锐角、小于9090的角是概念不同的三类角的角是概念不同的三类角的角是概念不同的三类角的角是概念不同的三类角.5.5.角度制与弧度制可利用角度制与弧度制可利用角度制与弧度制可利用角度制与弧度制可利用180=rad180=rad进行互化进行互化进行互化进行互化,在同一个在同一个在同一个在同一个式子中式子中式子中式子中,采用的度量制度必须一致采用的度量制度必须一致采用的度量制度必须一致采用的度量制度必须一致,不可混用不可混用不可混用不可混用.6.6.注意熟记注意熟记注意熟记注意熟记03600360角的弧度表示角的弧度表示角的弧度表示角的弧度表示.