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1、第二章第二章 离散型随机变量离散型随机变量1 1 一维随机变量及其分布列一维随机变量及其分布列随机事件可以采取数量的标识。如：抽样检查产品时废品的个数。掷骰子出现的点数。对没有数量标识的事件，可以人为加上数量标志。如产品为优质品记为1，次品记为2，废品记为3。天气下雨记为1，不下雨记为0。例如：(1)射击击中目标记为1分，未中目标记0分。用表示射击的得分，它是随机变量，可取0和1两个值。(2)某段时间内候车室旅客数目记为，它可取0及一切不大于最大容量M的自然数。(3)一块土地上农作物的产量是随机变量，它可以取区间0，T的一切值。(4)沿数轴运动的质点，它的位置是随机变量，可以取任何实数，即 (
2、-,+)随机变量按其取值不同，主要有以下2类：(1)离散型随机变量 随机变量可能取得的值能够一一列举出来(有限个或可列无限个)(2)连续性随机变量 随机变量取值范围不能一一列举，而是连续取值的。本节我们只讨论离散型随机变量。定义.1 如果随机变量只取有限个或可列个可能值，而且以确定的概率取这些不同的值，则称为离散型随机变量。一般列成概率分布表：也可写成P(=xk)=Pk(k=1,2,)称之为概率函数。x1,=x2,=xk,构成完备事件组。离散型随机变量的分布是指概率分布表或概率函数。性质：Pk0,k=1,2,例1.1.2 设100件同类产品中，有5件是次品。在其中任取20件，有 件是次品，求次
3、品数 的分布律。解 可能 取的值为0，1，2，3，4，5。(20件产品中有k件次品)由此可算得分布律为012340.3190.4200.2070.0430.0108现介绍几个常用的离散型分布现介绍几个常用的离散型分布1。单点分布。单点分布若随机变量若随机变量 以概率以概率1取常数取常数c,即即则称此分布为单点分布或退化分布。则称此分布为单点分布或退化分布。2。两点分布。两点分布若随机变量的分布列为若随机变量的分布列为则称则称 服从两点分布或（服从两点分布或（01）分布。）分布。两点分布是描述只有两个可能结果的随机现象的概率模型。如一件两点分布是描述只有两个可能结果的随机现象的概率模型。如一件产
4、品产品“合格合格”与与“不合格不合格”；一次射击；一次射击“中靶中靶”与与“不中靶不中靶”。3。二项分布。二项分布 设随机变量设随机变量 可能取值为可能取值为0，1，2，,n(共共n+1个个)。且概率分布。且概率分布为为则称则称 服从参数为服从参数为(n,p)的二项分布，记为的二项分布，记为4。几何分布。几何分布 例3：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p，0p1，若查到一只次品就得停机检修，设停机时已检测到X只产品，试写出X的概率分布律。解：设Ai=第i次抽到正品，i=1,2,则A1,A2,相互独立。亦称X为服从参数p的几何分布几何分布。观察某电话局在单位时间内收到用户的呼叫次
5、数、某公共汽车站在单位时间里来站乘客的乘客数、一百页书中印刷错误出现的个数、耕地上单位面积内杂草的数目等，如果相应的变量用 表示，那么实践证明，的统计规律近似地为：其中 是某个常数，容易验证它满足分布列的2条性质。这个分布称作是参数为 的泊松分布，记为泊松分布有着广泛的应用，它是概率论中一种重要的分布，在理论上也有特殊地位，它是二项分布的极限分布。定理 （泊松定理）设在n重贝努里概型中，事件A在一次试验中出现的概率为 （与试验总数n有关），如果满足则证明略。讲解泊松定理的作用。例4 已知某种疾病的发病率为1/1000,某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5的概率为多大？解 设该
6、单位患有这一种疾病的人数为 ，则这时直接计算无法计算。由于n很大，p很小，这时 np=5000 x0.001=5不很大，可以利用泊松定理。取 有剩下工作查表。例5 由某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数 的泊松分布来描述，为了以95/100以上的把握保证不脱销，问该商店在月底至少应进某种商品多少件？解解 设该商店每月销售这种商品 件,月底的进货为a件,则当()时就不会脱销,因而按题意要求为因为已知 服从 的泊松分布,上式也就是 剩下见P70.2.2 多维随机变量、联合分布列和边际分布列多维随机变量、联合分布列和边际分布列 也称为n维随机向量。以下着重研究二维随机变量。定义1
7、.2.2 如果二元随机变量(，)所有可能取的数对为有限或可列个，并且以确定的概率取各个不同的数对，则称(，)为二元离散型随机变量。把(，)的所有可能取值与相应概率列成表，称为(，)的联合概率分布表。nx1x2xi也可用一系列等式来表示P(=xi,=yj)=pij,(i,j=1,2,)称为与的联合分布律。联合分布有如下性质：(1)pij0(3)(3)的证明讲一下。形象的称 和 的分布列是 联合分布列的边际分布。例1.2.1 同一品种的5个产品中，有2个正品。每次从中取1个检验质量，不放回地抽取，连续2次。证“k=0”表示第k次取到正品，而“k=1”为第k次取到次品。(k=1,2)写出(1,2)的
8、联合分布律。解：试验结果由4个基本事件组成。P(1=0,2=0)=P(1=0)P(2=0|1=0)=0.1P(1=0,2=1)=0.3P(1=1,2=0)=0.3P(1=1,2=1)=0.3列成联合概率分布表：2101010.10.30.30.3关于联合分布和边际分布的关系参见课本p73例2.7和2.8.在课本例2.8中，由于事件 是独立的，使得联合分布列和边际分布之间有着非常简单的关系：成立，则称离散型随机变量 是独立的，一般地说，就有下述定义。定义1.2.3 设离散型随机变量 的可能取值为，如果对任意的成立，则称随机变量 相互独立。例1.2.2 掷两颗骰子，用与分别表示第一颗与第二颗的点数
9、。与是否独立。可见对所有i,j有pij=pipj故与是相互独立的。对于多个离散型随机变量的情形有定义1.2.4 设 是n个离散型随机量，的可能取值为 如果对任意一组成立，则称 是相互独立的。2.3 随机变量函数的分布列随机变量函数的分布列 在实际问题中，不仅要研究随机变量，往往还要研究随机变量的函数。例如某剧院每场演出所售出的门票数是一个随机变量，而票房的收入就是售出门票数的函数。也有多元函数f(1,n)等。定义1 设f(x)是定义在随机变量的一切可能值x集合上的函数。如果对于的每一可能取值x，有另一个随机变量的相应取值y=f(x)。称为的函数，记作=f()。0.20.40.10.3故的分布表
10、为解:P(=0)=P(=0)=0.2P(=1)=P(=-1)+P(=1)=0.2+0.1=0.3P(=4)=P(=-2)+P(=2)=0.1+0.4=0.5故的分布为解：P(+=1)=P(=0,=1)+P(=1,=0)=0.4而P(=1)=P(=1,=1)=0.2解：-的取值可以为1，2，3，4P(-=2)=P(=4,=2)+P(=5,=3)=P(=4)P(=2)+P(=5)P(=3)=0.38类似可算出其它概率。-的概率分布表为解：算法一：算法二：79.172.4 数学期望数学期望当试验次数N很大时，因此，平均值x1p1+xnpn=p多次射击后，平均得分分别是2.1与2.2乙的技术较好。解：为简便，假定硬币都是一元的。从而a0，称pij/p.j(i=1,2,)为在=yj条件下关于的条件分布。显然P(=xi|=yj)是非负的，且对所有i，它们的和为1同样，若pi.0称为在xi条件下关于的条件分布。p(=yj|=xi)是非负的，且对所有j，它们的和为1记为6.条件分布例1 反复掷一颗骰子，直到出现小于5点为止。表示最后一次掷出的点数，表示投掷次数。求(，)的联合分布律，边缘分布律及条件分布。解：的取值是1，2，3，4的取值是1，2，“=i,j”表示掷了j次，而最后一次掷出i点。前j-1次掷出5点或6点。由于各次掷骰子是相互独立的。故联合分布表为Pi.条件分布为：