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1、第四章椭圆型方程的有限差分法 1 1 差分逼近的基本概念差分逼近的基本概念 2 2 一维差分格式一维差分格式 3 3 矩形网的差分格式矩形网的差分格式 4 4 三角网的差分格式三角网的差分格式 5 5 极值原理极值原理第四章椭圆型方程的有限差分法11差分逼近的基本概念差分逼近的基本概念区间的剖分剖分1 1 区间的剖分区间的剖分1 微分方程离散微分方程离散(差分方程）差分方程）1 1 微分方程离散微分方程离散(差分方程）差分方程）定义定义1.11.1定义定义1.21.2定义定义1.31.3定理定理1.11.1（相容（相容+稳定稳定=收敛）收敛）2 2 一维差分格式一维差分格式2.12.1直接差分
2、化直接差分化ab图12.2 2.2 积分插值法积分插值法 2.3 2.3 变分变分-差分法差分法数值计算中，数值计算中，我们学习过我们学习过Lagrange插值多项式插值多项式公式：公式：Lagrange插值多项式插值多项式 先从最简单的线性插值先从最简单的线性插值(n=1)开始。这时插值问题就是求一次多项开始。这时插值问题就是求一次多项式式P1(x)=a0+a1x 使它满足条件使它满足条件P1(x0)=y0,P1(x1)=y1,令令P1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1,由于由于l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x0)=0,l1(x1)=1.这样这样l0(x)含有因子含有因子x-
3、x1,令令 l0(x)=(x-x1),再利用再利用 l0(x0)=1确定其中的确定其中的系数，结果得到系数，结果得到x-x1 l0(x)=-,x0-x1类似的可得到类似的可得到 x-x0 l1(x)=-,x1-x0这样这样x-x1 x-x0P1(x)=-y0+-y1,x0-x1 x1-x0 l0(x),l1(x)称为以称为以x0,x1 为节点的为节点的插值基函数插值基函数。2.4 2.4 边值条件的处理边值条件的处理 3 3 矩形网的差分格式矩形网的差分格式3.1 3.1 五点差分格式五点差分格式(i,j)(I,j-1)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j)ABCD3.2 3.2 边值条件
4、的处理边值条件的处理3.3 3.3 极坐标形式的差分格式极坐标形式的差分格式3 3 三角网的差分格式三角网的差分格式例子1,2例子33 3 极值定理极值定理5.2 5.2 极值定理极值定理.差分方程、相容条件、稳定性、差分方程、相容条件、稳定性、LAX等等价定理、先验估计、极值定理等概念；价定理、先验估计、极值定理等概念；.构造差分方程方法构造差分方程方法(直接差分化、积分插直接差分化、积分插值法和变分值法和变分-差分法差分法)，矩形网和三角网的差分格，矩形网和三角网的差分格式，边界条件的处理。式，边界条件的处理。（重点重点）.如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、对该格式的敛速估计对该格式的敛速估计（难点难点）主要内容主要内容重点：重点：LAX等价定理，构造矩形网和三角网等价定理，构造矩形网和三角网的各种差分格式。的各种差分格式。难点：难点：如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、对该格式的敛速估计。对该格式的敛速估计。重点难点