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1、1.3.2“杨辉三角杨辉三角”与与二项式系数的性质二项式系数的性质一般地，对于一般地，对于n N*有有二项定理二项定理:一、新课引入一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过们先通过杨辉三角杨辉三角观察观察n为特殊值时，二项式系数为特殊值时，二项式系数有什么特点？有什么特点？1“杨辉三角杨辉三角”的来历及规的来历及规律律 杨辉三角杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示：展开式中的二项式系数，如下表所示：1 1 1 2 1 1 3 3 1 1
2、 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 表中每行两端都是表中每行两端都是1 1，与这两个与这两个1 1等距离的系数相等；等距离的系数相等；而且而且在相邻的两行中，在相邻的两行中，除除1 1以外的每一个数都等于它肩上两个以外的每一个数都等于它肩上两个数的和数的和；同一行中系数先增后减。；同一行中系数先增后减。上面的表叫做上面的表叫做二项式系数表二项式系数表(杨辉三角杨辉三角)(1)(1)对称性对称性:与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等(3)(3)增减性与最大值增减性与最大值.增减性的实质是比较增减性的实质是比较 的
3、大小的大小.(2)(2)递推性递推性:除除1 1以外的每一个数都以外的每一个数都等于它肩上两个数的和等于它肩上两个数的和.二项式系数的性质二项式系数的性质(3)(3)增减性与最大值增减性与最大值.增减性的实质是比较增减性的实质是比较 的大小的大小.所以 相对于 的增减情况由 决定 可知可知，当当 时，时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。（3）增减性与最大值）增减性与最大值 因此，因此，当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式系数系数 取得最大值；
4、取得最大值；当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。（4）各二项式系数的和）各二项式系数的和 这就是说，这就是说，的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：一般地，一般地，展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：（1 1）（2 2）（3 3）当）当 时，时，（4 4）当当 时，时，还还可运用函数的观点，结合可运用函数的观点，结合“杨辉三角杨辉三角”和函数图象，研和函数图象，研究二项式系数的性质究二项式系数的性质 (a+b)n展开式的二项式系数是展开式的二项式系数是 可看成是以
5、可看成是以r为自变量的函数为自变量的函数f(r),),其定义域是其定义域是0,1,2,0,1,2,n,对于确定的对于确定的n,n,可以画出它的图像。可以画出它的图像。例如：例如：当当n=6=6时，其图象是右图中时，其图象是右图中的的7 7个孤立点个孤立点.-1084621620f(r).369r课堂练习：课堂练习：1）已知）已知 ，那么，那么 =；2）的展开式中，二项式系数的最大值的展开式中，二项式系数的最大值是是 ；3）若）若 的展开式中的第十项和第十一的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则项的二项式系数最大，则n=；例例1 证明在证明在 的展开式中，奇的展开式中，奇数项的二项式系
6、数的和等于偶数项的二数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和项式系数的和证明在证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和和等于偶数项的二项式系数的和.即证：即证：证明：在展开式证明：在展开式 中中 令令a=1，b=1得得 小结小结：赋值法赋值法在二项式定理中，在二项式定理中，常常对对a,b赋予一些特赋予一些特 定的值定的值1，-1等来整体得到所求等来整体得到所求。赋值法的应用解决二项式系数问题解决二项式系数问题.赋值法赋值法例2.例2小结：小结：求奇次项求奇次项系数之和与系数之和与偶次项系数的和偶次项系数的和 可以先赋值
7、，然后解方程组整体求解可以先赋值，然后解方程组整体求解思考：思考：例例3.在在(3x-2y)20的展开式中，求：的展开式中，求：(1)(1)二项式二项式系数最大的项系数最大的项;(2);(2)系数绝对值最大的项系数绝对值最大的项;(3);(3)系数最大的项系数最大的项;解解:(2):(2)设系数绝对值最大的项是第设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项项.则则 即即 3(r+1)2(20-r)得得 2(21-r)3r所以当所以当r=8时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为（3）因为系数为正的项为奇数项，故可）因为系数为正的项为奇数项，故可设第设第2r-1项系数最大。（以下同项系数最大。
8、（以下同2）r=5.即即 3(r+1)2(20-r)得得 2(21-r)3r所以当所以当r=8时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为练习练习:(1:(1x )1313 的展开式中系数最小的项是的展开式中系数最小的项是 ()()(A)(A)第六项第六项 (B)(B)第七项第七项 （C C）第八项）第八项 (D)(D)第九项第九项C 例例4：的展开式中第的展开式中第6项与第项与第7项的系项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。大的项。变式引申：变式引申：1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（的展开式中，系数绝对值最大的项是（）
9、A.第第4项项 B.第第4、5项项 C.第第5项项 D.第第3、4项项2、若若 展开式中的第展开式中的第6项的系数最大，则不项的系数最大，则不含含x的项等于的项等于()A.210 B.120 C.461 D.416 1.1.当当n n 1010时常用杨辉三角处理二项式时常用杨辉三角处理二项式系数问题系数问题;2.2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值系数的对称性、增减性和最大值;3.3.常用赋值法解决二项式系数问题常用赋值法解决二项式系数问题.二项展开式中的二项式系数都是一些特二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意好，同时要注意“系数系数”与与“二项式系数二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握尤其要理解和掌握“取特值取特值”法，它是解决法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。有关二项展开式系数的问题的重要手段。注意注意