第五节函数的极值与最大值最小值.ppt

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1、山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂第五节第五节函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题 山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂函数的极值 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义 如果对于任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值)。x1x2x3x4x5 函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法 2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.1)函数的极值是函数的局

2、部性质.山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂 设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,那么f(x0)0.驻点驻点 使导数f(x)为零的点(方程f(x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.定理1(必要条件)思考:极值点是否一定是驻点?驻点是否一定是极值点?思考:极值点不一定是驻点.如y=|x|,x=0是极值点,但不可导 驻点不一定是极值点.如y=x3,x=0是驻点,但不是极值点.山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂定理定理 2(极值第一判别法极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左左正正右右负负”,(2)“左左负负右右正正”,点击图中任意处动画播放暂停确定极值点和极值的步骤

3、(1)求出导数f(x);(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点;(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f(x)的符号;(4)确定出函数的所有极值点和极值.山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂例例1.求函数求函数的极值.解解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点,其极大值为是极小点,其极小值为山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂定理定理3(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且则 在点 取极大值;则 在点 取极小值.证证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂 例例2 求函数f(x)(x21)31的极值 解 f(x)6x(x21

4、)2 令f(x)0 求得驻点x11 x20 x31 f(x)6(x21)(5x21)因为f(0)60 所以f(x)在x0处取得极小值 极小值为f(0)0 因为f(1)f(1)0 所以用定理3无法判别 因为在1的左右邻域内f(x)0 所以f(x)在1处没有极值 同理 f(x)在1处也没有极值 山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂试问 为何值时,在时取得极值,还是极小.解解:由题意应有又取得极大值为求出该极值,并指出它是极大例例3山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:若函数f(

5、x)在闭区间a b上连续 (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 设这此点为x1 x2 xn;(2)计算函数值 f(a)f(x1)f(xn)f(b);(3)上述函数值中的最大者是函数f(x)在a b上的最大值 最小者是函数f(x)在a b上的最小值 特别特别:当 在 内只有一个极值可疑点时,若在此点取极大(小)值,则也是最大(大)值.对应用问题,有时可根据实际意义判别求出.山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂例例4.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解解:显然且故函数在取最小值 0;在及取最大值 5.山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂(k 为某一常数)例例5.铁路上 AB

6、段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货D 点应如何选取?20解解:设则令得 又所以 为唯一的极小点,故 AD=15 km 时运费最省.总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂例例6.假设某工厂生产某产品x千件的成本是售出该产品x件的收入是解解:由题意,售出x千件产品的利润是即令而在得发生局部处达到最大利润,又故在问是否存在一个能取得最大利润生产水平?若存在,找出这个水平.解得最大亏损.山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本

7、堂清楚(视角 最大)?观察者的眼睛1.8 m,例例7.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于解解:设观察者与墙的距离为 x m,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂内容小结内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0 或不存在的点(2)第一充分条件过由正正变负负为极大值过由负负变正正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.2.连续函数的最值山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂思考与练习思考与练习1.设则在点 a 处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B2.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂3.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示提示:A山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂 作业:作业:p-162 习题习题3-5 1(5),(9);2;4(3)5 ;10;13;15

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