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1、第四节第四节 矩阵秩与向量组秩的关系矩阵秩与向量组秩的关系1按行分块得到按行分块得到2将该矩阵按列分块得到将该矩阵按列分块得到3称为称为A的行向量组的行向量组称为称为A的列向量组的列向量组定义定义9 矩阵矩阵A的行向量组的秩成为的行向量组的秩成为A的行秩，的行秩，A的列向量组的秩称为的列向量组的秩称为A的的列秩。列秩。矩阵矩阵A的秩与其行秩和列秩有的秩与其行秩和列秩有什么关系呢？什么关系呢？4先看一个例子先看一个例子此矩阵为具有此矩阵为具有4个非零行的个非零行的B-型矩阵型矩阵5显然显然B的列向量组的列向量组线性无关，并且线性无关，并且故故是是B的列向量组的极大无关组。的列向量组的极大无关组。
2、6B的列秩的列秩B的秩的秩r一般的，对有一般的，对有r个非零行的个非零行的B-型阶梯型阶梯型矩阵，有型矩阵，有B的列秩的列秩B的秩的秩4引理引理 设矩阵设矩阵A经过行初等变换化为经过行初等变换化为B，分别记为：分别记为：7之间有完全相同的线性关系，即之间有完全相同的线性关系，即则则A的列向量组与的列向量组与B的列向量组的列向量组当且仅当当且仅当证证 因为矩阵因为矩阵A经过行初等变换化为经过行初等变换化为B，A的列向量组与的列向量组与B的列向量组等的列向量组等价，也就是说齐次线性方程组价，也就是说齐次线性方程组AX=0 与与BX=0同解，即同解，即8有相同的线性相关性。有相同的线性相关性。于是知
3、列向量组于是知列向量组 与与同解同解与与9定理定理5 矩阵的秩等于它的行秩，也等矩阵的秩等于它的行秩，也等于它的列秩。于它的列秩。证证 设矩阵设矩阵 B是与之对应的是与之对应的B-型阵型阵设设A的的r阶非零子式阶非零子式 下证下证A的列向量组的秩为的列向量组的秩为r所在的所在的r列构成的列构成的 矩阵为矩阵为 10显然显然即即B的的r个列向量线性个列向量线性无关，而无关，而A的任意的任意r+1 列所构成的矩列所构成的矩阵的秩小于等于阵的秩小于等于 所以所以A的任意的任意r+1列向量线性相关，因此，列向量线性相关，因此，B的的r个列向个列向量为矩阵量为矩阵A的列向量组的极大无关组。的列向量组的极
4、大无关组。所以所以 A的列秩等于的列秩等于r。11故：故：A的秩的秩=A的行秩的行秩=A的列秩的列秩的列向量组，又的列向量组，又因为因为A的行向量组就是的行向量组就是例例1 设向量组设向量组12求该向量组的极大无关组，并把求该向量组的极大无关组，并把其余向量由极大无关组线性表示。其余向量由极大无关组线性表示。解：解：以以为列构造矩阵为列构造矩阵A，并利用初等行，并利用初等行变换把变换把A化成行简化型阶梯矩阵化成行简化型阶梯矩阵B13141516所以所以故列向量组的故列向量组的 秩为秩为2，即列向量，即列向量组的极大无关组含有组的极大无关组含有2个向量，显然，个向量，显然，17为矩阵为矩阵B的列
5、向量组的极大无关组的列向量组的极大无关组则则是向量组是向量组的极大无关组，且显然有的极大无关组，且显然有：18对于这道题我们可以直接用数学软对于这道题我们可以直接用数学软件件MATLAB来计算向量组的秩和极来计算向量组的秩和极大无关组，并把其余向量由极大无大无关组，并把其余向量由极大无关组线性表示关组线性表示%求向量组的秩、极大无关组A=1 4 5-10;-2-1 4-1;5-2-19 16;-3 3 15-15;rref(A)%*运行结果*ans=1 0 -3 2 0 1 2 -3 0 0 0 0 0 0 0 019课后作业：课后作业：P147：8（4）并试用数学软件并试用数学软件MATLAB来解次题来解次题20