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1、结构力学结构力学STRUCTURAL MECHANICS7-1 力矩分配法的基本原理7-2 多结点的力矩分配法7-3 无剪力分配法7-4 近似计算简介Chap7 渐进渐进法与近似法法与近似法 渐近法有力矩分配法和无剪力分配法。力矩分配法的理论基础是位移法，是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法。7-1 力矩分配法的基本原理1、正、正负负号号规规定定在力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假定对杆端顺时针转动为正。作用在结点上的约束力矩，也假定顺时针转动为正，而杆端弯矩在结点上表示时逆时针转动为正。2、转动刚转动刚度度(也称也称为刚为刚度系数度系数)S表示杆
2、端对转动的抵抗能力，在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。转动刚度SAB的数值不但与杆件的线刚度i有关，而且与B端(又称远端)的支承情况有关3、传递传递系数系数C由图7-1知，当近端发生单位转角 时，远端也产生杆端弯矩MBA，远端杆端弯矩MBA与近端杆端弯矩MAB之比称为传递系数，用C表示，即 C=MBA/MAB。对于等截面杆件，传递系数C与远端的支承情况有关，具体数值如下：远端固定 C=1/2 远端铰结 C=0 远端定向 C=-1(7-1)(7-2)(7-3)4、分配系数、分配系数 图7-2(a)所示刚架，A为刚结点，B、C、D端分别为固定、定向及铰结。设在结点A作用一集中力偶M，
3、刚架产生图中虚线所示变形，汇交于结点A的各杆端产生的转角均为，各杆杆端弯矩由转动刚度定义可知，图7-2(a)(7-4)取结点A为隔离体，如图7-2(b)所示。图7-2(b)由平衡方程 得式中 表示汇交于A结点各杆端转动刚度的总和。(7-5)将式(7-5)代入式(7-4)，可得(7-6)式中mAB、mAC、mAD称为分配系数，就相当于把结点力矩M按各杆转动刚度的大小比例分配给各杆的近端，所得的近端弯矩称为分配弯矩，用Mm表示。其中汇交于A结点各杆端分配系数之和为1，即 j表示汇交于结点A的各杆端标号。远端杆端弯矩是由分配弯矩乘以传递系数而得，即为传递弯矩。以图7-3(a)为例进行说明:（1）设想
4、在B结点加上一个刚臂阻止B结点转动如图7-3(b)所示。此时只有AB跨受荷载作用产生变形，相应的杆端弯矩MFAB、MFBA即为固端弯矩。5、单结单结点点力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理附加刚臂的反力矩可取B结点为隔离体而得：MB是汇交于B结点各杆端固端弯矩代数和，它是未被平衡的各杆固端弯矩的差值，故称为B结点上的不平衡力矩，以顺时针方向为正。MB=0(2)原连续梁B结点并无附加刚臂，取消刚臂的作用让B结点转动,就相当于在B结点加上一个反向的不平衡力矩如图7-3(c)所示。这时汇交于B结点的各杆端产生的弯矩 即前面所述的分配弯矩。在远端产生的杆端弯矩即传递弯矩MC，它是由各近端的分配弯矩
5、乘以传递系数得到的。（3）将图7-3(b)、(c)两种情况叠加，就得到图7-3(a)所示连续梁的受力及变形。如杆端弯矩以上就是力矩分配法的基本思路，概括来说：先在B结点加上附加刚臂阻止B结点转动，把连续梁看作两个单跨粱，求出各杆的固端弯矩MF，此时刚臂承受不平衡力矩MB(各杆固端弯矩的代数和)，然后去掉附加刚臂，即相当于在B结点作用一个反向的不平衡力矩(-MB)，求出各杆端的分配弯矩及传递弯矩MC，叠加各杆端弯矩即得原连续梁各杆端的最后弯矩。连续梁的FQ、FN Q图及支座反力则不难求出。例7-1 用力矩分配法计算图7-4(a)所示连续梁的M图。EI=常数。图7-4 6、计计算算举举例例 解解:
6、(1)计算分配系数 m。设i=EI/24，则 将分配系数写在B结点下方的方框内。(2)计算各杆端的固端弯矩MF。写在各杆端下方MF一行。(3)去掉刚臂，放松B结点，由于 B结点的不平衡力矩为：写在B结点下方 一行，并画一横线表示B结点已放松获得平衡。(4)各杆远端的传递弯矩MC的计算。写在对应的杆端下方MC一行，并用箭头表示弯矩的传递方向。将其反号进行分配，得各杆端的分配弯矩 。(5)最后杆端弯矩的计算。将其写在各杆端下方M一行，并用双横线表示计算的最后结果。由于在计算分配弯矩时，已使结点保持平衡，在最后M图校核中，利用MB=0只能校核分配过程有无错误，而对分配系数、固端弯矩MF计算是否有误则
7、必须考虑变形条件的校核。最后弯矩图见图7-4(b)所示。为了计算更加简单起见，分配弯矩M及传递弯矩MC的具体算式可不必另写，而直接在图7-4表格上进行即可。例例7-2 计算图7-5(a)所示刚架的M图。图7-5(a)解解:(1)计算分配系数 m。设i=EI/4，iAB=EI/4=i，iAC=EI/4=i，iAD=2EI/4=2i。(2)在结点A处加刚臂，计算固端弯矩 MF。(3)去掉刚臂，放松结点A，分配、传递均在图7-5(b)上进行。(4)绘图M，如图7-5(c)所示。结点A满足，上节以只有一个结点转角说明了力矩分配法的基本原理。对于有多个结点转角但无结点线位移(如两跨以上连续梁、无侧移刚架
8、),只需依次对各结点使用上节方法便可求解。下面用图7-6(a)所示三跨连续梁来说明用逐次渐近的方法计算杆端弯矩的过程。7-2 多结点的力矩分配 7-6(a)(1)首先将B、C两结点同时固定,计算分配系数：由于各跨及EI均为常数,故线刚度均为 ，则 。分配系数为:B结点：C结点：(2)计算各杆的固端弯矩 MF：将以上数据填到图7-6(a)相应栏中。(3)此时B、C结点均有不平衡力矩，为消除这两个不平衡力矩，位移法中是令B、C同时产生和原结构相同的转角，即同时放松B、C结点，在计算中就意味着求解联立方程。而在力矩分配法中，为了避免求解联立方程，依次放松各结点，用逐次渐近的方法使B、C结点达到平衡位
9、置。第一步放松C结点（B结点不放松）。C结点的不平衡力矩 将其反号后分配：，将它们填入图中对应位置，此时，C结点暂时获得平衡，在分配弯矩下面画一横线来表示(C结点虽然转动了一个角度，但还未达到最后位置)。分配弯矩向各自远端的传递弯矩为：，此时，B结点的不平衡力矩除原固端弯矩外，还应再加上由结点C传递过来的传递弯矩，即 放松B结点的同时固定C结点，将上述不平衡力矩反号后进行分配，并同时向远端传递将上述数据填入图中相应位置，B结点此时亦暂时平衡，仍在分配弯矩数值下面画一横线。这种C、B两结点各放松一次的计算阶段称为第一轮计算。第二步再放松C结点（同时固定B结点）。C结点由于传递弯矩 又产生了不平衡
10、力矩，故需在C结点加上一个反向的不平衡力矩进行分配、传递。弯矩传递后，B结点也产生了不平衡力矩，还需放松B结点进行分配、传递。此阶段称为第二轮计算。第三步依次类推，如此反复将各结点轮流放松、固定，不断进行分配、传递，直到传递弯矩的数值小到按计算精度要求可以忽略不计时，即可停止计算(最后应停止在分配弯矩这一步，而不再向远端传递)。该三跨连续梁的计算过程及弯矩图如图7-6(b)、(c)所示。由于分配系数m 及传递系数C均不大于1，故在上述计算中，随计算轮次的增加，分配与传递弯矩数值愈来愈小。为使计算收敛地更快，一般首先从不平衡力矩(绝对值)数值最大的结点开始分配、传递。当结点多于2个时，同时放松不
11、相邻的各结点，同样可加快收敛的速度。图7-6 例例7-3 用力矩分配法计算图7-7(a)所示连续梁的M图。解解：本题的特点是DE为悬臂部分；B结点有一集中力偶m=6kNm。关于悬臂梁可采取如下的方式：悬臂部分DE杆内力为静定，可由静力平衡条件求出，若将其去掉，而以截面的弯矩和剪力作为外力施加于结点D上，则D结点便可作为铰支端进行处理，如图7-7(b)所示。图7-7(a)C结点：(2)固端弯矩 。，(1)计算分配系数m：设 ，则 ，B结点：结点B有集中力偶m作用，在计算B结点的不平衡力矩时，除了固端弯矩(3)进行分配、传递。及传递弯矩外，还应加上结点力偶将上述不平衡力矩反号后进行分配。分配、传递
12、的过程为CBCBCBCB。(4)绘制M图，如图7-7(c)所示。例例7-4 用力矩分配法作图7-8(a)所示刚架M图。常数。图7-8 解解：用力矩分配法计算刚架的杆端弯矩时，对于简单的刚架，可直接在计算简图上进行。但当结构杆件比较多时，采用表格的形式比较方便。表格的格式有多种，下面推荐以下的格式供读者参考。(1)计算分配系数。B结点：同理，mBD=1/3,mBC=1/3 C结点：同理，mCE=1/2 (3)分配传递过程CBCBC，见表7-1。(4)最后M图，如图7-8(b)所示。(2)计算固端弯矩 。表表7-1 杆端弯矩的杆端弯矩的计计算算1、应应用范用范围围(1)无侧移杆件，即杆件的两端无相
13、对线位移；(2)剪力静定杆，即杆的剪力可以通过平衡方程直接确定。如图7-9(a)所示，柱AB两端虽然有相对侧移，但由于支座C处无水平反力，故AB柱的剪力是静定的，称为剪力静定杆。7-3 无剪力分配法2、计计算要点算要点采用无剪力分配法计算有侧移刚架时，仍采用固定与放松结点的方法。下面以图7-9(a)所示刚架为例，说明计算要点。结点B的不平衡力矩暂时由刚臂承受。(1)固定结点B。只加刚臂阻止结点的转动，而不加链杆阻止结点的移动，如图7-9(b)所示。对剪力静定杆来说，相当于一端固定、一端滑动的梁，如图7-9(c)所示。其固端弯矩分别为：图7-9(2)放松结点B。为了消除刚臂上的不平衡力矩，需要放
14、松结点B，进行力矩的分配和传递。此时，结点B不仅转动Z1角，同时也发生水平位移，如图7-9(d)所示。柱AB为下端固定上端滑动，当上端转动时，柱的剪力为零因而处于纯弯曲受力状态，如图7-9(e)所示。这实际上与如图7-9(f)所示的上端固定下端滑动的柱AB，当上端转动同样角度时的受力和变形状态完全相同。图7-9 故可知其刚度系数为，而传递系数为-1。于是，结点B的分配系数为 无剪力分配的计算过程如图7-10所示，弯矩图如图7-9(g)所示。在整个力矩的分配和传递过程中，柱中原有剪力将保持不变而不增加新的剪力，故这种方法称为无剪力力矩分配法，简称无剪力分配法。以上计算方法可以推广到多层刚架的情况
15、。不论有多少层，每一层的柱子均可视为上端图7-10 解：解：(1)分配系数：计算结果如图7-11(b)所示。对于CE柱，除受本层荷载外，还受有柱顶剪力10kN，故有例例7-5 试用无剪力分配法计算图7-11(a)所示刚架。(2)固端弯矩：对于AC柱对于EG柱，除受本层荷载外，还受有柱顶剪力20kN，故有(3)力矩分配与传递：具体分配、传递过程如图7-11(b)所示。结点分配次序为(E、A)、C、(E、A)。(E、A)表示结点E与A同时放松与固定。M图如图7-11(c)所示。图7-117-4 近似计算简介 用精确法计算多跨多层刚架，常有大量的计算工作，如不借助于计算机往往无法计算。如果在计算中忽略一些次要影响因素，则可得到各种近似法。1.分层计算法(1)适用范围(2)计算步骤 2.弯矩二次分配法(1)适用范围(2)计算步骤3、反弯点法(1)适用范围(2)计算步骤