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1、一、内容提要一、内容提要1.理解罗尔理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日定理和拉格朗日(Lagrange)2.了解柯西了解柯西(Cauchy)定理和泰勒定理和泰勒(Tayloy)定理定理.3.理解函数的极值概念理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数掌握用导数判断函数定理定理.的单调性和求极值的方法的单调性和求极值的方法.2 5.会用洛必达会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限法则求不定式的极限.6.了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径曲率半径.4.会用导数判断函数图形的凹凸性会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点会求拐点,会求解最大
2、值和最小值的应用问题会求解最大值和最小值的应用问题.会描绘函数的图形会描绘函数的图形(包括水平包括水平,铅直和斜渐近线铅直和斜渐近线).3洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用常用的的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形的描绘图形的描绘;曲率曲率;求根方法求根方法.导数的应用导数的应用一、内容提要一、内容提要41 1.微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理罗尔定理 拉格朗日中值定理拉格朗日中值
3、定理 柯西中值定理柯西中值定理 泰勒中值定理泰勒中值定理 )()()(000 xxxfxfxf-+=abafbff-=)()()(x x0=n52.微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态研究函数或导数的性态(3)证明恒等式或不等式证明恒等式或不等式(4)证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论(2)证明方程根的存在性证明方程根的存在性6利用利用一般解题方法一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存在,若结论中涉及到含中值的两个不同函数若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用可考虑用若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数
4、,若结论中含两个或两个以上的中值若结论中含两个或两个以上的中值,3 3.有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法(1)可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数.(2)柯西中值定理柯西中值定理.中值定理中值定理.(3)(4)有时也可考虑有时也可考虑多考虑用多考虑用泰勒公式泰勒公式,逆向思维逆向思维逆向思维逆向思维,设设辅助函数辅助函数.多用多用罗尔定理罗尔定理,必须必须多次应用多次应用对导数用中值定理对导数用中值定理.(5)若结论为不等式若结论为不等式,要注意适当要注意适当放大放大或或缩小缩小的技巧的技巧.7(1)研究函数的性态研究函数的性态:增减增减,极值极值,凹凸凹凸,拐点拐点,渐近
5、线渐近线,曲率曲率(2)解决最值问题解决最值问题 目标函数的建立目标函数的建立 最值的判别问题最值的判别问题(3)其他应用其他应用:求不定式极限求不定式极限;几何应用几何应用;相关变化率相关变化率;证明不等式证明不等式;研究方程实根等研究方程实根等.4.4.导数应用导数应用8二、典型例题二、典型例题例例 证明方程证明方程在在(0,1)内至少有一实根内至少有一实根分析分析 如令如令则则的的符号不易判别符号不易判别不便使用介值定理不便使用介值定理用用 Rolle 定理来证定理来证证证 令令则则且且故由故由Rolle 定理知定理知即即在在(0,1)内有一实根内有一实根9且满足罗尔定理其它条件且满足罗
6、尔定理其它条件,练习练习证：证：10例例 提示：提示：满足满足Rolle 定理的条件定理的条件P181 题题711在在内可导内可导,且且证明至少存在一点证明至少存在一点使使上连续上连续,在在问题转化为证问题转化为证设辅助函数设辅助函数用用RolleRolle定理定理,使使即有即有例例证证分析分析0)(2)(=+x xx xx xff0)()(2)(2=+=x xx xx xx xx xffF12例例分析分析构造辅助函数构造辅助函数F(x),则则问题转化为问题转化为的的零点存在问题零点存在问题.证证 设设设设 Rolle定理定理使得使得因此必定有因此必定有13例例.设函数设函数 f(x)在在0,
7、3 上连续上连续,在在(0,3)内可导内可导,且且 分析分析:所给条件可写为所给条件可写为试证必存在试证必存在 想到找一点想到找一点 c,使使证证:因因 f(x)在在0,3上连续上连续,所以在所以在0,2上连续上连续,且在且在0,2上有最大值上有最大值 M 与最小值与最小值 m,故故由由介值定理介值定理,至少存在一点至少存在一点 由由罗尔定理罗尔定理知知,必存在必存在 14例例解解极限不等于零的因子15运用取对数法.例例解解1617运用取对数法.例例解解P137题题418这是数列的极限罗必达例例解解思考：此题如何用重要极限的方法求解？思考：此题如何用重要极限的方法求解？19例例P181题题10
8、（4）20思考：此题如何用重要极限的方法来求解？思考：此题如何用重要极限的方法来求解？21例例解法解法1罗比达法则罗比达法则1)51(2lim540-+=-xxx原式原式590)51(42lim-+-=xx.21-=22例例 解法解法2泰勒展开式泰勒展开式23例例证证 法一法一 用用单调性单调性设设即即由由证明不等式证明不等式24可知可知,即即法二法二 用用Lagrange定理定理设设Lagrange定理定理由由得得即即25例例 证明不等式证明不等式 证证P152题题9（3）26例例.求数列求数列的最大项的最大项.证证:设设用对数求导法得用对数求导法得令令得得因为因为在在只有唯一的极大点只有唯
9、一的极大点因此在因此在处处也取最大值也取最大值.又因又因中的最大项中的最大项.极大值极大值列表判别列表判别:P181题题1427例例问问方程方程有有几个实根几个实根解解同时也是最大值同时也是最大值分分三种情况讨论三种情况讨论P151题题528由于由于方程有两个实根，分别位于方程有两个实根，分别位于方程仅有一个实根，即方程仅有一个实根，即方程无实根方程无实根2930?!30五、五、设设 f(x)在在 0,1上上连续连续，在，在(0,1)内内导导，且，且f(1)=0,试证试证：至少在一点：至少在一点 ，使得使得3132附：附：证证不妨设不妨设由由Lagrange定理，有定理，有33得得注注此题还可利用泰勒公式来做此题还可利用泰勒公式来做34