第七章微元法.ppt

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1、第七章第七章 定积分的应用与广义积分定积分的应用与广义积分1.微元法的提出微元法的提出2.微元法求面积微元法求面积,体积体积,弧长及弧长及 物理应用物理应用3.广义积分广义积分定积分的微元分析法定积分的微元分析法用定积分表示的量用定积分表示的量U U必须具备三个特征必须具备三个特征 :一一 .能用定积分表示的量所必须具备的特征能用定积分表示的量所必须具备的特征(3)(3)部分量部分量 的近似值可表示为的近似值可表示为则则U U相应地分成许多部分量相应地分成许多部分量;(1)U(1)U是与一个变量是与一个变量x x的变化区间的变化区间a,ba,b有关的量有关的量;(2)U(2)U 对于区间对于区

2、间a,ba,b具有可加性具有可加性.即如果把区即如果把区a,b a,b 分成许多部分区间分成许多部分区间,(1)(1)根据问题的具体情况根据问题的具体情况,选取一个变量选取一个变量(2)(2)在区间在区间a,ba,b内任取一个小区间内任取一个小区间 ,求出相应于这个小区间的部分量求出相应于这个小区间的部分量 的近似值的近似值.在在 处的值处的值 与与 的乘积的乘积,就把就把 称为量称为量U U的微元且记作的微元且记作 ,即即如果如果 能近似地表示为能近似地表示为a,ba,b上的一个连续函数上的一个连续函数例如例如x x为积分变量为积分变量,并确定其变化区间并确定其变化区间a,b;a,b;二、用

3、定积分表示量二、用定积分表示量U U的基本步骤的基本步骤:这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边图形的面积曲边图形的面积一、直角坐标系情形一、直角坐标系情形微元法求面积微元法求面积解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积

4、2a2 a0yx ax=a(t sint)y=a(1 cost)摆线摆线.的第一拱与的第一拱与x轴所围成的轴所围成的图形的面积图形的面积二二.极坐标情形极坐标情形1.曲边扇形曲边扇形其中其中r()在在 ,上连续上连续,且且r()0.相应于相应于,+d 的面积微元为的面积微元为则图形面积为则图形面积为o r=r()设图形由曲线设图形由曲线r=r()及射线及射线=,=所围成所围成.取取 为积分变量为积分变量,其变化区间为其变化区间为 ,2.一般图形一般图形及射线及射线=,=所围图形的面积微元所围图形的面积微元为为 则面积为则面积为o 由曲线由曲线 例例4 求阿基米德螺线求阿基米德螺线r=a(a0)

5、上上相应于相应于 从从 0到到2 的一段弧与极轴的一段弧与极轴所围图形的面积所围图形的面积.o 解解 如图如图,可视为可视为=0,=2 及及r=a 围成的曲边扇形围成的曲边扇形.则其面积为则其面积为解解利用对称性知利用对称性知解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积NoM例例 求求r=1与与r=1+coscos 所围公共面积所围公共面积.解解 如图如图,曲线交点为曲线交点为由对称性由对称性则则而而一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念微元法求微元法求曲线的弧长曲线的弧长弧长元素弧长元素弧长弧长二、直角坐标情形二、直角坐标情形曲线弧为曲线弧为弧长弧长三、

6、参数方程情形三、参数方程情形曲线弧为曲线弧为弧长弧长四、极坐标情形四、极坐标情形例例 求求的全弧长的全弧长.解解 y=y(x)的定义域为的定义域为,故弧长为故弧长为:例例 求星形线求星形线的弧长的弧长.解解 由对称性及公式由对称性及公式例例 求阿基米德螺线求阿基米德螺线r=a(a0)上上相应于相应于 从从0到到2 的一段弧长的一段弧长.解解一、平行截面面积为已知的立体的体积一、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分

7、来计算也可用定积分来计算.微元法求微元法求体积体积abx 设立体介于设立体介于x=a,x=b之间之间,立体体积立体体积 取取x为积分变量为积分变量,其变化范围为其变化范围为a,b.解解取坐标系如图取坐标系如图 底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积边长分别为边长分别为y和和ytan .因此因此解解取坐标系如图取坐标系如图 底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积底边长为底边长为2y,高为高为h.因此因此 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆

8、锥圆台圆台二、旋转体的体积二、旋转体的体积yaby=f(x)oyaby=f(x)oy则则y图图1by=f(x)aox x+dx例例 求如图直角三角形绕求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体的体积轴旋转而成的圆锥体的体积.解解 可求得过点可求得过点O及及P(h,r)的直线方程为的直线方程为yoxP(h,r)例例 求星形线求星形线绕绕x轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积解解 由对称性及公式由对称性及公式aaxy例例 求圆心在求圆心在(b,0),半径为半径为a(ba)的的圆圆 绕绕y轴旋转而成的环状体的体积轴旋转而成的环状体的体积.yxoba解解 圆的方程为圆的方程为,则所求体积可视为则所求体

9、积可视为曲边梯形绕曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积之差轴旋转而成的旋转体的体积之差.分别与直线分别与直线y=-a,y=a及及y轴所围成的轴所围成的则则例例 证明：由平面图形证明：由平面图形 绕绕 轴旋转所成的旋转体的体积为轴旋转所成的旋转体的体积为即为圆柱薄壳即为圆柱薄壳当当dx很小时很小时,此小柱体的高看作此小柱体的高看作f(x)，以此柱壳的体积作为体积元素，以此柱壳的体积作为体积元素，柱壳法柱壳法就是把旋转体看成是以就是把旋转体看成是以y 轴为中心轴的轴为中心轴的一系列圆柱形薄壳组成的，一系列圆柱形薄壳组成的，在在区间区间 上上柱壳体的体积元素为柱壳体的体积元素为例例 求圆心在求圆心在

10、(b,0),半径为半径为a(ba)的的圆圆 绕绕y轴旋转而成的环状体的体积轴旋转而成的环状体的体积.yxoba解解 圆的方程为圆的方程为则则第三节第三节 定积分的物理应用定积分的物理应用一一.变力沿直线作功变力沿直线作功若物体在常力若物体在常力F作用下沿作用下沿F方向移动方向移动s距离距离,由由x=a移到移到x=b,可用微元法解决做功问题可用微元法解决做功问题.dW=F(x)dx则则F(x)ab则则W=Fs 若物体在变力若物体在变力F(x)作用下沿力的方向作用下沿力的方向 取取x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为a,b.相应于任意小区间相应于任意小区间x,x+dx的功微元的功微元x+d

11、xx解解功微元功微元所求功为所求功为 例例2 设设9.8牛顿的力能使弹簧伸长牛顿的力能使弹簧伸长1厘米厘米,解解由公式由公式(焦耳焦耳)求伸长求伸长10厘米需作多少功厘米需作多少功?所以所以k=980.F=9.8牛顿牛顿,而而x=0.01米时米时,已知已知 F=kx,F=980 x.分析：将链条拉上来所作的功分析：将链条拉上来所作的功,即变力沿直线作的功即变力沿直线作的功.书书361页的例六页的例六x+dxxo28x 解解 将水桶从井里提上来所作的功为将水桶从井里提上来所作的功为 将绳子从井里提上来所作的功将绳子从井里提上来所作的功,则所作的总功为则所作的总功为o20 x+dx即变力沿直线作的

12、功为即变力沿直线作的功为 例例 一桶水重一桶水重10kg,由一条线密度由一条线密度0.1kg/m的的绳子系着绳子系着,将它从将它从20m深的井里提上来需作多少功深的井里提上来需作多少功?x例例 在直径在直径为为，高，高为为的的圆圆柱形气缸内柱形气缸内Pa的气体的气体.若要将气体的体若要将气体的体积积充满了压强为充满了压强为压缩到原来的一半，问需作功多少？压缩到原来的一半，问需作功多少？压缩压缩至至处处气体气体压压强强 断面受气体断面受气体压压力力 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解 建立坐标系如图建立坐标系如图 设想将水分成许多薄层设想将水分成许多薄层,吸出各层水所作的功的总和即

13、为所求吸出各层水所作的功的总和即为所求.这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为功微元为功微元为(千焦千焦)例例4 形如圆台的形如圆台的水桶水桶内盛满了水内盛满了水(如图如图),问将全部水吸出需作多少功问将全部水吸出需作多少功?0yx13(3,2)解解 设想将水分成许多薄层设想将水分成许多薄层,吸出各层水所作的功的总和即为所求吸出各层水所作的功的总和即为所求.取取x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为0,3.相应于任意小区间相应于任意小区间x,x+dx的薄层水近似于圆柱的薄层水近似于圆柱,吸出这层水的位移近似于吸出这层水的位移近似于x.则则因此功的微元因此功的微元二、液体对侧面的压力二、液体

14、对侧面的压力取取x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为a,b.aby=f(x)xx+dx近似于水近似于水深深x处处水平放置的水平放置的长方形窄条所受的压力长方形窄条所受的压力.相应于相应于x,x+dx的窄条所受到的压力的窄条所受到的压力以如图曲边梯形为例以如图曲边梯形为例:oyx则压力微元为则压力微元为dP=因此整个平板所受压力为因此整个平板所受压力为解解 建立坐标系如图建立坐标系如图面积微元面积微元例例4 一个横放的半径为一个横放的半径为R的圆柱形油桶内有半桶油的圆柱形油桶内有半桶油,求一个端面所受的压力求一个端面所受的压力.解解 由对称性由对称性yox三、引力三、引力例例6 设有质量

15、为设有质量为M,长度为长度为l的均匀细杆的均匀细杆,任意小段任意小段x,x+dx近似于质点近似于质点,且质量且质量为为则引力微元为则引力微元为oxal另有一质量为另有一质量为m的质点位于同一直线上的质点位于同一直线上,且到杆的近段距离为且到杆的近段距离为a,求杆对求杆对质点的引力质点的引力.解解:取取x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为0,l,xx+dx则引力为则引力为解解 建立坐标系如图建立坐标系如图将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为小段与质点的距离为小段与质点的距离为引力微元引力微元水平方向的分力微元水平方向的分力微元由对称性知，引力在铅直方向分力

16、为由对称性知，引力在铅直方向分力为(1)变力所作的功变力所作的功(2)水压力水压力(3)引力引力第五节第五节 广义积分广义积分1.无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分2.无界函数的广义积分无界函数的广义积分3.小结小结OxyOxy12一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解无穷限积分的牛顿无穷限积分的牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式性质：性质：且当它们同时收敛时有且当它们同时收敛时有例例2证证例例4 4 计算广义积分计算广义积分解解无穷限积分的分部积分公式无穷限积分的分部积分公式注意：仅仅是收敛的充分条件注意：仅仅是收敛的充分条件例例5无穷限积分的第二类换元公式无穷限积分的第二类换元公式二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解同样，瑕积分也有牛顿莱布尼兹公式同样，瑕积分也有牛顿莱布尼兹公式证证解：解：例例3 3 计算广义积分计算广义积分解解瑕点瑕点瑕积分的分部积分公式瑕积分的分部积分公式例例4瑕积分的换元积分公式瑕积分的换元积分公式例例5无界函数的广义积分（瑕积分无界函数的广义积分（瑕积分）无穷限的广义积分无穷限的广义积分（注意：不能忽略内部的瑕点）注意：不能忽略内部的瑕点）三、小结三、小结