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1、生活中存在着各种形式的抛物线生活中存在着各种形式的抛物线24 24 一月一月 2023 2023抛物线的生活实例抛物线的生活实例投篮运动投篮运动抛物线的生活实例抛物线的生活实例抛球运动抛球运动抛物线的生活实例抛物线的生活实例飞机投弹飞机投弹抛物线的生活实例抛物线的生活实例探照灯的灯面探照灯的灯面抛物线及其标准方程（一）抛物线及其标准方程（一）请同学们思考两个问题请同学们思考两个问题1、我们对抛物线已有了哪些认识？、我们对抛物线已有了哪些认识？2、二次函数的图像抛物线的、二次函数的图像抛物线的开口方向是什么？开口方向是什么？想想一一想想？复习提问复习提问：到一个定点到一个定点F的距离和它到一条定
2、直线的距离和它到一条定直线l 的距离的比的距离的比是常数是常数e的动点的动点M 的轨迹的轨迹.（直线直线 l 不经过点不经过点F）MFl0e 1lFMe1（1）当当0 0e 1 1时，时，点点M的轨迹是什么的轨迹是什么?（2）当当e1 1时，时，点点M的轨迹是什么的轨迹是什么?是椭圆是椭圆是双曲线是双曲线当当e=1时时，即即|MF|=|MH|，点点M的轨迹是什么的轨迹是什么？思考思考?.FlHM实验实验:取一条长为取一条长为AC的绳子的绳子,一端点固定在点一端点固定在点A 上上,另一端点固定在定点另一端点固定在定点F上上,把笔尖放在把笔尖放在P点上点上,沿着直线沿着直线l上下移动三角形作出点上
3、下移动三角形作出点P移移动的轨迹图形动的轨迹图形.动动手手做做实实验验平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线。定点定点F F叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点。定直线定直线L L叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线。抛物线的定义抛物线的定义即即:FMLNyxo 在二次函数中研究的抛物线，在二次函数中研究的抛物线，有开口向上或向下两种情形。有开口向上或向下两种情形。lNFM求曲线方程求曲线方程的基本步骤的基本步骤是怎样的？是怎样的？想想一一想想？抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导1.1.建建:建立直角坐标系
4、建立直角坐标系.3.列列:根据条件列出等式根据条件列出等式;4.代代:代入坐标与数据代入坐标与数据;5.化化:化简方程化简方程.2.2.设设:设点设点(x,y);(x,y);回顾求曲线方程一般步骤：回顾求曲线方程一般步骤：FMlN设焦点到准线的距离为常数设焦点到准线的距离为常数P(P0)P(P0)如何建立坐标系如何建立坐标系,求出抛物线的标求出抛物线的标准方程呢准方程呢？抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导试试一一试试？K KxyoFMlNK设设KF=p则则F（，0），），L：x=-p2p2设动点设动点M的坐标为（的坐标为（x，y）由抛物线的定义可知，由抛物线的定义可知，化简得化简得 y2
5、=2px（p0）2解：如图，取过焦点解：如图，取过焦点F F且垂直于准线且垂直于准线L L的直的直线为线为x x轴，线段轴，线段KFKF的中垂线为的中垂线为y y轴轴 抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导(p 0)FMLNyox抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导如图，若以准线所在直线为如图，若以准线所在直线为y y轴，轴，则焦点则焦点F F(P,0),P,0),准线准线L:x=0 L:x=0 由抛物线的定义，可导出由抛物线的定义，可导出抛物线方程为抛物线方程为y2=2p(x-)(p0）p2比较之下，显然方程比较之下，显然方程y2=2px（p0）更为简单更为简单 方程方程 y2=2px
6、（p0）叫做叫做叫做叫做抛物线的标准方程抛物线的标准方程抛物线的标准方程抛物线的标准方程其中其中 p 为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是:焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离抛物线的标准方程抛物线的标准方程即右焦点即右焦点F（，0），），左准线左准线L：x=-p2p2但但是是，一一条条抛抛物物线线，由由于于它它在在坐坐标标平平面面内内的的位位置置不不同同，方方程程也也不不同同，所所以以抛抛物物线的标准方程还有其它形式。线的标准方程还有其它形式。方程方程 y2=2px（p0）表示的抛物线，其焦点表示的抛物线，其焦点 位于位于X X轴的正半轴上，其准线交于轴的正半轴上，其准
7、线交于X X轴的负半轴轴的负半轴抛物线的标准方程抛物线的标准方程yxo抛物线的标抛物线的标准方程还有准方程还有哪些形式哪些形式?想想一一想想？抛物线的标准方程抛物线的标准方程其它形式的其它形式的抛物线的焦抛物线的焦点与准线又点与准线又如何呢？如何呢？怎样把抛物线的位置特怎样把抛物线的位置特征（标准位置）和方程特征（标准位置）和方程特征（标准方程）统一起来征（标准方程）统一起来？抛物线的标准方程抛物线的标准方程想想一一想想？抛物线方程左右左右型型标准方程为y2=+2px(p0)开口向右:y2=2px(x 0)开口向左:y2=-2px(x 0)标准方程为x2=+2py(p0)开口向上:x2=2py
8、(y 0)开口向下:x2=-2py(y0)抛物线的标准方程抛物线的标准方程上下上下型型准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程焦点位置焦点位置 图图 形形 四种抛物线及其它们的标准方程四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的轴的正半轴上正半轴上 x轴的轴的负半轴上负半轴上 y轴的轴的正半轴上正半轴上 y轴的轴的负半轴上负半轴上y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(-感悟归结感悟归结:1 1、焦点在、焦点在一次项字母一次项字母对应的坐标轴上对应的坐标轴上.2 2、一一次次项项的的系系数数的的符符号号决决定定了了抛抛物物线线的的开口方向开口方向.3 3、焦点坐标的、焦点坐标的
9、非零坐标非零坐标是一次项系数的是一次项系数的 .4 4、准线方程对应的、准线方程对应的数数是一次项系数的是一次项系数的 的的相反数相反数.例例1（1）已知抛物线的标准方程是）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是）已知抛物线的方程是y=6x2,求它的焦求它的焦点坐标和准线方程；点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），），求求它的标准方程。它的标准方程。解解:因焦点在因焦点在y轴的负半轴上轴的负半轴上,且且p=4,故其标准故其标准方程为方程为:x =-8y232解：因为，故焦点坐
10、标为（解：因为，故焦点坐标为（,）32准线方程为准线方程为x=-.解解:方程可化为方程可化为:故焦点坐标故焦点坐标为为 ,准线方程为准线方程为 例题讲解例题讲解1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）y2=20 x （2）y=2x2（3）2y2+5x=0 （4）x2+8y=0焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x=-5（0，）18y=-188x=5（-，0）58（0，-2）y=2练习：练习：注意：求抛物线的焦点注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为一定要先把抛物线化为标准形式标准形式练习练习 已知抛物线的标准方程是已知抛物
11、线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；变式一变式一：写出下列抛物线的标准方程、焦点坐标和写出下列抛物线的标准方程、焦点坐标和准准 线方程：线方程：（1）6y+5x2=0；（；（2）y=6ax2（a0）.（2）x2=y,焦点坐标为（焦点坐标为（0，），），准线方程是准线方程是y=2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）（2）准线方程）准线方程 是是x=（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2解：解：y2=12x解：解：y2=x解：解：y2=4x或或y2=-4x 或或x2=4y或或x
12、2=-4y练习：练习：反思研究反思研究已知抛物线的标准方程 求其焦点坐标和准线方程先定位先定位，后定量后定量例例2：求过点：求过点A（-3，2）的抛物线的的抛物线的 标准方程。标准方程。AOyx解：解：1）设抛物线的标准方程为）设抛物线的标准方程为 x2=2py，把把A（-3，2）代入代入，得得p=2）设抛物线的标准方程为）设抛物线的标准方程为 y2=-2px，把把A（-3，2）代入代入，得得p=抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2=y或或y2=x 。例题讲解例题讲解 已知抛物线经过点已知抛物线经过点P(4,P(4,2)2)，求抛物线的求抛物线的标准方程。标准方程。提示：注意到提示：注意到
13、P为第四象限的点，所以可以设抛物为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为线的标准方程为y2=2px或或x2=-2py练习：练习：练习练习 已知抛物线的焦点坐标是已知抛物线的焦点坐标是F（0 0，-2-2）求它的标准方程求它的标准方程。解解:因为焦点在因为焦点在y的负半轴上的负半轴上,所以设所所以设所求的标准方程为求的标准方程为x2=-2py 即即 得得p=4 所求的标准方程为所求的标准方程为x2=-8y分析分析:因为焦点坐标是（因为焦点坐标是（0 0，-2-2）,所以所以抛物线开口方向是抛物线开口方向是y y轴的负方向轴的负方向,它的它的方程形式为方程形式为x2=-2py.（1 1）焦点是
14、焦点是F（-2-2，0 0），），它的标准方程它的标准方程_._.（2 2）准线方程是准线方程是y =-2-2，它的标准方程它的标准方程_._.（3 3）焦点到准线的距离是焦点到准线的距离是4 4,它的标准方程它的标准方程_._.变式变式:y2=-8xx2=8yx2=8y、y2=8x（1）（2）例例4:已知抛物线方程为已知抛物线方程为x=ay2（a0)，讨论讨论 抛物抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？线的开口方向、焦点坐标和准线方程？解：抛物线的方程化为：解：抛物线的方程化为：y2=x1a即2p=1 a4a1焦点坐标是（，0），准线方程是：x=4a1当当a0时时,抛物线的开口向右抛物线的开
15、口向右p2=14a例题讲解例题讲解例例5、点点M与点与点F(4，0)的距离比它到直线的距离比它到直线 l:x+5=0的距离小的距离小1,求点求点M的轨迹方程的轨迹方程?OyxFM 解：如图所示解：如图所示解：如图所示解：如图所示,设点设点设点设点MM的坐标为的坐标为的坐标为的坐标为(x,y).(x,y).由已知条件得由已知条件得由已知条件得由已知条件得,点点点点MM与点与点与点与点FF的距离等于它到直线的距离等于它到直线的距离等于它到直线的距离等于它到直线x+4=0 x+4=0的距离的距离的距离的距离,根据抛物线的定义根据抛物线的定义根据抛物线的定义根据抛物线的定义,点点点点MM的轨迹是以的轨
16、迹是以的轨迹是以的轨迹是以F(4,0)F(4,0)为焦点的抛物线为焦点的抛物线为焦点的抛物线为焦点的抛物线.因为因为因为因为 =4,=4,所以所以所以所以 P=P=.因为焦点在因为焦点在因为焦点在因为焦点在xx轴的正半轴上轴的正半轴上轴的正半轴上轴的正半轴上,所以点所以点所以点所以点MM的轨迹方程为的轨迹方程为的轨迹方程为的轨迹方程为yy22=16x=16xOyxFMp2例例5.已知抛物线形古城门底部宽已知抛物线形古城门底部宽12cm,高高6cm，建立适当的坐标系，求出它，建立适当的坐标系，求出它的标准方程的标准方程引申：（引申：（1）一辆货车宽）一辆货车宽4cm,高高4cm，问，问能否通过此
17、城门能否通过此城门?(2)若城门为双向行道，那么该货车能否若城门为双向行道，那么该货车能否通过呢？通过呢？3.抛物线的标准方程类型与图象特征的抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法对应关系及判断方法2.抛物线的抛物线的标准方程与其焦点、准线标准方程与其焦点、准线4.注重注重数形结合数形结合的思想的思想 1 1.抛物线的抛物线的定义定义课堂小结课堂小结5.注重注重分类讨论分类讨论的思想的思想解题感悟解题感悟:用待定系数法用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：求抛物线标准方程的步骤：（1）确定抛物线的形式确定抛物线的形式.（2）求求p p值值（3）写抛物线方程写抛物线方程注意注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论