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1、第第2.32.3节节 向量组与矩阵的秩向量组与矩阵的秩 如何判断向量组是否线性相关？如何判断向量组是否线性相关？12/22/20221Spring 2010,17ppt12/22/20222Spring 2010,17ppt定义定义2.6 矩阵矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为矩阵中不为零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩的秩(rank),记为记为R(A).则称则称A为满秩矩阵为满秩矩阵;否则，称否则，称A为降秩矩阵为降秩矩阵.另外，零矩阵的秩为另外，零矩阵的秩为0.对对n阶方阵阶方阵,如果如果12/22/20223Spring 2010,17ppt如果矩阵如果矩阵A中有一个中有一个r阶子式不为阶
2、子式不为0，而所有的，而所有的r+1阶子阶子式都为式都为0，则矩阵，则矩阵A的秩等于的秩等于r.例例 求求矩阵的秩矩阵的秩解解在在A中，容易看出一个中，容易看出一个2阶子式阶子式A的三阶子式只有一个的三阶子式只有一个经经计算可知计算可知因此因此R（A）=2。12/22/20224Spring 2010,17ppt12/22/20225Spring 2010,17ppt分析：分析：12/22/20226Spring 2010,17ppt推论推论2.1 任意任意m(mn)个个n维向量线性相关维向量线性相关.（注：注：由于没有由于没有m阶子式，故阶子式，故R(A)m）推论推论2.3 n 个个n维向量
3、线性无关（相关）的充要条件维向量线性无关（相关）的充要条件是由它们组成的矩阵行列式不等于是由它们组成的矩阵行列式不等于0(等于等于0).12/22/20227Spring 2010,17ppt定理定理2.5 矩阵矩阵A的秩等于的秩等于r的充要条件是的充要条件是A中有中有r 个行个行向量线性无关，且任意向量线性无关，且任意r+1个行向量（如果存在）线个行向量（如果存在）线性相关。性相关。例例2.5 齐次线性方程组：齐次线性方程组：分析：分析：系数对应的系数对应的4个向量分别为：个向量分别为：12/22/20228Spring 2010,17ppt可验证可验证:R(A)=2,这里这里A的的2阶子式
4、阶子式因此因此,包含包含D的两个向量的两个向量12/22/20229Spring 2010,17ppt考虑到考虑到(2.7)式将式将(2.8)变形为：变形为：由于系数行列式不等于由于系数行列式不等于0，由，由G.Cramer法则可以得到方程组法则可以得到方程组(2.8)的解为：的解为：12/22/202210Spring 2010,17ppt有没有更简单的方法来计算矩阵的秩？有没有更简单的方法来计算矩阵的秩？用矩阵的初等行变换来解线性方程组，实际上，将矩阵的初用矩阵的初等行变换来解线性方程组，实际上，将矩阵的初等行变换对比行列式的性质，有：矩阵的初等行变换并不改等行变换对比行列式的性质，有：矩
5、阵的初等行变换并不改变矩阵的秩，因此，变矩阵的秩，因此，可以将矩阵先化成可以将矩阵先化成行阶梯型矩阵行阶梯型矩阵，就可较，就可较快求出矩阵的秩。快求出矩阵的秩。12/22/202211Spring 2010,17ppt例例2.6,计算例计算例2.5中系数矩阵中系数矩阵A的秩的秩.解：解：对系数矩阵对系数矩阵A进行初等行变换：进行初等行变换：容易看出上述行阶梯形矩阵的秩等于容易看出上述行阶梯形矩阵的秩等于2,因此因此R(A)=2.定理定理2.6 矩阵矩阵A的秩等于的秩等于A经过初等行变换所得行阶梯形矩经过初等行变换所得行阶梯形矩阵的非零行的行数。阵的非零行的行数。12/22/202212Spri
6、ng 2010,17ppt例例2.5中齐次线性方程组中齐次线性方程组(2.6)的解有无穷多个，那么的解有无穷多个，那么这些解与解之间有没有内在的联系呢？这些解与解之间有没有内在的联系呢？定义定义 2.7 设有向量组设有向量组T,如果如果:12/22/202213Spring 2010,17ppt12/22/202214Spring 2010,17ppt12/22/202215Spring 2010,17ppt12/22/202216Spring 2010,17ppt定理定理2.8 设有向量组设有向量组T,如果：如果：一个向量组的最大无关组一般不是唯一的，但由引理一个向量组的最大无关组一般不是唯
7、一的，但由引理2.1可可以保证它们都含有相同个数的向量以保证它们都含有相同个数的向量.12/22/202217Spring 2010,17ppt练练 习习1.解解.12/22/202218Spring 2010,17ppt2.解解.12/22/202219Spring 2010,17ppt3.设矩阵设矩阵求求矩阵矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。解解对对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。12/22/202220Spring 2010
8、,17ppt而三个非零行向量的非零首元在而三个非零行向量的非零首元在1、2、4三列，三列，故故 a1,a2,a4 为列向量组的一个最大无关组。为列向量组的一个最大无关组。知知R(A)=3,故列向量组的最大无关组含故列向量组的最大无关组含3个向量。个向量。这是因为这是因为12/22/202221Spring 2010,17ppt线性表示，线性表示，把把 A 再变成行最简形矩阵。再变成行最简形矩阵。12/22/202222Spring 2010,17ppt4.求求A 的列向量组的一个最大无关组及的列向量组的一个最大无关组及A 的其余列向量的其余列向量用它们线性表示的表达式。用它们线性表示的表达式。解解对对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。唯一唯一)。且有：。且有：为为A 的列向量组的一个最大无关组的列向量组的一个最大无关组(不不12/22/202223Spring 2010,17ppt作业P632.1:(3),(4).2.2:(2).2.9:(2).12/22/202224Spring 2010,17ppt