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1、第三章：微分中值定理及导数的应用1要紧内容：1罗尔Rolle定理、拉格朗日Lagrange中值定理2洛必达LHospital法那么3函数的极值不雅观念，用导数揣摸函数的枯燥性跟求极值，函数最大年夜值跟最小值的求法及复杂应用4用导数揣摸函数图形的凹凸性，函数图形的拐点以及程度、铅直跟歪渐近线留意：函数作图不做要，求歪渐近线不做央求但铅直与程度渐近线做央求。2重点：中值命题的证实，不决式的极限，枯燥性、凹凸性的断定，极值最值的求法，复杂经济咨询题3模模范题与习题11-1T1-10，12，13，15-1721-2T631-3例题3-9习题1-441-4例题4-7习题1-451-5例题2-8习题1-4
2、61-6例题3-9习题1-671-7例题1-7习题1-781-8例题1-7习题2-59综合训练一：1-64榜样办法1证实中值命题的办法：证实中值命题时，平日要结构出一个辅佐函数，而后，对该辅佐函数用中值定理辅佐函数普通有如下三种结构办法：寻原函数法：先将欲证等式中的两头值换成，把欲证后果转化为某个方程根的存在性；而后将此方程对于积分，得原函数，为轻巧记，取积分常数为零；最初将积分后果移项，使一端为0，另一端即为欲作辅佐函数指数因子法：此法有效于可化为形如的中值命题，取积分因子，便得原函数，这确实是所要作的辅佐函数值得留意的是：跟的选摘要紧，存在较大年夜的灵敏性，总之，应使满意Rolle定理例1
3、设在上延续，在上可导且证实：，使得【证】由积分中值定理得，存在，使得作辅佐函数，那么有，对在区间上用Rolle中值定理即可。2探讨方程的根的存在性与个数方程实数根的存在性，可用延续函数的介值定理跟Rolle定理探讨；证实方程最多只要一个实数根，就应当应用函数的严格枯燥性探讨例2设在上可微，且，证实方程在内至多有且仅有一个根【证】存在性：令，那么函数在区间上满意零点存在定理的前提，故存在，使得，即；独一性：用反证法，假定另有，使得，无妨设，函数在区间上满意Rolle中值定理的前提，故存在，使得，即。与题设抵触！因而，方程在内至多有且仅有一个根。例3设实数满意关联式：证实：在内至多有一个实根【证】
4、对函数在上应用Rolle中值定理3求破体曲线的切线与法线方程例4证实曲线弧：上任一点的切线夹在两坐标轴之间的长度恒为常数【证】设曲直线弧上任一点，在该点处的切线的歪率为切线方程为，切线在轴跟轴上的截距分不为，因而，切线夹在两坐标轴之间的长度为例5在曲线簇当拔取一条曲线，使之跟其在两点处的法线所围成图形的面积比不的曲线以异样办法所围成图形的面积都小谜底4探讨函数的枯燥性证实函数在开区间内枯燥递增或递加的办法：或，在开区间内枯燥递增或递加证实函数在闭区间内枯燥递增或递加的办法：先证实函数在闭区间内延续，再揣摸导数在开区间内的标记。以下多少多个例子等学完积分学再回忆看。例6设在上延续且递增，又设，试
5、求，并证实在内枯燥递增【解】1；故在上延续。2，因而，在内枯燥递增例7设在上延续，又设，试证实：1假定是偶函数，那么也是；2假定是枯燥递增的，那么也枯燥递加【证】1作变量代换即也是偶函数。2即也枯燥递加5探讨函数的极值与最值要紧把持极值跟最值的不雅观念，极值的需要前提跟第一、第二充沛前提以及驻点、弗成导点、极值点之间，拐点、二阶导数为零的点、弗成导点之间的关联1求函数极值的步调求界说域；求驻点及弗成导点；断定驻点能否为极值点用第一、第二或实行的第二充沛前提；断定弗成导点能否为极值点用第一充沛前提21求闭区间上延续函数的最值的步调a 求函数的一阶导数；b 求函数在所给区间外部的驻点及弗成导点；c
6、 求函数在端点、驻点及弗成导点处的函数值，并比拟各值的巨细，此中最大年夜者为最大年夜值，最小者为最小值2求开区间上延续函数的最值的步调a.b.同1c求函数在区间左、右端点的右、左极限跟函数在驻点及弗成导点处的函数值，并比拟各值的巨细，假定此中最大年夜者在驻点及弗成导点处的函数值取得，那么函数有最大年夜值，否那么不最大年夜值；最小值状况相似3求依照应用咨询题树破的函数关联的最值的步调a 树破函数关联；b 求驻点；c 断定驻点能否为最值点用独一极值点法或实际咨询题法：独一极值点法：假定在区间有限或有限、开或闭内可导，且有独一的极值点，那么它必为最值点实际咨询题法：假定在所探讨的咨询题的无效范畴外部
7、有独一的驻点，且经过对咨询题的剖析，其最值在区间外部取得，那么此独一的驻点处的函数值必为所求的最大年夜小值3导数在经济上的应用1弹性假定可导，且，那么的弹性为假定为破费量或贩卖量，为价钞票，称函数为需要函数，其反函数称为价钞票函数。需要函数的弹性称为需要弹性，适应上用来表现。2边沿函数边沿本钞票本钞票函数的导数；边沿收益收益函数的导数；边沿利润利润函数的导数。例8已经清楚某企业的总收益函数为，总本钞票函数为，此中表现产物的产量。求利润函数、边沿支出函数、边沿本钞票函数，以及企业取得最大年夜利润时的产量跟最大年夜利润。【解】利润函数：；边沿支出函数：；边沿本钞票函数：令，得独一驻点，依照咨询题的实际意思知，企业取得最大年夜利润时的产量为，如今最大年夜利润为