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1、精品资料欢迎下载第五节函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法定义 设函数fx 在点0 x 的某邻域0Ux内有定义， 如果对于去心邻域0U x内有定义，如果对于去心邻域0U x内的任一x，有0fxfx（或0fxfx） ，那么就称0fx是函数fx 的一个极大值（或极小值）函数的极大值与极小值统称极值，使函数取得极值的点称为极值点定理 1 （必要条件）设函数fx 在点0 x 处可导，且在0 x 处取得极值，则0fx0.定理 2（第一充分条件）设函数fx 在0 x 处连续，且在0 x 的某去心邻域0,U x内可导（1）若当00,xxx时，0fx，而当00,xxx时，0fx，则 fx 在0 x
2、处取得极大值；（2）若当00,xxx时，0fx，而当00,xxx时，0fx，则 fx 在0 x 处取得极小值；（3）若当0,xUx时， fx 的符号保持不变，则fx 在0 x 处不取得极值例 1 求函数2341f xxx的极值解fx 在,内可导，除1x外处处可导，且35131xfxx解方程0fx得函数的驻点1x易知1x为函数的不可导点在, 1 内，0fx；在1,1 ，0fx，故1x是函数的一个极大值点又因在 1,内，0fx，故1x是函数的一个极小值点极大值为10f，极小值为313 4.f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6
3、 页精品资料欢迎下载定理 2（第二充分条件）设函数fx 在0 x 处具有二阶导数且000,0fxfx，则（1）当00fx时，函数fx 在0 x 处取得极大值；（2）当00fx时，函数fx 在0 x 处取得极小值例 2 求函数3211fxx的极值解2261 .fxx x解方程0fx，得驻点1231,0,1.xxx226151 .fxxx因060f，故 fx 在0 x处取得极小值00.f因110ff，故用定理3 无法判别当x取1左侧邻近的值时，0fx； 当x取1右侧邻近的值时，0fx， 函数 fx在1x处不取极值同理，fx 在1x处不取极值二、最大值最小值问题求闭区间,a b 上连续函数fx 的最
4、大值最小值的方法如下：（1）求出fx 在,a b 内的驻点及不可导点；（2）计算fx 在上述驻点、不可导点处的函数值及fa ， f b ；（3）比较（ 2）中诸函数值的大小，其中最大的就是fx 在区间,a b 上的最大值，最小的就是fx 在区间,a b 上的最小值例 3 求函数232fxxx在3,4 上的最大值与最小值解2232,312,4 ,32,1,2 .xxxfxxxx23,3,12,4 ,23,1,2 .xxfxxx在3,4 内， fx 的驻点为32x；不可导点为1,2.x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页精
5、品资料欢迎下载因为31320,10,20,4624fffff，所以fx 在3,4 上的最大值为320f，最小值为20.f例 4 铁路上AB段的距离为100km 工厂 C 距A处 20km，AC 垂直于AB（如图所示） 为了运输需要， 要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路已知铁路每千米货运的运费与公路上每千米货运的运费之比为3:5 为了使货物从供应站B运到工厂 C 的运费最省， 问D点应选在何处？解 设 ADx km，则100DBx km，22220400.CDxx设铁路上每千米的运费为3k ，公路上每千米为5k （ k 为某个正数） ，从B点到 C 点需要的需要的总运费为y，则254003
6、100,0100.ykxkxx该函数的导数为253 .400 xykx方程0y的解为15.x因为01510021|400 ,|380 ,|50015xxxyk yk yk，所以该函数在区间0,100 上的最小值为15|380 xyk 因此当15ADkm 时，总运费最省习题 3-5 1.求下列函数的极值：（1）3226187yxxx；解261218,1212.yxxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载令0y得驻点121,3.xx由1|240 xy知1|17xy为极大值，由3|240 xy知3|47xy
7、为极小值（3）422yxx ；解3224441 ,124.yxxx xyx令0y得驻点1231,1,0.xxx由1|80 xy知1|1xy为 极 大 值 由1|8xy0 知1|1xy为 极 大 值 由0|40 xy知0|0 xy为极小值（5）21345xyx；解22322210123 4513552 45.4545xxxxxyxx令0y得驻点12.5x当125x时，0y， 因此函数在12,5上单调增加； 当125x时，0y，因此函数在12,5上单调减少，从而12205510y为极大值6.求下列函数的最大值、最小值：（1）3223, 14yxxx；解 函数的导数为26661 .yxxx x令0y
8、得驻点120,1.xx比较1014|5,|0,|1,|80 xxxxyyyy，得函数的最大值为4|80 xy，最小值为1|5.xy（2）282, 13xxx；解 函数的导数为3416422 .yxxx xx令0y得驻点12x（舍去），230,2.xx比较1023|5,|2,|14,|11xxxxyyyy，得函数的最大值为3|11xy，最小值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载2|14.xy（3）1, 51.yxxx解 函数的导数为12 111.2 12 1xyxx令0y，得驻点3.4x比较53145|
9、56,|,|14xxxyyy，得函数的最大值为345|,4xy最小值为5|65.xy10.某车间靠墙要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解 如图，设这间小屋的的宽为x，长为y，则小屋的面积为.Sxy已知 220 xy，即202yx，故2202202,0,10 .Sxxxxx204 ,4.Sx S令0S， 得驻点5.x由0S知5x为极大值点， 又驻点唯一，故极大值点就是最大值点，即当宽为5 m，长为 10m 时，这间小屋的面积最大12.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（如图所示） 截面的面积为52m问底宽x为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载解 设截面的周长为l ，已知22xlxy及2522xxy，即5.8xyx故1040,0,.4xlxxx2310201,.4llxx令0l，得驻点40.4x由34024200404xl知404x为极小值点，又驻点唯一，故极小值点就是最小值点所以当截面的底宽为404x时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页