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1、兰州大学信息科学与工程学院矩阵理论-第八讲兰州大学信息科学与工程学院2004年1兰州大学信息科学与工程学院上节内容回顾Hermite矩阵正定性方阵的范数1.三角不等式2.绝对齐性 3.正定性 4.相容性各种矩阵范数 1 F 2 1、2 与矩阵范数相容的向量范数的存在性从属于向量范数的矩阵范数矩阵的谱半径及其在特征值估计中的应用2兰州大学信息科学与工程学院矩阵的条件数定义矩阵条件数的工程背景许多工程问题，常常归结为求解矩阵方程由于矩阵A和向量b的元素一般是系统部件（例如电路元件）的参数值，或系统输出的观测值，所以不可能没有微小的误差或扰动。？数据的误差对于问题的解会产生怎样的影响？怎样度量这种影
2、响？怎样给出这种误差上界3兰州大学信息科学与工程学院矩阵的条件数当一个方程组由于初始数据的小扰动而使解严重失真时，称之为病态（坏条件的）方程组，反之，称之为良态（好条件的）方程组。通常用方程组系数矩阵A的条件数来刻画方程组的这种性态 help cond COND Condition number with respect to inversion.COND(X)returns the 2-norm condition number(the ratio of the largest singular value of X to the smallest).Large condition numb
3、ers indicate a nearly singular matrix.COND(X,P)returns the condition number of X in P-norm:NORM(X,P)*NORM(INV(X),P).where P=1,2,inf,or fro4兰州大学信息科学与工程学院矩阵的奇异值定义设 ，的特征值为则称 为A的奇异值5兰州大学信息科学与工程学院矩阵的条件数用MATLAB验证的条件数与下面的方程组进行比较：用来验证其对误差的鲁棒性（Robustness）6兰州大学信息科学与工程学院矩阵的条件数精度分析检验Ax=b解的精度的一般方法，或者用迭代法进行数值求解时，
4、使迭代终止条件，是将x代回原方程组计算残差向量对良态方程组，如果 很小，一般可认为解是好的，或迭代可以中止，但对病态方正组，这一结论不成立。例如，以作为解，则 但上解与其准确解 相差甚远7兰州大学信息科学与工程学院矩阵的条件数先分析方程组Ax=b中只有b有扰动 的情况。设由 引起的解x的扰动为 ，则（设 ）由相容性条件：8兰州大学信息科学与工程学院矩阵的条件数再分析方程组Ax=b中只有A有扰动 的情况。设由 引起的解x的扰动为 ，则（设 ）当 时9兰州大学信息科学与工程学院矩阵的条件数当A与b二者均有扰动时，由于Ax=b的线性特性，其扰动结果为二者扰动之和 注意到当 时10兰州大学信息科学与工
5、程学院矩阵的条件数 当 时 给出 引起的 的绝对误差 给出 引起的 的相对误差11兰州大学信息科学与工程学院矩阵序列定义由 中的矩阵构成的与自然数集N等势的集合一一映射矩阵序列的收敛若则称矩阵序列 收敛于 ，或称A为矩阵序列的极限，记为 或不收敛的矩阵称为发散矩阵序列收敛的充分必要条件其中 是 上的任一矩阵范数12兰州大学信息科学与工程学院矩阵序列证明：先取 上矩阵的G 范数证明上述充要条件 所以由范数的等价性，对 上的任一矩阵范数 ，使得其中 是 上的任一矩阵范数13兰州大学信息科学与工程学院矩阵序列推论：设 逆命题不成立 不收敛14兰州大学信息科学与工程学院矩阵序列推论：设 由此推论可得：
6、若 15兰州大学信息科学与工程学院矩阵序列上述命题可根据充要条件来证明：由 可证16兰州大学信息科学与工程学院矩阵序列若则 若A存在，但不可逆时，上述定理不成立17兰州大学信息科学与工程学院矩阵序列由方阵的幂构成的序列、收敛矩阵定义设 ，若 ，则称A为收敛矩阵 为收敛矩阵的充要条件必要性 充分性 取18兰州大学信息科学与工程学院矩阵序列推论设 ，若对 ，有 ，则A为收敛矩阵，即19兰州大学信息科学与工程学院矩阵序列举例判断下列矩阵是否为收敛矩阵(1)利用充要条件 A是收敛矩阵(2)利用充分条件 A是收敛矩阵20兰州大学信息科学与工程学院矩阵级数矩阵级数的定义由 中的矩阵序列 构成的无穷和称为矩
7、阵级数，记为 ，称为矩阵级数的部分和。矩阵级数的收敛和发散若由矩阵级数的部分和构成的矩阵序列 收敛，且有极限S则称矩阵级数 收敛，且有和S，记为不收敛的矩阵级数称之为发散的21兰州大学信息科学与工程学院矩阵级数 中的矩阵级数收敛相当于C上的 个级数都收敛 举例已知矩阵序列 的通项为判断矩阵级数 的敛散性考察上述矩阵级数的部分和22兰州大学信息科学与工程学院矩阵级数 矩阵级数收敛，且其和为23兰州大学信息科学与工程学院矩阵级数矩阵级数的绝对收敛定义：设 ，如果 个数值级数即级数都收敛，则称矩阵级数 绝对收敛矩阵级数的绝对收敛的充要条件设矩阵级数 绝对收敛正项级数 收敛证明：24兰州大学信息科学与
8、工程学院矩阵级数先在矩阵范数下证明此命题必要性：矩阵级数 绝对收敛都收敛 此 个级数均为正项级数，其相加所构成的级数收敛。由于由正项级数的比较判别法，可知级数 收敛。充分性：25兰州大学信息科学与工程学院矩阵级数若正项级数 收敛，由可知由正项级数的比较判别法，可知 个数值级数收敛，从而矩阵级数绝对收敛。同时应用 上矩阵范数的等价性及正项级数的比较判别法，可知上述命题对 均成立26兰州大学信息科学与工程学院矩阵级数定理设 ，其中则1.2.，3.绝对收敛的矩阵级数必收敛，并且任意调换其项的顺序所得的矩阵级数仍收敛，且其和不变4.若矩阵级数 收敛（或绝对收敛），则矩阵级数 也收敛（或绝对收敛），并且有5.若 与 均绝对收敛，则它们按项相乘所得的矩阵级数 也绝对收敛，且其和为AB27兰州大学信息科学与工程学院矩阵级数证明：只证4.及5.4.因 ，记 ，则在此基础上考察级数 的部分和的极限 可见收敛，且若 绝对收敛 收敛，由于由正项级数的比较判别法可知 绝对收敛28兰州大学信息科学与工程学院矩阵级数5.首先由命题的条件可知，级数 与 均收敛记考察矩阵级数的通项的范数 由正项级数的比较判别法可知，级数绝对收敛记29兰州大学信息科学与工程学院矩阵级数则再记由矩阵范数的三角不等式及相容性再由可得30兰州大学信息科学与工程学院 31