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1、五节函数极值与最大值最小值 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、函数极值及其求法一、函数极值及其求法定义定义2004-4-10定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义注意注意:函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的使函数取得极值的点称为点称为极值点极值点.2004-4-10定理定理2 2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)2004-4-10求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值
2、点情形)2004-4-10例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值2004-4-10定理定理3 3(第二充分条件第二充分条件)证证同理可证同理可证(2).(2).2004-4-10例例2 2解解注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.2004-4-10返回返回二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题2004-4-10步骤步骤:1.1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值则这个极值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)2 2 设设f(x)在在(a,b)内的驻点为内的
3、驻点为 x1,x2,xn,则比较则比较f(a),f(x1),f(xn),f(b)的的大小大小,其中最大的便是其中最大的便是f(x)在在a,b上的上的最大值最大值,最小的便是最小的便是f(x)在在a,b上的最小值上的最小值2004-4-10例例3 3解解计算计算比较得比较得2004-4-10例例4 4 把一根直径为把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁的圆木锯成截面为矩形的梁（图（图3 31717）.问矩形截面的高问矩形截面的高h和宽和宽b应如何选择才应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大能使梁的抗弯截面模量最大.解解 由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题由图由图3 31717看出，看出，b b与与h h有下面的关系：有下面的关系：因而因而图图317解得解得由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（0 0，d）内部取得；现在，内部取得；现在，在（在（0 0，d)内只有一个根内只有一个根当当 时，时，w的值最大，这时，的值最大，这时，实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)(1)建立目标函数建立目标函数;(2)(2)求最值求最值;2004-4-10返回返回