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1、6.1 对称弯曲正应力对称弯曲正应力6.2 惯性矩、平行轴定理惯性矩、平行轴定理6.3 矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力6.4 平面弯曲的最大正应力及强度条件平面弯曲的最大正应力及强度条件6.5 两互垂直平面内的对称弯曲两互垂直平面内的对称弯曲第六章第六章 弯曲梁的强度设计弯曲梁的强度设计6.6 提高梁弯曲强度的措施提高梁弯曲强度的措施1 1梁的分类梁的分类悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁简支梁简支梁F Fq外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁MM集中力，集中力偶，分布载荷集中力，集中力偶，分布载荷集中力，集中力偶，分布载荷集中力，集中力偶，分布载荷承受弯曲作用的杆，称为梁。承受弯曲作用的
2、杆，称为梁。2 2纵向对称面纵向对称面纵向对称面纵向对称面梁的横截面梁的横截面梁的横截面梁的横截面都有对称轴都有对称轴都有对称轴都有对称轴6.1 6.1 对称弯曲正应力对称弯曲正应力1.1.对称弯曲对称弯曲3 3梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向对称面内，变形后梁的轴线是位于这个对称面内，变形后梁的轴线是位于这个对称面内的一条平面曲线，称为对称弯对称面内的一条平面曲线，称为对称弯曲。曲。纵向对称面纵向对称面纵向对称面纵向对称面F Fq1.1.对称弯曲对称弯曲4 42.2.纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲:梁横截面上的内力只有弯矩。梁横截面上的内力只有弯矩。横力弯曲横力
3、弯曲横力弯曲横力弯曲:若梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。若梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。若梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。若梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。F FF FMM0 0a aa aF FS SF FS S=0=0F F一般情况一般情况一般情况一般情况简单特例简单特例简单特例简单特例F FS S=0=0F FS SMM=F FaM=M0M5 5 3.对称弯曲梁纯弯曲时的正应力对称弯曲梁纯弯曲时的正应力问题问题:平面纯弯曲梁横截面上的正应力平面纯弯曲梁横截面上的正应力?思路：思路：仍延仍延研究变形体力学问题的主线研究变形体力学问题的主线。讨论平面纯弯曲梁。讨论平面纯弯曲梁。讨论平面纯弯
4、曲梁。讨论平面纯弯曲梁。横截面上只有弯矩。横截面上只有弯矩。横截面上只有弯矩。横截面上只有弯矩。弯矩分布在横截面上，弯矩分布在横截面上，弯矩分布在横截面上，弯矩分布在横截面上，x xMMy ys s s s只能是正应力。只能是正应力。只能是正应力。只能是正应力。力力力力的的的的平衡平衡平衡平衡(已已已已熟悉熟悉熟悉熟悉)变形变形变形变形的的的的几何协调几何协调几何协调几何协调 (几何分析几何分析几何分析几何分析)力与变形之关系力与变形之关系力与变形之关系力与变形之关系 (物理关系物理关系物理关系物理关系)z6 6讨论矩形截面纯弯曲梁。讨论矩形截面纯弯曲梁。讨论矩形截面纯弯曲梁。讨论矩形截面纯弯
5、曲梁。1 1）弯曲变形实验现象弯曲变形实验现象弯曲变形实验现象弯曲变形实验现象AAAA、BBBB仍保持直线，但相对仍保持直线，但相对仍保持直线，但相对仍保持直线，但相对地转过一角度地转过一角度地转过一角度地转过一角度d d 。aa 缩短缩短，bb伸长，变为弧形，伸长，变为弧形，但仍与但仍与但仍与但仍与AAAA、BBBB线正交。线正交。线正交。线正交。2 2）弯曲的基本假设）弯曲的基本假设）弯曲的基本假设）弯曲的基本假设平面假设平面假设平面假设平面假设梁的梁的梁的梁的横截面在横截面在横截面在横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍与梁弯曲变形后仍保持为平面，且仍与梁弯曲变形后仍保持为平面，且仍与梁弯
6、曲变形后仍保持为平面，且仍与梁的轴线垂直。的轴线垂直。的轴线垂直。的轴线垂直。AABBaabbMMA AB BB BA Aaab bb bd d MM变形后变形后变形后变形后（1）弯曲变形几何分析弯曲变形几何分析返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录7 73 3）推论：推论：推论：推论：若梁由纵向纤维组成，则其变形若梁由纵向纤维组成，则其变形是伸长或缩短。是伸长或缩短。凹部纤维凹部纤维aa 缩短，凸部缩短，凸部bb纤维伸纤维伸长，总有一层纤维既不伸长又不长，总有一层纤维既不伸长又不缩短，此层称为中性层。缩短，此层称为中性层。2 2）弯曲的基本假设）弯曲的基本假设）弯曲的基本假设）弯曲的基本假
7、设平面假设平面假设平面假设平面假设梁的梁的梁的梁的横截面在横截面在横截面在横截面在弯曲变形后仍保持弯曲变形后仍保持弯曲变形后仍保持弯曲变形后仍保持为平面，且仍与梁的轴线垂直。为平面，且仍与梁的轴线垂直。为平面，且仍与梁的轴线垂直。为平面，且仍与梁的轴线垂直。有中性层存在有中性层存在有中性层存在有中性层存在AABBaabbMMMM中性层中性层中性层中性层(面面面面)中性轴中性轴中性轴中性轴中性层中性层中性层中性层(面面面面)中性层与横截面的交线称为中性中性层与横截面的交线称为中性中性层与横截面的交线称为中性中性层与横截面的交线称为中性轴。轴。轴。轴。A AB BB BA Aaab bb bd d
8、 MM变形后变形后变形后变形后8 84）变形几何关系变形几何关系考虑梁考虑梁考虑梁考虑梁AA-BBAA-BB间的微段，间的微段，间的微段，间的微段，oooo在中性层上，在中性层上，在中性层上，在中性层上，r r r r为中性层的为中性层的为中性层的为中性层的曲率半径。截面坐标如图。曲率半径。截面坐标如图。曲率半径。截面坐标如图。曲率半径。截面坐标如图。yza ao o距中性层为距中性层为距中性层为距中性层为y y的纵向纤维的纵向纤维的纵向纤维的纵向纤维aaaa:变形前：变形前：变形前：变形前：变形后：变形后：变形后：变形后：A AB BB BA Aa aa ao oo od d MMMMy y
9、r r横横截面上任一点处线应变截面上任一点处线应变e e的大小与该点到的大小与该点到中心层的距离中心层的距离y成正比成正比:r re e/y-=应变：应变：应变：应变：()r rr rr rr re eyd yaaaaaall-=-=-=D D=d d 9 9线弹性应力线弹性应力线弹性应力线弹性应力-应变关系：应变关系：应变关系：应变关系：s s s s=E Ee e e e=-=-EyEy/r r r r Hook Hook 定理定理定理定理基于：基于：基于：基于：纵向纤维受单向拉压；纵向纤维受单向拉压；纵向纤维受单向拉压；纵向纤维受单向拉压；材料材料材料材料拉压拉压拉压拉压弹性常数相等。则
10、弹性常数相等。则弹性常数相等。则弹性常数相等。则 横截面上各点的正应力横截面上各点的正应力横截面上各点的正应力横截面上各点的正应力s s s s 的大小的大小的大小的大小与该点到中性与该点到中性与该点到中性与该点到中性轴的距离轴的距离轴的距离轴的距离y y成正比。成正比。成正比。成正比。中性轴以上，中性轴以上，中性轴以上，中性轴以上，y y00，s s s s为负，是压应力，纤维缩短。为负，是压应力，纤维缩短。为负，是压应力，纤维缩短。为负，是压应力，纤维缩短。中性轴以下，中性轴以下，中性轴以下，中性轴以下，y y0 b b时，截面上时，截面上时，截面上时，截面上y y相同处相同处相同处相同处
11、t t t t相同。相同。相同。相同。取图示部分研究其在取图示部分研究其在取图示部分研究其在取图示部分研究其在x x方向的平衡：方向的平衡：方向的平衡：方向的平衡：d dx xb bt t t tF F1 1F F2 2F F3 3A A1 1S S 是面积是面积是面积是面积A A 对中性轴对中性轴对中性轴对中性轴z z的静矩。的静矩。的静矩。的静矩。z z1 1 6.3 矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录3131研究研究研究研究x x方向的平衡：方向的平衡：方向的平衡：方向的平衡：对于矩形截面，有：对于矩形截面，有：对于矩形截面，有：对于矩形
12、截面，有：d dx xb bF F1 1F F2 2F F3 3 t t t t =1A1zzzIMSdAIMydAFs sA1 -=-=)()(2A1zzzISdMMdAIydMMdAFs sA1bdxFt t=3有：有：有：有：S S S SF Fx x=F F1 1-F F2 2+F F3 3=0=0bIFSSz*dxdMbISz zz zz z=t tS Sz z*=?=?)4(2222/yhbdybyydAS*h yA1z-=z zy yA A1 1b bh h得到得到得到得到3232矩形截面梁的弯曲剪应力为：矩形截面梁的弯曲剪应力为：y yz zb bh h结论结论截面上截面上截面
13、上截面上t t t t与与与与F FS S平行，指向相同。平行，指向相同。平行，指向相同。平行，指向相同。hbhb时，截面上时，截面上时，截面上时，截面上y y相同处相同处相同处相同处t t t t相同。相同。相同。相同。y y=h/2=h/2处，处，处，处，t t t t=0=0。t t t tmaxmax横力弯曲梁中有剪应力。横力弯曲梁中有剪应力。纵向面上的剪应力纵向面上的剪应力纵向面上的剪应力纵向面上的剪应力t t t t 由由由由剪应力互等定理确定。剪应力互等定理确定。剪应力互等定理确定。剪应力互等定理确定。t t是是y的函数，呈抛物线分布，的函数，呈抛物线分布，最大剪应力在中性轴处且
14、等最大剪应力在中性轴处且等于平均剪应力的于平均剪应力的1.5倍。倍。截面上截面上截面上截面上t t t t与与与与QQ平行，指向相同。平行，指向相同。平行，指向相同。平行，指向相同。y=h/2y=h/2处，处，处，处，t t t t=0=0。中性轴处，中性轴处，中性轴处，中性轴处，y y=0=0，I Iz z=bhbh3 3/12/12，故有：故有：故有：故有：mzbhFSIFSht tt t5.12382max=FSt t t t3333例：外伸梁受力与截面尺寸如图，求例：外伸梁受力与截面尺寸如图，求例：外伸梁受力与截面尺寸如图，求例：外伸梁受力与截面尺寸如图，求1 1、梁内最大弯曲正应力、
15、梁内最大弯曲正应力、梁内最大弯曲正应力、梁内最大弯曲正应力2 2、梁内最大弯曲切应力、梁内最大弯曲切应力、梁内最大弯曲切应力、梁内最大弯曲切应力3 3、剪力最大的截面上翼板与腹板交界处的切应力、剪力最大的截面上翼板与腹板交界处的切应力、剪力最大的截面上翼板与腹板交界处的切应力、剪力最大的截面上翼板与腹板交界处的切应力3434按绝对值计算应力按绝对值计算应力按绝对值计算应力按绝对值计算应力s s s s 的大小，依的大小，依的大小，依的大小，依据弯曲后的拉压情况判断正负。据弯曲后的拉压情况判断正负。据弯曲后的拉压情况判断正负。据弯曲后的拉压情况判断正负。弯曲正应力公式：弯曲正应力公式：横截面有对
16、称轴的平面弯曲。横截面有对称轴的平面弯曲。横截面有对称轴的平面弯曲。横截面有对称轴的平面弯曲。载荷作用在纵向对称面内；载荷作用在纵向对称面内；载荷作用在纵向对称面内；载荷作用在纵向对称面内；梁的高跨比梁的高跨比梁的高跨比梁的高跨比 h h/L L 0.2 0.2；适用范围：适用范围：适用范围：适用范围：纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲MMyxs s s smaxmax压压压压s s s smaxmax拉拉拉拉MM zIMy=s s6.4 6.4 梁的强度设计梁的强度设计返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录3535最大最大弯曲弯曲正应力正应力:y y=y y 时，时，
17、时，时，s s s s=s s s s ，故，故，故，故mamax xmamax x WW=I I /y y ，是弯曲截面系数。，是弯曲截面系数。，是弯曲截面系数。，是弯曲截面系数。z zz zmaxmax弯曲正应力的弯曲正应力的强度条件：强度条件：抗力抗力抗力抗力作用作用作用作用处处均应满足强度条件。处处均应满足强度条件。处处均应满足强度条件。处处均应满足强度条件。若材料拉压性能不同，则若材料拉压性能不同，则若材料拉压性能不同，则若材料拉压性能不同，则MMyxs s s smaxmax压压压压s s s smaxmax拉拉拉拉MM zzWMIMy=maxmaxs s3636最大最大切应力切应
18、力:y y=0 =0 时，时，时，时，=maxmax ，故，故，故，故弯曲切应力的强度条件：弯曲切应力的强度条件：弯曲梁的强度设计，必须弯曲梁的强度设计，必须弯曲梁的强度设计，必须弯曲梁的强度设计，必须同时满足正应力和切应力同时满足正应力和切应力同时满足正应力和切应力同时满足正应力和切应力强度条件。强度条件。强度条件。强度条件。y yz zb bh ht t t tmaxmax3737例例例例 空心矩形截面梁的横截面尺寸空心矩形截面梁的横截面尺寸空心矩形截面梁的横截面尺寸空心矩形截面梁的横截面尺寸HH=120mm=120mm，B B=60mm=60mm，h h=80mm=80mm，b b=30
19、mm=30mm，若，若，若，若 =120MPa=120MPa，试校核梁的强度。试校核梁的强度。试校核梁的强度。试校核梁的强度。解：解：解：解：1 1）作）作）作）作F FS S、MM图。图。图。图。固定端弯矩最大，固定端弯矩最大，固定端弯矩最大，固定端弯矩最大，MM =qLqL/2=14.4 kN.m/2=14.4 kN.mmamax x2 22)2)抗弯截面模量抗弯截面模量抗弯截面模量抗弯截面模量WW z z WW =HH B B-b b(h h/HH)/6)/6 =1.227 10 m =1.227 10 m2 23 3-4-43 3z z3 3）强度校核）强度校核）强度校核）强度校核:L
20、=1.2mOq q=20kN/m=20kN/mAx xqLqLF FS S图图图图x xqLqL /2/22 2MM图图图图b bHHB Bh hz z00时：时：时：时：截面应力分布？截面应力分布？截面应力分布？截面应力分布？s smax拉拉=3.253.25aM/Izs smax压压=1.75=1.75aM/Iz强度条件强度条件强度条件强度条件:MM+拉拉拉拉I Iz z/3.25/3.25a a=4=4 拉拉拉拉I Iz z/13/13a aMMy ymaxs压压压压maxs拉拉拉拉C C1.75a1.75a3.25a3.25a4646讨论二讨论二：铸铁：铸铁：铸铁：铸铁T T形截面梁有
21、形截面梁有形截面梁有形截面梁有 压压压压/拉拉拉拉=2=2，试求，试求，试求，试求其所能承受的最大正负弯矩之比。其所能承受的最大正负弯矩之比。其所能承受的最大正负弯矩之比。其所能承受的最大正负弯矩之比。MM000时，强度条件时，强度条件时，强度条件时，强度条件:MM+拉拉拉拉I Iz z/3.25/3.25a a=4=4 拉拉拉拉I Iz z/13/13a a4 4a aa aa a4 4a ay yz zC C3.253.25a a1.751.75a a4747讨论三讨论三、矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁ABAB受力如图。受力如图。受力如图。受力如图。=150MPa=150MPa，
22、t t t t=60MPa=60MPa，若取若取若取若取h h/b b=2=2，试设计其尺寸。，试设计其尺寸。，试设计其尺寸。，试设计其尺寸。解：解：解：解：1.1.1.1.求反力，求反力，求反力，求反力，作作作作F FQQ、MM图。图。图。图。2.2.按弯曲正按弯曲正按弯曲正按弯曲正 应力设计：应力设计：应力设计：应力设计：AB1m10kN10kN4kN.m4kN.m1mF FB BMMB Bx xF FS S10kN10kN x xMM4kN.m4kN.m6kN.m6kN.m6/2maxmax s s=bhM2.2.按弯曲切按弯曲切按弯曲切按弯曲切 应力设计：应力设计：应力设计：应力设计：
23、23Smaxmaxt tt t=bhF一般按正应力设计，再校核剪切强度。一般按正应力设计，再校核剪切强度。一般按正应力设计，再校核剪切强度。一般按正应力设计，再校核剪切强度。4848讨论四讨论四、空心活塞销受力如图所示，已知、空心活塞销受力如图所示，已知FPmax=7000N，=240MPa,校核销子的强度。校核销子的强度。解：销子各段可近似视为承受解：销子各段可近似视为承受解：销子各段可近似视为承受解：销子各段可近似视为承受均布载荷。均布载荷。均布载荷。均布载荷。49496.5 6.5 两互垂直平面内的对称弯曲两互垂直平面内的对称弯曲斜弯曲斜弯曲矩形、工字型截面矩形、工字型截面矩形、工字型截
24、面矩形、工字型截面横向载荷作用在双对称纵向面内横向载荷作用在双对称纵向面内横向载荷作用在双对称纵向面内横向载荷作用在双对称纵向面内正交双对称截面正交双对称截面正交双对称截面正交双对称截面截面上任意一点的正应力计算，可采用截面上任意一点的正应力计算，可采用叠加的方法。叠加的方法。5050中性轴位置中性轴位置中性轴位置中性轴位置中性轴是通过截面形心的斜直线。中性轴是通过截面形心的斜直线。中性轴是通过截面形心的斜直线。中性轴是通过截面形心的斜直线。横截面上任一点横截面上任一点横截面上任一点横截面上任一点A(y,zA(y,z)处的正应力处的正应力处的正应力处的正应力D1D1和和和和D2D2是最大拉是最
25、大拉是最大拉是最大拉 、压应力的作用点。、压应力的作用点。、压应力的作用点。、压应力的作用点。具有棱角的截面，最大拉、压应力必然具有棱角的截面，最大拉、压应力必然具有棱角的截面，最大拉、压应力必然具有棱角的截面，最大拉、压应力必然发生在截面的棱角。发生在截面的棱角。发生在截面的棱角。发生在截面的棱角。5151例：悬臂梁由工字钢制成。若作用于自由端的集中力例：悬臂梁由工字钢制成。若作用于自由端的集中力F与与轴轴y的夹角为的夹角为，许用应力为，许用应力为，试建立梁的正应力强，试建立梁的正应力强度条件。度条件。解解解解：1.1.1.1.将将F沿轴沿轴y，z分解分解固定端，弯矩最大固定端，弯矩最大2.
26、固定端截面上任一点的正应力为固定端截面上任一点的正应力为 52523.离中性轴最远的两点为离中性轴最远的两点为A和和B，分别是梁内最大拉、，分别是梁内最大拉、压应力作用点，其应力的绝对值相等，可建立梁的压应力作用点，其应力的绝对值相等，可建立梁的正应力强度条件为正应力强度条件为4.令令=0，得中性轴方程，得中性轴方程 设中性轴与轴设中性轴与轴z的夹角为的夹角为中性轴与力的作用平面并不垂直中性轴与力的作用平面并不垂直.5353强度条件强度条件强度条件强度条件:措施：措施：措施：措施：降低降低降低降低 MMmaxmax提高提高提高提高WWz z、I Iz z FLFL/4/4y yo oF FL
27、L/2/2L L/2/2MMy yo oF FL L/3/3L L/3/3MMFLFL/6/6L L/3/3加复梁加复梁加复梁加复梁载荷均布载荷均布载荷均布载荷均布悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁降低降低降低降低 MMmaxmax：y yo oq q=F F/L LL LMMFLFL/8/8y yo oF FL LMMFLFL/2/2L L/2/2增加支点增加支点增加支点增加支点6.6 如何提高梁的强度如何提高梁的强度5454 提高提高提高提高WWz z、I Iz z：截面设计应尽可能使材料远离中性轴截面设计应尽可能使材料远离中性轴z。拉压性能不同时，截面上下缘拉压性能不同时，截面上下缘应同时达到许用应力。应同时达到许用应力。=AzdAyI2y y ，I Iz z 、WWz z 。C Cmaxs压压压压maxs拉拉拉拉MM空心空心空心空心截面截面截面截面工字工字工字工字 钢钢钢钢槽槽槽槽 钢钢钢钢返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录5555