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1、“杨辉三角杨辉三角”与与二项式系数二项式系数的性质的性质(一一)重点:二项式系数的函数性质二项展开式二项展开式 二项式系数二项式系数 通项通项 基本知识点基本知识点:降幂降幂 升幂升幂 基本知识点基本知识点:1615 20 1561(a+b)1(a+b)3(a+b)4 (a+b)5(a+b)2 (a+b)6111211331146411510 1051(a+b)nCn0Cn1Cn2CnrCnn这个表叫做二项式系数表这个表叫做二项式系数表,也称为也称为“杨辉三角杨辉三角”；(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61 1）请看系数有没有明显的规律？）请看系数有没有明
2、显的规律？2 2）上下两行有什么关系吗？）上下两行有什么关系吗？3 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?每行两端都是每行两端都是1 C1 Cn n0 0=C Cn nn n=1=1从第二行起，每行除从第二行起，每行除1 1以外的每一个数都等于它肩上以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和的两个数的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+九九章章算算术术杨杨辉辉详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表本积本积平方平方立方立方三乘三乘四乘四乘五乘五乘商实商实 早在我国早在我国南宋数学家南宋数学家杨辉杨辉12611
3、261年所著的年所著的详解详解九章算法九章算法二项式系数表二项式系数表.在书中说明了在书中说明了表里表里“一一”以以外的每一个数都等于它肩上两个数的和外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方；指出这个方法出于法出于释锁释锁算书，且我国算书，且我国北宋数学家北宋数学家贾宪贾宪（约公（约公元元1111世纪）已经用过它世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚这表明我国发现这个表不晚于于1111世纪世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯帕斯卡（卡（1623-16621623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做首先发现的，他们把这个表叫做帕帕斯卡三角斯卡
4、三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五早五百年左右百年左右.二项式系数的函数观点：二项式系数的函数观点：展开式的二项式系数依次是：展开式的二项式系数依次是：从函数角度看，从函数角度看，可看成是以可看成是以r r为自变量的函数：为自变量的函数：当当n=6n=6时，其图象是时，其图象是7 7个孤立点！个孤立点！定义域是定义域是0,1,2,n0,1,2,n 二二、讲授新课：讲授新课：二项式系数的性质二项式系数的性质1 1：对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二的两个二项式系数相等项式系数相等这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式得到得到图象的
5、对称轴：图象的对称轴：由于由于所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 二项式系数的性质二项式系数的性质2 2：增减性与最大值增减性与最大值，二项式系数逐渐增大；由对称性可知，二项式系数逐渐增大；由对称性可知，二项式系数逐渐减小的，二项式系数逐渐减小的,中间项最大中间项最大.展开式总项数的一半展开式总项数的一半二项式系数二项式系数的性质的性质2 2：增减性与最大值增减性与最大值 1)先增后减先增后减.2)n2)n是偶数时，是偶数时，中间的一项中间的一项（第（第 项）的二项式系数项）的二项式系数取得最大值；取得最大值；当当n n是奇数时，是奇数时，中间的两项中间的两项（第（第
6、项）的二项式系数项）的二项式系数 和和 相等，且同时取得最相等，且同时取得最大值大值.二项式系数的性质二项式系数的性质3 3：各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则，则 即即 的展开式的各二项式系数的和为的展开式的各二项式系数的和为2 2n n.同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：-赋值法赋值法 （1 1）一般地，一般地，展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下基本性质：有如下基本性质：（2 2）（4 4）（3 3）当当n n为偶数时，为偶数时，最大最大 当当n n为奇数时，为奇数时，=且最大且最大 （对称性）（对称性）例例1.1.证
7、明：在证明：在(a(ab)b)n n展开式中展开式中,奇数项的二项式系奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和数的和等于偶数项的二项式系数的和.即即证：证：题题型一型一:二二项项式系数和的式系数和的应应用用变式练习变式练习2047512例例2 2 已知已知求求:(1):(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)1题型二:求展开式的系数和或部分项的系数和点评点评:求求(ax+b)n ,(ax2+bx+c)n展开式系数常用展开式系数常用赋值法赋值法.令令x=0,可得可得 常数项常数项.令令x=1,可得可得所有项系数之和所有项系数之和.令令x=-1,可得可得 (偶次项系数之和偶次
8、项系数之和)-(奇次项系数之和奇次项系数之和)当二项式当二项式(ax-b)n中含有负值项时中含有负值项时,只要将只要将-号改成号改成+,令变令变量量x=1,就可得就可得各项系数绝对值之和各项系数绝对值之和.1三、三、展开式中系数展开式中系数(二项式系数二项式系数)最大的项：最大的项：因为题中最大系数只与二项式系数有关因为题中最大系数只与二项式系数有关,所以最大系数所以最大系数是第是第6项项.三、三、展开式中系数展开式中系数(二项式系数二项式系数)最大的项：最大的项：解:(1)设第r+1项系数最大,则有三、三、展开式中系数展开式中系数(二项式系数二项式系数)最大的项：最大的项：解:(2)展开式共
9、有8项,其中最大项一定是正项,因为 第1,3,5,7项是正的,又因为展开式中后项系数绝对值 大于前项,所以最大值出现在中间或偏右.点评点评:求系数最大问题，分三类求系数最大问题，分三类 1.只与二项式系数有关的只与二项式系数有关的,利二项式系数的特点求最大系数利二项式系数的特点求最大系数.2.不仅仅与二项式系数有关的不仅仅与二项式系数有关的:若若(a+b)n ,通常设第通常设第 r+1 项是项是系数最大，列不等式组系数最大，列不等式组,3.不仅仅与二项式系数有关的不仅仅与二项式系数有关的:若若(a-b)n ,分析在正项中找最分析在正项中找最大系数项大系数项.由此确定由此确定r r的取值的取值练
10、习练习.已知：已知：的展开式中只有第的展开式中只有第1010项系数项系数最大，求第五项最大，求第五项.解课堂练习课堂练习 2.求证：求证：证明：证明：倒序倒序相加法相加法（1）二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质:（2）数学思想：数学思想：函数思想函数思想.二项式系数之和二项式系数之和:最值最值:（3）数学方法数学方法 ：赋值法赋值法、递推法、递推法.当当 时，二项式系数是逐渐增大的，时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知由对称性知,它的后半部是逐渐减小的它的后半部是逐渐减小的.当当n是是偶数偶数时，时，中间的一项中间的一项 取得取得最大最大时时 ；当当n是是奇数奇数时，时，中间的两项中间的两项 ，相等，相等，且且同时同时取得取得最大最大值值.增减性增减性:n2 (由赋值法求得由赋值法求得)四四、课课堂小堂小结结：课堂练习：教材35页 1，2，3课外作业：习题10.4-6，7，8，9，10