《线性代数 6-3 正定二次型与正定矩阵.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 6-3 正定二次型与正定矩阵.ppt（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一、惯性定理一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，显然，其标准形一般来说是不唯一的其标准形一般来说是不唯一的，但标准形，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩下面我们限定所用的变换为实变换，来研究下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质二次型的标准形所具有的性质第三节第三节 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵称为称为且标准形中正系数个数且标准形中正系数个数负惯性指数负惯性指
2、数，二、正二、正(负负)定二次型的概念定二次型的概念为为正定二次型正定二次型为为负定二次型负定二次型例如例如为为不定二次型不定二次型证明证明充分性：充分性：故故三、正三、正(负负)定二次型的判别定二次型的判别必要性：必要性：故故推论对称矩阵推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的特征值全为正的特征值全为正推论对称矩阵推论对称矩阵 为负定的充分必要条件是：为负定的充分必要条件是：的特征值全为负的特征值全为负例例1 1定理定理3充分性充分性必要性必要性这个定理称为这个定理称为霍尔维茨定理霍尔维茨定理定理定理4 对称矩阵对称矩阵A为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是
3、：A的各阶主子式为正，即的各阶主子式为正，即对称矩阵对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即子式为负，而偶数阶主子式为正，即正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质例例2 2 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解它的顺序主子式它的顺序主子式故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例3 3 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为用用特征值判别法特征值判别法.故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知A是正定矩阵是正定矩阵，例例4 判别二次型判别二次型的正定性的正
4、定性.解解例例5（矩阵正定的必要条件）（矩阵正定的必要条件）2.2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.四、小结四、小结1.1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系3.3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法，请大）相应的判别方法，请大家自己推导家自己推导习题课习题课证明证明解解解解解解方法一方法一方法二方法二解解利用线性方程组讨论向量组的线性相关性利用线性方程组讨论向量组的线性相关性例例 已知已知及及解解 设设方程组无解，方程组无解，不能表示成不能表示成测试题测试题一、填空题一、填空题(每小题每小题4 4分，共分，共3232分分)二、计算题（共二、计算题（共40分）分）三、证明题（共三、证明题（共2020分）分）四、（四、（8 8分）设二次型分）设二次型经经正交变换正交变换 化成化成测试题答案测试题答案