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1、27.1二次函数二次函数基础回顾基础回顾 什么叫函数什么叫函数?在某变化过程中的两个变量在某变化过程中的两个变量x x、y y，当变量当变量x x在在某个范围内取一个确定的值，另一个变量某个范围内取一个确定的值，另一个变量y y总总有唯一的值与它对应。有唯一的值与它对应。这样的两个变量之间的关系我们把它叫做这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。函数关系。对于上述变量对于上述变量x x、y y，我们把我们把y y叫叫x x的函数。的函数。x x叫自变量，叫自变量，y y叫应变量。叫应变量。目前，我们已经学习了那几种类型的函数？二次函数二次函数变变量量之之间间的的关关系系函函数数一次函数一
2、次函数反比例函数反比例函数y=kx+b(k0)正比例函数正比例函数y=kx(k0)y=k/x(k0)节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？会与某种函数有联系吗？抛物线型桥拱抛物线型桥拱奥运赛场腾空的篮球奥运赛场腾空的篮球 正方体的六个面是全等的正方形正方体的六个面是全等的正方形,设设正方形的棱长为正方形的棱长为x,表面积为表面积为y,显然对于显然对于x的每一个的每一个值值,y都有一个对应值都有一个对应值,即即y是是x的函数的函数,它们的具体它们的具体关系可以表示为关系可以表示为 问题问题1:1:y=
3、6x2 多边形的对角线数多边形的对角线数d与边数与边数n有什么关系？有什么关系？问题问题2:2:由图可以想出由图可以想出,如果多边形有如果多边形有n条边条边,那么它有那么它有 个顶点个顶点,从一个顶点出发从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点连接与这点不相邻的各顶点,可以作可以作 条对角线条对角线.n(n-3)因为像线段因为像线段MN与与NM那样那样,连连接相同两顶点的对角线是同一条接相同两顶点的对角线是同一条对角线对角线,所以多边形的对角线总数所以多边形的对角线总数MN即即 式表示了多边形的式表示了多边形的对角线数对角线数d与边数与边数n之之间的关系间的关系,对于对于n的每一的每一个值个值
4、,d都有唯一的对应都有唯一的对应值值,即即d是是n的函数。的函数。问题问题3:3:矩形的长是矩形的长是4厘米，宽是厘米，宽是3厘米，如果将其长增加厘米，如果将其长增加x厘米，厘米，宽增加宽增加2x厘米厘米,则面积增加到则面积增加到y平方厘米，试写出平方厘米，试写出y与与x的关系的关系式它是函数吗？式它是函数吗？观察：观察：y=6x2 在上面的问题中在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。函数都是用自变量的二次式表示的。观察这几个函数观察这几个函数,与一次函数比较与一次函数比较,你能发现有什么不同的地方吗你能发现有什么不同的地方吗?定义：定义：一般地，形如一般地，形如y=ax+bx+c(
5、a,b,c是常数是常数,a 0)的函数叫做的函数叫做二次函数。二次函数。其中其中x是自变量，是自变量，a为二次为二次项系数，项系数，ax2叫做二次项，叫做二次项，b为一次项系数，为一次项系数，bx叫做叫做一次项，一次项，c为常数项。为常数项。（1）等号左边是变量）等号左边是变量y，右边是关于自变量，右边是关于自变量 x的的（3）等式的右边最高次数为）等式的右边最高次数为 ，可以没有，可以没有一次项和常数项，但一次项和常数项，但不能没有二次项不能没有二次项。注意注意：（2）a,b,c为常数，且为常数，且（4）x的取值范围是的取值范围是任意实数。任意实数。整式。整式。a0.2(5)函数的右边是一个
6、函数的右边是一个 整整 式式二次函数的一般形式:yax2bxc (其中a、b、c是常数,a0)二次函数的特殊形式：当当b0时，时，yax2c当当c0时，时，yax2bx当当b0，c0时，时，yax2例例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数分别指出二次项系数,一次项系数一次项系数,常数项。常数项。(1)y=3(x1)+1 (2)y=x+(3)s=32t (4)y=(x+3)x (5)y=x (6)v=8 r1x_x1_解解:(1)y=3(x-1)+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1即即y=3x2-6x+4是二次函数是二次函
7、数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:3-64(2)y=x+1x_不是二次函数不是二次函数.(3)s=3-2t是二次函数是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:-203(4)y=(x+3)-x=x2+6x+9-x2即即y=6x+9不是二次函数不是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:800 不是二次函数不是二次函数.(5)y=-xx1_(6)v=8 r 是二次函数是二次函数.思考：思考：2.二次函数的一般式二次函数的一般式yax2bxc（a0）与）与一元二次方一元二次方程程axbxc0（a0）有什么有什么联系和
8、区别？联系和区别？联系联系(1)等式一边都是等式一边都是ax2bxc且且 a 0(2)方程方程ax2bxc=0可以看成是可以看成是函数函数y=ax2bxc中中y=0时得到的时得到的.区别区别:前者是函数前者是函数.后者是方程后者是方程.等式另等式另一边前者是一边前者是y,后者是后者是0知识运用知识运用 1:下列函数中，哪些是二次函数？下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1 ()(2)y=3x2 （)(3)y=3x3+2x2 ()(4)y=2x2-2x+1()(5)y=x-2+x ()(6)y=x2-x(1+x)()不是是不是不是是不是知识运用知识运用m22m-1=2 m+1 0 m=3
9、 2:m取何值时，取何值时，函数函数y=(m+1)x +(m-3)x+m 是二次函数？是二次函数？解解:由题意得由题意得 y=（m+3）x （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是反比例函数？取什么值时，此函数是反比例函数？（3）m取什么值时，此函数是二次函数？取什么值时，此函数是二次函数？m2-7解：（）当解：（）当m27=1且且m+30即即m=时是正时是正比例函数。比例函数。（）当（）当m27=-1且且m+30即即m=时是反比例函时是反比例函数。数。（）当（）当m27=2且且m+30即即m=3时是二次函数。时是二次函数。3.3.一
10、个正方形的边长为一个正方形的边长为12cm,12cm,若从中挖出一个长为若从中挖出一个长为 2xcm,2xcm,宽为宽为(x+1)cm(x+1)cm的小长方形的小长方形,剩余部分的面积剩余部分的面积 为为ycmycm2 2.(1)(1)写出写出y y与与x x之间的关系式之间的关系式,并指出并指出y y是是x x的什么的什么 函数函数.(2)(2)当当x x的值为的值为2 2和和4 4时时,相应的剩余部分面积是多相应的剩余部分面积是多 少少?一次函数一次函数y=kx+b(k 0),其中包括正比例函数其中包括正比例函数 y=kx(k0),反比例函数反比例函数y=(k0)，二次函数二次函数y=ax
11、2+bx+c(a0)。现在我们学习过的函数有现在我们学习过的函数有:可以发现可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函这些函数的名称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系。数表达式与自变量的关系。1.一个圆柱的高等于底面半径一个圆柱的高等于底面半径,写出它写出它的表面积的表面积 s 与半径与半径 r 之间的关系式之间的关系式.2.n支球队参加比赛支球队参加比赛,每两队之间进行每两队之间进行一场比赛一场比赛,写出比赛的场次数写出比赛的场次数 m与球队与球队数数 n 之间的关系式之间的关系式.S=2r2+2r2 即即S=4r2 即即3、下列函数中，（、下列函数中，（x是自变量），是二次函数是自变量）
12、，是二次函数的有的有 。A y=ax2+bx+c B y=x-+1C y=x2 D y=2+x2+14.函数函数 y=(m-n)x2+mx+n 是二次函数的条件是是二次函数的条件是()A m,n是常数是常数,且且m0 B m,n是常数是常数,且且n0C m,n是常数是常数,且且mn D m,n为任何实数为任何实数 CC 一农民用一农民用一农民用一农民用40m40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为XmXm，
13、菜园的面积为，菜园的面积为，菜园的面积为，菜园的面积为YmYm2 2，求求求求y y与与与与x x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当当当当x=12mx=12m时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。x xmm y my m2 2 x xmm （40-2x 40-2x）mm解：解：解：解：由题意得：由题意得：由题意得：由题意得：Y=x(40-2x)即：即：Y=-2x2+40 x(0 x20)当当x12m时，菜园的面积为：时，菜园的面积为：Y=-2x2+40 x-2122+4012 192（m2）拓展提升：拓展提升：若函数若函数y=x2m+n 2xm-n+3是以是以x（x0)为自变量的二次为自变量的二次函数，求函数，求m、n的值。的值。2m+n=2m-n=1 m=1 n=02m+n=1m-n=2m=1n=-12m+n=2 m-n=2m=4/3n=-2/32m+n=2m-n=0m=2/3n=-4/32m+n=0m-n=2m=2/3n=2/3作业：P4课后习题27.1 第1、3、4课