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1、第十一章第十一章 塑性成形力学的工程应用塑性成形力学的工程应用第一节第一节 金属塑性成形问题的求解方法概述金属塑性成形问题的求解方法概述 对于一般空间问题，在三个平衡微分方程和一个屈服准则中，共包对于一般空间问题，在三个平衡微分方程和一个屈服准则中，共包含六个未知数含六个未知数 ，属静不定问题。再利用六个应力应变关系式（本，属静不定问题。再利用六个应力应变关系式（本构方程）和三个变形连续性方程，共得十三个方程，包含十三个未知数构方程）和三个变形连续性方程，共得十三个方程，包含十三个未知数（六个应力分量，六个应变或应变速率分量，一个塑性模量），方程式（六个应力分量，六个应变或应变速率分量，一个塑
2、性模量），方程式和未知数相等。但是，这种数学解析法只有在某些特殊情况下才能解，和未知数相等。但是，这种数学解析法只有在某些特殊情况下才能解，而对一般的空间问题，数学上的精确解极其困难。而对一般的空间问题，数学上的精确解极其困难。塑性成形力学解析的最精确的方法，是联解塑性应力状态和应变状态塑性成形力学解析的最精确的方法，是联解塑性应力状态和应变状态的基本方程。的基本方程。1 1主主应应力力法法（又又称称初初等等解解析析法法）从从塑塑性性变变形形体体的的应应力力边边界界条条件件出出发发，建建立立简简化化的的平平衡衡方方程程和和屈屈服服条条件件，并并联联立立求求解解，得得出出边边界界上上的的正正应应
3、力力和和变变形形的力能参数，但不考虑变形体内的应变状态。的力能参数，但不考虑变形体内的应变状态。2 2滑滑移移线线法法 假假设设材材料料为为刚刚塑塑性性体体，在在平平面面变变形形状状态态下下，塑塑变变区区内内任任一一点点存存在在两两族族正正交交的的滑滑移移线线族族。根根据据这这一一原原理理结结合合边边界界条条件件可可解解出出滑滑移移线线场场和和速度场，从而求出塑变区内的应力状态和瞬时流动状态，计算出力能参数。速度场，从而求出塑变区内的应力状态和瞬时流动状态，计算出力能参数。3 3上上限限法法 从从变变形形体体的的速速度度边边界界条条件件出出发发，对对塑塑变变区区取取较较大大的的单单元元，根根据
4、据极极值值原原理理，求求出出塑塑变变能能为为极极小小值值时时满满足足变变形形连连续续条条件件和和体体积积不不变变条条件件时时的的动动可可容容速速度度场场，计计算算出出力力能能参参数数，但但不不考考虑虑塑塑变变区区内内的的应应力力状状态态是是否否满满足足平平衡方程。衡方程。4 4有限元法有限元法 5.5.板料成形理论板料成形理论 对大量实际问题，则是进行一些简化和假设来求对大量实际问题，则是进行一些简化和假设来求解。根据简化方法的不同，求解方法有下列几种。解。根据简化方法的不同，求解方法有下列几种。主主应应力力法法是是金金属属塑塑性性成成形形中中求求解解变变形形力力的的一一种种近近似似解解法法。
5、它它通通过过对对应应力力状状态态作作一一些些近近似似假假设设，建建立立以以主主应应力力表表示示的的简简化化平平衡衡方方程程和和塑塑性性条条件，使求解过程大大简化。其基本要点如下：件，使求解过程大大简化。其基本要点如下：第二节第二节 主应力法及其求解要点主应力法及其求解要点（1）把变形体的应力和应变状态简化成平面问题（包括平面应变状态）把变形体的应力和应变状态简化成平面问题（包括平面应变状态和平面应力状态）或轴对称问题，以便利用比较简单的塑性条件，即和平面应力状态）或轴对称问题，以便利用比较简单的塑性条件，即:（2）根据金属流动的方向，沿变形体整个（或部分）截面（一般为纵）根据金属流动的方向，沿
6、变形体整个（或部分）截面（一般为纵截面）切取包含接触面在内的基元体，且设作用于该基元体上的正应力截面）切取包含接触面在内的基元体，且设作用于该基元体上的正应力都是均布的主应力。都是均布的主应力。（4）将将经经过过简简化化的的平平衡衡微微分分方方程程和和塑塑性性条条件件联联立立求求解解，并并利利用用边边界界条条件确定积分常数，求得接触面上的应力分布，进而求得变形力。件确定积分常数，求得接触面上的应力分布，进而求得变形力。（3）在对基元体列塑性条件时，假定接触面上的正应力为主应力，即）在对基元体列塑性条件时，假定接触面上的正应力为主应力，即忽略摩擦力对塑性条件的影响忽略摩擦力对塑性条件的影响(忽略
7、切应力忽略切应力)，从而使塑性条件大大简，从而使塑性条件大大简化。即有：化。即有：（当 ）。由于经过简化的平衡方程和屈服方程实质上都是以主应力表示的，由于经过简化的平衡方程和屈服方程实质上都是以主应力表示的，故此得名故此得名“主应力法主应力法”。又因这种解法是从切取基元体或基元板块着手。又因这种解法是从切取基元体或基元板块着手的，故也形象地称为的，故也形象地称为“切块法切块法”（Slab method）。）。第三节第三节 主应力法的应用主应力法的应用（1）切取基体。）切取基体。一、长矩形板坯变形力 设长矩形板坯在变形某设长矩形板坯在变形某瞬时的宽度为瞬时的宽度为a，高度为高度为h，长度为长度为
8、l(la)，故可近似地，故可近似地认为坯料沿认为坯料沿l向无变形，属向无变形，属于平面变形问题。用主应力于平面变形问题。用主应力法计算变形力的步骤如下：法计算变形力的步骤如下：可可忽忽略略长长矩矩形形板板坯坯长长度度方方向的变形向的变形!（2）列出基元体沿）列出基元体沿x轴方向的平衡微分方程。轴方向的平衡微分方程。（3）采用常摩擦条件。）采用常摩擦条件。（m为摩擦因子，）为摩擦因子，）(19-1)（5）联联解解平平衡衡微微分分方方程程和和简简化化屈屈服服方方程程(19-1)、（19-2），并并将将摩摩擦擦条条件件代代入得：入得：图19-2 平行砧板间平面应变锻粗及垂直应力 的分布图形（4）列出
9、的简化屈服方程。因为式（）列出的简化屈服方程。因为式（19-1）中的应力代表其绝对值，）中的应力代表其绝对值，对于镦粗变形，可判断出的对于镦粗变形，可判断出的 绝对值必大于的绝对值必大于的 绝对值，所以有绝对值，所以有（19-2）（7）将将 应力沿接触面积分可求出镦粗力和应力沿接触面积分可求出镦粗力和 单位压力。单位压力。（6）利用应力边界条件求积分常数）利用应力边界条件求积分常数C：当当，时有所以得所以得（19-3）的分布图形见图的分布图形见图19-2b)所示。所示。（19-4）（19-4a）式式中中的的 表表示示工工件件外外端端（）处处的的垂垂直直压压应应力力（绝绝对对值值），若该处为自由
10、表面有若该处为自由表面有 ，则由式（，则由式（19-2）得；）得；由式（由式（19-3）和式（）和式（19-4a），），可方便求出宽度为可方便求出宽度为a、高度为高度为h的工件平面应变自由镦粗时接触面上的压应力的工件平面应变自由镦粗时接触面上的压应力 和单位和单位变形力变形力p（均为绝对值均为绝对值）（把（把 和和 代入代入（19-3）式即可）式即可）（19-5）（19-6）图图19-3表表示示平平行行砧砧板板间间的的轴轴对对称称镦镦粗粗。图图中中基基元元板板块块的的平平衡方程式为衡方程式为二、二、轴对称镦粗的变形力轴对称镦粗的变形力图19-3 轴对称镦粗变形及基元板块受力分析以下不讲!因因
11、是一极小微量，故是一极小微量，故 ，同时略去二阶微量，同时略去二阶微量，则上式化简为则上式化简为假定为均匀镦粗变形，有假定为均匀镦粗变形，有得得（19-7）所以按绝对值的简化屈服方程，因所以按绝对值的简化屈服方程，因 ，故有，故有:联解得联解得（19-8）接触面满足常摩擦条件，对上式进行积分得接触面满足常摩擦条件，对上式进行积分得当（19-9）（19-10）时得 为工件外端（为工件外端（）处的垂直压应力。若该处为自由表面）处的垂直压应力。若该处为自由表面，则可由上述公式求出高度为则可由上述公式求出高度为h、直径为直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的的圆柱体自由镦粗时接触面上的压应力和单位变形力
12、压应力和单位变形力p：（19-11）否则由相邻变形区提供的边界条件确定。否则由相邻变形区提供的边界条件确定。则；若（19-12）圆柱体从锥形凹模圆柱体从锥形凹模挤出或锻件充填圆锥挤出或锻件充填圆锥形模孔（腔）形成凸形模孔（腔）形成凸台属于这种类型。台属于这种类型。三、通过圆锥孔型挤压的变形力第四节 滑移线的基本理论(不讲)因为最大切应力成对出现，相互正交，因此，滑移线在变形体内呈两族互相正交的网络，即所谓的滑移线场。滑移线就是塑性变形体内最大切应力的轨迹线。滑移线法就是针对具体的变形过程，建立滑移线场，然后利用滑移线的特性求解塑性成形问题，确定变形体内的应力分布和速度分布，进而计算变形力，分析
13、变形和决定毛坯的合理外形、尺寸等。严格地说，滑移线法只适用于求解理想刚塑性材料的平面变形问题，但对于主应力互为异号的平面应力问题，某些轴对称问题以及有硬化的材料，也可推广应用。一、平面变形应力状态的特点 链接一、平面变形应力状态的特点（19-21）最大切应力为：而作用在最大切应力平面上的正应力 恰好等于中间主应力或平均应力 ，即由应力莫尔圆的几何关系可知有如下关系：式中，是最大切应力平面与x轴的夹角。链接 过点P并标注其应力分量的微分面为物理平面，如图19-6d所示。显然，应力莫尔圆上一点对应一个物理平面，应力莫尔圆上两点之间的夹角为相应物理平面间夹角的两倍。对于理想刚塑性材料，K为常数 平面
14、塑性应变状态的三个主应力也可以用平均应力与最大切应力K来表示，将一点的代数值最大的主应力的指向称为第一主方向（的作用线）。由第一主方向顺时针转 所确定的最大切应力，符号为正，其指向称为第一剪切方向。另一最大切应力方向称为第二剪切方向。第一、第二两剪切方向相互正交。二、最大切应力迹线滑移线的形成 图19-7 滑移线网络的形成 一族称为滑移线，另一族称为滑移线。滑移线场中，两条滑移线的交点称为节点。滑移线场与主应力迹线场相交成45角。已知滑移线场便可作出主应力迹线场，反之，已知主应力迹线场也可作出滑移线场。三、关于、滑移线和角的规定（2）滑移线两侧的最大切应力组成顺时针方向的为族线，组成逆时针方向
15、的为族线；（3）当已知主应力1和3方向时，将它们沿顺时针方向旋转450角，即得、族线。（1）当、族线构成右手坐标系时，代数值最大的主应力1的作用方向位于第一与第三象限（4）线的切线方向与ox轴的夹角以表示，并规定ox轴的正向为角的量度起始线，逆时针旋转形成的角为正，顺时针旋转形成的角为负。由图可知四、滑移线的微分方程（19-23）滑移线的微分方程为五、滑移线的主要特性（一）汉基（HHencky）应力方程 (19-24)（二）滑移线的沿线特性 汉基应力方程是滑移线场理论中很重要的公式，根据汉基应力方程可推导出滑移线场的一些主要特性。（19-25）（1）若滑移线场已经确定，且已知一条滑移线上任一点
16、的平均应力，则可确定该滑移线场中各点的应力状态。（2）若滑移线为直线，则此直线上各点的应力状态相同。（3）如果在滑移线场的某一区域内，两族滑移线皆为直线，则此区域内各点的应力状态相同，称为均匀应力场。几点结论：（三）汉基第一定理（跨线特性）及其推论 同一族的一条滑移线转到另一条滑移线时，则沿另一族的任一条滑移线方向角的变化及平均应力的变化 均 为常数。（19-26）由式（19-26）可知，若单元网络三个节点上的 值为已知，则第四个节点上的值即可求出。图19-11 推论示意图 从汉基第一定理可得出如下推论：若一族的一条滑移线的某一区段为直线段，则被另一族滑移线所截得的该族滑移线的所有相应线段皆为
17、直线（见图19-11）。滑移线场的建立概括起来有两种方法，即分析推理法（也称简化图解法）和数值解析法。分析推理法是根据塑性区内金属流动情况，将塑性变形区分成若干小区，各小区中滑移线场为已知的简单的滑移线场，各小区拼接处和整个滑移线场边界都应满足应力边界条件。六、滑移线场的建立1不受力的自由表面 自由表面上一点的应力状态，可分为两种情形：（一）塑性区的应力边界条件自由表面上有 ，所以，即两族滑移线与自由表面相交成 。(a)（图19-12a）(b)（图19-12b）由于接触表面上无摩擦，即 ，则与不受力的自由表面情况一样，两族滑移线与接触表面相交成 ，如图19-13所示。2无摩擦的接触表面图19-
18、13 无摩擦接触表面处的滑移线3 摩擦切应力达到最大值K的接触面 由于接触表面上 ，则 ，或 ，即一族滑移线与接触表面相切，另一族滑移线与之正交。4 摩擦切应力为某一中间值的接触表面 此时，接触面上的摩擦切应力为0 K。根据式（19-21）有 （19-27）将 的数值代人式（19-27）可求得 的两个解。但它的正确解应根据 、的代数值并利用应力莫尔圆来确定。确定 后，即可确定 线和 线，如图19-15所示。图19-15 摩擦切应力为某一中间值的接触表面处的滑移线（二）常见的滑移线场类型1直线滑移线场2简单滑移线场(1)有心扇形场(2)无心扇形场 3直线滑移线场与简单滑移线场的组合 4由两族相互
19、正交的光滑曲线所构成的滑移线场(1)当圆弧边界面为自由表面或其上作用有均布的法向应力时，其滑移线场由正交的对数螺旋线所构成，如图19-19a所示。(2)粗糙平行刚性板间压缩时，相应于接触面上摩擦力达到最大值的那一段，其滑移线场为正交的圆摆线，如图19-19b所示。(3)两个等半径圆弧所构成的滑移线场，也称扩展的有心扇形场，如图19-19c所示。图19-19 两族正交曲线构成的滑移线场第五节 滑移线法的应用(不讲)一、平冲头压入半无限体 大型自由锻中剁刀切断大钢坯或用压铁在锻件上局部压入等工步的金属变形状态，可以看作是平冲头压入半无限体内的塑性成形问题。如钢坯尺寸很大，变形可以认为是平面变形。设
20、冲头的宽度为2b，冲头表面光滑，与坯料的接触面上无摩擦力作用，现用滑移线法求解。1 建立滑移线场 冲头压入时，冲头下的金属受压缩而产生塑性变形，靠近冲头两侧附近自由表面的金属因受挤后而产生凸起的塑性变形。在冲头两侧的自由表面上，由于无外力作用，根据滑移线的特性和应力边界条件，推知是均匀应力场，CD为 线,AC为 线，均与自由表面AD成 。2 求平均单位压力 由于对称，取右半部分分析。在滑移线场中任取一条连接自由表面和冲头接触面的 线EF，E、F点的应力可作应力莫尔圆求得。对F点，为压应力E点在接触面上均为压应力，其绝对值大于平冲头单位长度上的压力为 在边界AD上，在接触面AO上EF为 线由式（
21、19-24）的第一式，有得或（19-28）（19-28a）（19-29）按式（19-21）第二式，有所得结果与式（19-28）、（19-28a）相同。对E、F点的应力也可直接由式（19-21）求得，计算如下：F点所以E点，则因为 区为均匀应力场，所以单位流动压力为或第六节 塑性极值原理和上限法(不讲)对于复杂的塑性成形问题，要求得一般的数学解是很困难的。通常采用近似方法求解塑性成形问题，得到的解有两种类型：数值解和解析解。采用有限元法和有限差分法得到的是数值解。用主应力法、滑移线法得出的是解析解，它们在求解时对问题本身和材料性质都作了一些简化处理和假设，难以得到准确解。而极限分析法则是另一种解
22、析法，这种方法从力学理论基础上根本改变了近似和简化途径，使求解过程中不必解复杂的偏微分方程，并具有较可靠的解析结果。一、概述 如果在金属塑性成形过程的力学问题求解中通过近似的方法简化求解过程并排除复杂的数学运算，从而得出的载荷大于或小于这个真实的极限载荷，则所得出的解称为界限载荷。因此，极限分析的计算方法分为上限法与下限法，求解界限载荷的理论分为上限定理与下限定理。在塑性成形理论中，对理想塑性材料的工件当载荷增加到某一数值时，即使载荷不再继续增加，塑性变形也会自然的发展，这时工件达到所谓极限状态，这样的载荷值称为极限载荷。极限载荷 极限分析计算的界限载荷与实测载荷的误差一般约在（1015）%，
23、在工程应用的许可范围之内，因其计算简单，在工艺分析计算中得到广泛的应用。特别是上限法得出的结果略大于真实载荷，正符合于锻压设备选择与模具设计的安全要求。此外，上限法所依据的近似方法（虚拟的动可容速度场）能够用实验观察或用滑移线场找到参考依据，因此，这种方法在工程中得到广泛的应用，它除了用来估算成形过程的力能参数外，还可用于金属流动和变形分析、工艺参数和模具的优化设计，以及工件内部温度场和缺陷的预测等。故此，下面将着重介绍界限法中的上限法及其应用。界限法的力学基础是虚功原理。变形体的虚功原理可表述如下：如对载荷系（力系）作用下处于平衡状态的变形体给予一符合约束条件的微小虚位移时，则外力在虚位移上
24、所作的虚功，必等于变形体内应力在虚应变上所作的虚功（虚应变能）。为了方便起见，也可用功增量表示。二、二、虚功原理与基本能量方程式虚功原理与基本能量方程式（19-35）图19-28 变形体边界的划分及其上的表面力Ti和位移增量dui在讨论虚功方程时，变形体内的位移（增量）场或速度场是处处连续的。而实际上，在刚塑性变形体内可能存在位移（增量）或速度不连续的情形，这点必须加以考虑。三、速度间断 现设变形体被速度间断面SD分成和两个区域；在微段dSD上的速度间断情况如图所示。根据塑性变形体积不变条件可知，垂直于dSD上的速度分量必须相等，否则材料将发生重叠或拉开。而切向速度分量可以不等，造成、区的相对
25、滑动。其速度间断值为 速度间断面就是沿SD的一个速度急剧而连续变化的薄层区，如图所示。变形体由于存在速度间断，要消耗一定的剪切功率，其值为 (19-38）图19-30 速度间断薄层区 如果变形体内存在若干个速度间断面，则所消耗的功率等于各个面所消耗功率的总和。对于变形体存在速度间断时的虚功（率）方程应为 （19-39）当变形体处于塑性屈服状态，对刚塑性体而言，若应变增量场一定,在所有满足屈服准则的应力场中，与该应变增量场符合应力应变关系的应力场所做的塑性功增量为最大，其表达式为四、最大散逸功原理-是满足同一屈服准则的任意应力偏量（场）。0 （19-40）式中，d-是符合应力应变关系的应力偏量（
26、场）和应变 增量（场）；五、上限法原理（2）变形体在变形时保持连续性，不发生重叠和开裂。（3）满足体积不变条件。即 用上限法计算极限载荷时，只假设塑变区的位移状态为动可容速度场 （或 位移场），它满足下列三个条件：.（1）满足速度（或位移）的边界条件，即在位移面Su上，=或 =，或.为给定的真实速度或真实位移。.而不考虑应力方面的条件，因此该速度（位移）场不一定是（一般不是）真实的速度（位移）场。依据此速度（位移）场所求得的极限载荷总是大于（最小等于）真实载荷，故称上限法。由于所假设的速度（位移）场只要求满足动可容条件，现设有一动可容位移增量场 ，且变形体内存在速度间断面 ，其上的位移增量间断
27、值为 ，如图19-33所示。将虚功方程用于动可容位移增量场 和真实应力场 ，参照式（19-39）有 （19-45）式中，表示真实应力场 在 上的切应力分量，它总是小于或等于按屈服准则所确定的切应力极限K，即 K。由最大散逸功原理可知将这些关系式代入式（19-45），并考虑到在 上，（19-46）故得 虚拟连续位移增量场 所作的功增量 虚拟速度间断面 上所消耗的剪切功增量 上真实表面力 在 上所做的功增量 上虚拟表面力 所作功增量 即 式（19-46）、式（19-47）即为上限定理的数学表达式，它可表述为：在 上，与任一动可容位移增量场 对应的表面力 所做的功增量，总是大于或等于真实表面力 在真
28、实位移增量场 上所做的功增量。+在上述分析中，若用 、分别代替 和 ，则式（19-46）中的各项变为相应的功率，因而得*iu.*jie.式（19-47）、式（19-48）还表明，由 上 所确定的载荷P*，总是大于或等于真实表面力 所确定的载荷P（即真实载荷）。在塑性加工中，力面 通常为自由表面，即 ，故式（19-48）可简化为（19-49）根据能量守恒原则，外载荷P*所作的功率应该和式（19-49）右边三项能量的代数和相等+*iuP.（19-50）一般位移面工具的速度 是常数，在假设 时就已经给定，因而上限载荷P*即可求出。*iu.iu.本章完谢谢大家应力状态xoy平面内应力单元体返回返回应力状态应力莫尔圆返回图19-12 自由表面处的滑移线图19-15 摩擦切应力为某一中间值的接触表面处的滑移线图19-20 平冲头压入半无限体图19-21 E、F点的应力莫尔圆a）F点的应力莫尔圆 b）E点的应力莫尔圆