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1、角的概念和弧度制角的概念和弧度制一一.角的概念角的概念1、角的概念的推广、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，叫做角。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。射线的端点叫做角的顶点。2.角的分类角的分类：正角、负角、零角正角、负角、零角。3.象限角的概念象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。6.终边相同的角终边相同的角：与 角终边相同的角的集合（连同角
2、在内），可以记为 5区间角：区间角：区间角是介于两个角之间的所有角，如|=，。4.轴线角的概念轴线角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，若角的终边落在坐标轴上时，这个角就叫轴线角。角的角的终边终边所在位置所在位置角的集合角的集合X轴轴正半正半轴轴Y轴轴正半正半轴轴X轴负轴负半半轴轴Y轴负轴负半半轴轴X轴轴Y轴轴坐坐标轴标轴7.几种终边在特殊位置时对应角的集合为：几种终边在特殊位置时对应角的集合为：二二.弧度制弧度制1.1弧度角的定义：我们把长度等于弧度角的定义：我们把长度等于半径长半径长的弧所对的圆心角的弧所对的圆心角叫叫1弧度弧度角。角。1弧度记作弧度记作:1rad.
3、用弧度作为度量角的制度，用弧度作为度量角的制度，叫叫弧度制弧度制。（1度的角：把周角度的角：把周角360等份，则其中等份，则其中1份所对的圆心角叫做份所对的圆心角叫做1度的度的角。用度作为度量角的制度，叫角度制。）角。用度作为度量角的制度，叫角度制。）2.角度制与弧度制的互化：角度制与弧度制的互化：rad，rad;1弧度弧度3.弧长公式：弧长公式：（是圆心角的弧度数）是圆心角的弧度数）4.扇形面积公式扇形面积公式：已知角已知角 ，（，（1）在区间）在区间 内找出所有与角内找出所有与角 有相同终边的角有相同终边的角（2）设集合）设集合 ，那么两集合的关系是什么？，那么两集合的关系是什么？【思路分
4、析思路分析】（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与所有与 角有相同终边的角，然后列出一个关于角有相同终边的角，然后列出一个关于k的不等式，找出的不等式，找出相应的整数相应的整数k，代回求出所求解；（，代回求出所求解；（2）可对整数）可对整数k的奇、偶数情的奇、偶数情况展开讨论。况展开讨论。解：（解：（1）所有与角）所有与角 有相同终边的角可表示为：有相同终边的角可表示为：则令则令 得得 解得解得 从而从而 或或代回得代回得 或或（2）因为）因为 表示的是终边落在四个象限表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合的平分线上的角
5、的集合；而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N 【点评与感悟点评与感悟】与与 角终边相同的角（连同角角终边相同的角（连同角 在内），在内），可以表示为可以表示为 .（1）若角）若角 是第二象限角，则是第二象限角，则 是哪个象限角？是哪个象限角？是哪个象限角？（是哪个象限角？（2）已知已知 是第三象限角，则是第三象限角，则 是第几象限角是第几象限角?【思路分析思路分析】对于（对于（1），由），由a是第二象限角，可得到是第二象限角，可得到a角的范围，角的范围，即即 ，()进而可得到进而可得到的取值范围，再根据范围确定
6、其象限即可；对于（的取值范围，再根据范围确定其象限即可；对于（2），同理由），同理由a是第三象限角，可得到是第三象限角，可得到a角的范围，进而可得角的范围，进而可得 的取值范围，的取值范围，再根据范围确定其所在象限。此外本题也可用几何法来确定再根据范围确定其所在象限。此外本题也可用几何法来确定所在的象限。所在的象限。解：（解：（1）因为角因为角a是第二象限角，所以是第二象限角，所以 则则 当当k是偶数时，设是偶数时，设 则则 可知可知 在第一象限；在第一象限；当当k是奇数时，设是奇数时，设 则则 可知可知 在第三象限；在第三象限；综上所述，角综上所述，角a是第二象限角，则是第二象限角，则 是第
7、一象限角或第三象限角；是第一象限角或第三象限角；因为因为 可知角可知角2a的终边应在第三象限或第四象限或的终边应在第三象限或第四象限或Y轴的负半轴上轴的负半轴上.（2）解法一：）解法一：因为因为a是第三象限角，所以是第三象限角，所以 当当k=3m（mZ）时，）时，为第一象限角；为第一象限角；当当k=3m1（mZ）时，）时，为第三象限角；为第三象限角；当当k=3m2（mZ）时，）时，为第四象限角。为第四象限角。故故 为第一、三、四象限角。为第一、三、四象限角。解法二解法二：把各象限均分把各象限均分3等份，再从等份，再从x轴轴的正向的上方起的正向的上方起。依次将依次将各区域各区域标标上上I、，并依
8、次循，并依次循环环一周，一周，则则原来是第原来是第象限的符号所表示的区域即象限的符号所表示的区域即为为的的终边终边所在的区域所在的区域。由由图图可知，可知，是第一、三、四象限角是第一、三、四象限角。【点评与感悟点评与感悟】（1）已知角）已知角a的范围或所在的象限，求的范围或所在的象限，求 所在的所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：体操作如下：若若a是第是第k（k取取1、2、3、4之一）象限的角，利用单位圆判断之一）象限的角，利用单位圆判断 是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧是第几象限角的方法
9、：把单位圆上每个象限的圆弧n等等 份，并从份，并从x正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号，再循环，直到填满为止，则有标号k的区域就是角的区域就是角终边所在的范围。终边所在的范围。如：如：k=2,则角则角 是第一或二或第四象限的角。如右图中标是第一或二或第四象限的角。如右图中标有号码有号码2的区域就是的区域就是 终边所在位置。终边所在位置。（2）确定角所在的象限是确定）确定角所在的象限是确定函数值符号的关键，故必须掌握函数值符号的关键，故必须掌握已知角已知角a的范围，求与的范围，求与a有运算关系的角的范
10、围。有运算关系的角的范围。已知下列各个角：已知下列各个角：（1）其中是第三象限的角是）其中是第三象限的角是_ （2）将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少？）将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少？【思路点拨思路点拨】先将已知角对应化为先将已知角对应化为 或或的形式后，再根据终边相同来判断角所在象限；的形式后，再根据终边相同来判断角所在象限；根据换算公式解第二问。根据换算公式解第二问。解：（解：（1），它是第一象限角；，它是第一象限角；，它是第三象限角；，它是第三象限角；，它是第二象限角，它是第二象限角，它是第三象限角；，它是第三象限角；所以是第三象限的角是所以是第三象限的角是 和和（2）
11、【点评与感悟点评与感悟】熟练掌握角度制与弧度制的互化公式：熟练掌握角度制与弧度制的互化公式：rad，rad;1弧度弧度 是正确换算的关键。是正确换算的关键。一个半径为一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，则的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，则扇形的圆心角是多少弧度？多少度？扇形的面积是多少？扇形的圆心角是多少弧度？多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是解：设扇形的圆心角是 ，因为扇形的弧长，因为扇形的弧长所以扇形的周长是所以扇形的周长是 依题意知：依题意知：，解得，解得转化为角度制为转化为角度制为 它的面积为：它的面积为：【点评与感悟点评与感悟】熟练掌握弧度制下的弧长公式，扇形公式是解答熟练掌握弧度制下的弧长公式，扇形公式是解答此类问题的关键。此类问题的关键。