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1、第八章 时间序列的平滑与分解 平滑 对某些经济指标的时间序列数据来说,通常不存在明显的趋势变动和周期变动或者存在某种长期趋势变动,但是短期趋势经常发生变化.对于这种数据我们可以采取平滑法。常见的平滑方法有：简单全期平均、移动平均和指数平滑法。全期平均不考虑时间距离的长短而全部同等的利用，移动平均只考虑部分数据并给予近期较大的权，而指数平滑方法综合了两种方法,因而该方法在短期预测中效果较好。分解 对一般的月度或季度经济指标，通常包含4中变动要素：长期趋势要素、循环趋势要素、季节变动要素和不规则要素。长期趋势要素代表了经济时间序列的长期走势，循环趋势要素通常是以数年为周期的一种周期性变动，代表了一
2、种景气变动；季节变动要素是每年重复出现的循环变动，如以12个月或4个季度为周期的变动。不规则要素主要是一些变化 不固定的随机因子或噪声。通常对一般的经济指标重点放在研究该序列的长期趋势要素和循环趋势要素上，这就要把它们从整个序列中分解出来。8.1 指数平滑法指数平滑法 指数平滑法的前提是认为时间序列的态势具有稳定性或规则性,所以时间序列可以被合理的顺势外推，但只能对短期的预测效果较好。常用的指数平滑方法包括一次指数平滑法、二次指数平滑法、Holt-Winter 非季节模型、Holt-Winter 季节加法模型和乘法模型。1 1、单指数平滑（一个参数）、单指数平滑（一个参数）、单指数平滑（一个参
3、数）、单指数平滑（一个参数）这种单指数平滑方法适用于序列值在一个常数均值上下随机波动的情况，无趋势及季节要素。平滑后的序列 计算式如下 =为平滑因子。越小，越平缓，重复迭代，可得到 由此可知为什么这种方法叫指数平滑，y的预测值是y过去值的加权平均，而权数被定义为以时间为指数的形式。单指数平滑的预测对所有未来的观测值都是常数。这个常数为 （对所有的K0）,T是估计样本的期末值。要开始递归，我们需要 和 的初值。EView使用原来观测值的均值来开始递归。Bowermen和OConnell（1979）建议 值在0.01到0.03之间较好。你也可以让EViews估计使一步预测误差平方和最小的 值。2
4、2、双指数平滑（一个参数）、双指数平滑（一个参数）、双指数平滑（一个参数）、双指数平滑（一个参数）这种方法是将单指数平滑进行两次（使用相同的参数）。适用于有线性趋势的序列。序列y的双指数平滑以递归形式定义为 S是单指数平滑后的序列，D是双指数平滑序列。注意双指数平滑是阻尼因子为 的单指数平滑方法。双指数平滑的预测如下最后一个表达式表明双指数平滑的预测有线性趋势，截距为 ，斜率为 3 3、Holt-WintersHolt-Winters无季节趋势（两个参数）无季节趋势（两个参数）无季节趋势（两个参数）无季节趋势（两个参数）这种方法适用于具有线性时间趋势无季节变差的情形。这种方法与双指数平滑法一样
5、以线性趋势无季节成分进行预测。双指数平滑法只用了一个参数，这种方法用两个参数。平滑后的序列 由下式给出 a表示截距；b表示趋势。这两个参数由如下递归式定义 在0-1之间，为阻尼因子。这是一种有两个参数的指数平滑法。预测值计算如下 这些预测值具有线性趋势，截距为 ，斜率为 。4 4、Holt-WinterHolt-Winter加法模型（三个参数）加法模型（三个参数）加法模型（三个参数）加法模型（三个参数）该方法适用于具有线性时间趋势和加法模型的季节变差。平滑后的序列 由下式给出其中：a表示截距：b表示趋势：为加法模型的季节因子：在0-1之间，为阻尼因子。在Cycle for Season中指定s
6、为季节频率，预测值由下式计算季节因子用最后期的s估计。5 5、Holt-wintersHolt-winters乘法模型（三个参数）乘法模型（三个参数）乘法模型（三个参数）乘法模型（三个参数）这种方法适用于序列具有线性时间趋势以及乘法模型的季节变差。的平滑序列 由下式给出其中：a(t)表示截距 b(t)表示趋势 为乘法模型的季节因子 在0-1之间，为阻尼因子。在Cycle for Season中指定s为季节频率,如月度数据s为12，预测值由下式计算季节因子用最后期的s估计。8.2 指数平滑法的指数平滑法的Eviews Eviews 操作操作 指数平滑是可调整预测的简单方法。当只有少数观测值时这种
7、方法是有效的。与使用固定系数的回归预测模型不同，指数平滑法的预测用过去的预测误差进行调整。下面，我们对 EViews中的指数平滑法作简要讨论。在打开数据文件后，要用指数平滑法预测，在主命令菜单或者序列窗口选择Procs/Exponential Smoothing 显示如下对话框 1 1 1 1平滑方法平滑方法平滑方法平滑方法 在5种方法中选择一种方法。2 2 2 2平平平平滑滑滑滑参参参参数数数数 既可以指定平滑参数也可以让EViews估计它们的值。要估计参数，在填充区内输入字母e，EViews估计使误差平方和最小的参数值。如果估计参数值趋于1，这表明序列趋于随机游走，最近的值对估计将来值最有
8、用。要指定参数值，在填充区内输入参数值，所有参数值在0-1之间，如果你输入的参数值超出这一区间，EViews将会估计这个参数。3 3 3 3平平平平滑滑滑滑后后后后的的的的序序序序列列列列名名名名 可以为平滑后的序列指定一个名字，EViews在原序列后加SM指定平滑后的序列名，你也加以可以改变。4 4 4 4估估估估计计计计样样样样本本本本 必须指定预测的样本区间（不管你是否选择估计参数）。缺省值是当前工作文件的样本区间。EViews将从样本区间末尾开始计算预测值。5 5 5 5季季季季节节节节循循循循环环环环 可以改变每年的季节数（缺省值为每年12个月、4个季度）。这个选项允许预测不规则间距
9、的数据，在空白处输入循环数。8.3 指数平滑举例指数平滑举例l我们利用指数平滑方法分别来考虑两组数据：l 1、汇率数据 l 2、用电量数据8.4 趋势分解趋势分解 在宏观经济学中人们非常关注长期趋势和循环周期。因此提取趋势要素和循环要素非常有用。常用的方法有回归分析法、移动平均发、阶段平均法、H-P滤波法。我们这里主要介绍H-P滤波法。这种方法是在Hodrick和Prescott 分析战后美国商业循环的论文中第一次使用。设经济时间序列为Y=，趋势要素为T=，n为样本长度。一般地，时间序列 中的不可观测部分趋势 常被定义为下面最小化问题的解：其中，正实数 表示在分解中长期趋势和周期波动占的权数，
10、是延迟算子多项式 将（2）代入（1）式，则HP滤波的问题就是使下面损失函数最小，即(1)(2)最小化问题用 来调整趋势的变化，并随着 的增大而增大。这里存在一个权衡问题，要在趋势要素对实际序列的跟踪程度和趋势光滑度之间作一个选择。=0时，满足最小化问题的趋势等于序列 ；增加时，估计趋势中的变化总数相对于序列中的变化减少，即 越大，估计趋势越光滑；趋于无穷大时，估计趋势将接近线性函数。一般经验地，的取值如下：HP滤波的运用比较灵活，它不象阶段平均法那样依赖于经济周期峰和谷的确定。它把经济周期看成宏观经济波动对某些缓慢变动路径的偏离，这种路径在期间内单调地增长，所以称之为趋势。HP滤波增大了经济周期的频率，使周期波动减弱。要使用Hodrick-Prescott滤波来平滑序列，选择Procs/Hodrick Prescott Filter出现下面的HP滤波对话框：首先对平滑后的序列给一个名字，EViews将默认一个名字，也可填入一个新的名字。然后给定平滑参数的值，年度数据取100，季度和月度数据分别取1600和14400。不允许填入非整数的数据。点击OK后，EViews与原序列一起显示处理后的序列。注意只有包括在当前工作文件样本区间内的数据才被处理，平滑后序列区间外的数据都为NA。