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1、32空空间间向量的向量的应应用用32.1直直线线的方向向量与平面的法向量的方向向量与平面的法向量学学习习目目标标1.理解直理解直线线的方向向量与平面的法向量的概念的方向向量与平面的法向量的概念及求法及求法2理解平面的方程及求法理解平面的方程及求法3能能综综合有关知合有关知识识解决解决问题问题 课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练32.1课前自主学案课前自主学案课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基1已知两个非零向量已知两个非零向量a，b，则则abab0.若若a与与b同向，同向，则则ab|a|b|；若反向，若反向，则则ab|a|b|.2直直线线AxByC0(A，B不同不同时为时为零
2、零)的的斜率斜率为为_，与，与该该直直线线垂直的直垂直的直线线的斜率的斜率为为_.1直线直线l的方向向量的方向向量我们把直线我们把直线l上的向量上的向量e(e0)以及与以及与e共线的非零向共线的非零向量叫做量叫做_2法向量法向量如果表示非零向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平的有向线段所在直线垂直于平面面，那么称向量，那么称向量n垂直于平面垂直于平面，记作，记作_，此时，我们把向量此时，我们把向量n叫做平面叫做平面的的_知新益能知新益能直直线线l的方向向量的方向向量法向量法向量n直线的方向向量与平面的法向量各有几条？它直线的方向向量与平面的法向量各有几条？它们各自之间的关系是怎样的
3、？们各自之间的关系是怎样的？提示：提示：各有无数条，直线的方向向量都是平行各有无数条，直线的方向向量都是平行向量，平面的法向量都是平行向量向量，平面的法向量都是平行向量问题探究问题探究课堂互动讲练课堂互动讲练考点突破考点突破考点一考点一直线的方向向量直线的方向向量在在直直线线上上取取有有向向线线段段表表示示的的向向量量，或或在在与与它它平平行行的的直直线线上上取取有有向向线线段段表表示示的的向向量量，均均为直线的方向向量为直线的方向向量设设a、b分别是直线分别是直线l1、l2的方向向量，根据的方向向量，根据下列条件判断直线下列条件判断直线l1、l2的位置关系：的位置关系：(1)a(1,2，1)
4、，b(3，6,3)；(2)a(1，2,2)，b(2，3，2)【思路点拨思路点拨】直线的方向向量与直线位置的关直线的方向向量与直线位置的关系是系是abl1l2；abl1l2.据此可判断两直据此可判断两直线的位置关系线的位置关系例例1【解解】(1)因为因为(3，6,3)3(1,2，1)，所以所以b3a，所以，所以l1l2.(2)因为因为ab(1，2,2)(2，3，2)(1)2(2)(3)2(2)0，所以所以ab，所以，所以l1l2.【点评点评】利用直线的方向向量可以判断两条直线的利用直线的方向向量可以判断两条直线的平行、垂直关系：设直线平行、垂直关系：设直线l1、l2的方向向量分别为的方向向量分别
5、为a、b，则，则l1l2(或或l1与与l2重合重合)abakb；l1l2ab0.自我挑战自我挑战1在空间直角坐标系中，已知点在空间直角坐标系中，已知点A(2,4,0)，B(1，3,3)，P是线段是线段AB上的一点，且满上的一点，且满足足AP PB1 2，试求点，试求点P的坐标的坐标平面的法向量就是平面法线的方向向量，因此平面的法向量就是平面法线的方向向量，因此可以先确定平面的法线，再取它的方向向量可以先确定平面的法线，再取它的方向向量也可以直接设定向量与平面内的两条相交直线也可以直接设定向量与平面内的两条相交直线垂直，而得到平面的法向量垂直，而得到平面的法向量(本题满分本题满分14分分)正三棱
6、柱正三棱柱ABCA1B1C1的的所有棱长都为所有棱长都为2，D为为CC1中点求平面中点求平面A1AD的的一个法向量一个法向量考点二考点二求平面的法向量求平面的法向量例例2【思路点拨思路点拨】设设n(x，y，z)是平面是平面A1AD的一的一个法向量，根据个法向量，根据n平面平面A1AD，在平面中找到两，在平面中找到两个不共线的向量与法向量垂直，利用向量数量个不共线的向量与法向量垂直，利用向量数量积找出积找出x、y、z之间的关系，从而确定之间的关系，从而确定n的坐标的坐标【名师点评名师点评】待定系数法是求平面法向量的待定系数法是求平面法向量的一种最基本的方法，由于两个三元一次方程组一种最基本的方法
7、，由于两个三元一次方程组成的方程组的解不惟一，因此确定的平面的法成的方程组的解不惟一，因此确定的平面的法向量不是惟一的，为了方便起见，这里取向量不是惟一的，为了方便起见，这里取z1.在某些几何图形中，若能得到平面的垂线，则在某些几何图形中，若能得到平面的垂线，则法向量就易从图形中找到法向量就易从图形中找到自我挑战自我挑战2如图所示，正方体如图所示，正方体AC1的棱长为的棱长为1，试，试写出下列平面的一个法向量写出下列平面的一个法向量(1)平面平面ABCD；(2)平面平面ADD1A1；(3)平面平面ABC1D1；(4)平面平面A1BC1.1空间直线的方向向量和平面中直线的方向向空间直线的方向向量
8、和平面中直线的方向向量意义相同，就是直线上有向线段表示的向量量意义相同，就是直线上有向线段表示的向量或与其共线的向量，可以刻画直线的延伸趋势或与其共线的向量，可以刻画直线的延伸趋势一旦给出直线经过某点，就可以确定出直线一旦给出直线经过某点，就可以确定出直线位置位置2平面的法向量就是与平面垂直的向量，由它平面的法向量就是与平面垂直的向量，由它也可以确定出平面的位置也可以确定出平面的位置方法感悟方法感悟3在立体几何解题时，直线的方向向量一般不再在立体几何解题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算在给出的几何体比较特殊标运算在给出的几何体比较特殊(能构建空间直能构建空间直角坐标系角坐标系)时，坐标运算更为简便时，坐标运算更为简便4确定平面的法向量通常有两种方法：确定平面的法向量通常有两种方法：(1)几何几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量数法求解平面的法向量知能优化训练知能优化训练本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束点此点此进进入入课课件目件目录录按按ESC键键退出全屏播放退出全屏播放谢谢谢谢使用使用