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1、2.3 2.3 函数模型函数模型例例1.1.某工厂生产某工厂生产A A，B B两种产品，分别需要原材料每件两种产品，分别需要原材料每件2 2千克，千克，3 3千克。千克。消耗能源每件消耗能源每件1 1百元，百元，6 6百元。劳动力每件需要百元。劳动力每件需要4 4个人工，个人工，2 2个人工，个人工，获利每件获利每件5 5千元，千元，6 6千元。库存原材料有千元。库存原材料有17501750千克，能源消耗总额不千克，能源消耗总额不超过超过24052405百元，全厂工人百元，全厂工人25002500人。试问怎样安排生产任务，可获得人。试问怎样安排生产任务，可获得最大利润？并求出最大利润？最大利润
2、？并求出最大利润？分析：这是一道线性规划的建模题，可用图象解法或几何解法。解：设安排生产解：设安排生产A A种产品种产品件，件，B B种产品种产品件，获利为件，获利为S S千克，千克，根据题意得根据题意得显然满足以上条件的点显然满足以上条件的点在在,这五条直线组成的凸五边形内这五条直线组成的凸五边形内,化为化为，见图见图2-1阴影部分，而阴影部分，而其几何意义是一族斜率为其几何意义是一族斜率为-5/6-5/6的平行直线。过阴影区域的直线的平行直线。过阴影区域的直线轴上有最大的截距。轴上有最大的截距。与与的交点时的交点时S S取得最大值。取得最大值。何时在何时在显然过直线显然过直线由由 解得解得
3、 此时此时，即当生产即当生产种产品种产品500500件，件，种产品种产品250250件时，可获得最大利润，件时，可获得最大利润，回顾：几何法求最值问题就是将约束条件转化为约束闭回顾：几何法求最值问题就是将约束条件转化为约束闭区域，再认清目标函数的几何意义，根据实际情况求其区域，再认清目标函数的几何意义，根据实际情况求其最值。最值。最大利润为最大利润为4000千元。千元。例例2 2 、两地分别生产同一规格产品两地分别生产同一规格产品1212千吨，千吨，8 8千吨，而千吨，而、三地分别需要三地分别需要8 8千吨，千吨，6 6千吨，千吨，6 6千吨，每千吨运费如下表。千吨，每千吨运费如下表。怎样确定
4、调运方案，可使运费最少？怎样确定调运方案，可使运费最少？表2-1 单位产品运费表DEFAxy12-x-y1212B8-x6-yx+y-6x+y-68 886620分析：这是一道求运费最小值的优化问题，仍是线性规划问题，用分析：这是一道求运费最小值的优化问题，仍是线性规划问题，用几何法解之。几何法解之。设从设从运到运到为为千吨，从千吨，从A A运到运到D D为为千吨，根据题意如下表：千吨，根据题意如下表：表表2-2 单位产品运费函数表单位产品运费函数表万元万元到到D到到E到到F从从A4 45 56 6从从B5 52 24 4约束条件为：约束条件为：图2-2线性示意图目标函数目标函数 整理得整理得
5、 作出作出,四条直四条直线围线围成凸五成凸五边边形，形，见图见图2-2阴影部分，目阴影部分，目标标函数化函数化为为其几何解其几何解释为释为与与约约束束闭闭区域相交的斜率区域相交的斜率为为3的一族平行的一族平行线线中，取在中，取在y轴轴有最小截距者，另外由常有最小截距者，另外由常识识知，一定在凸五知，一定在凸五边边形的形的 顶顶点点处处取得最取得最值，由此列出表值，由此列出表2-3。显然在（。显然在（8，0）点取得最小值）点取得最小值f为为76.其实际意其实际意义是从义是从A运到运到F4千吨，从千吨，从B运到运到E6千吨，从千吨，从B运到运到F2千吨，总运费千吨，总运费最省，运费为最省，运费为7
6、6万元。万元。表表2-3 运费示意图运费示意图xyf0 06 68 86 68 86 66 64 40 00 01061068888808082827676例例3 某商场在促销期间规定，商场内所有商品按标价某商场在促销期间规定，商场内所有商品按标价80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后获得相应的出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后获得相应的金额奖券。金额奖券。表表2-4 促销方法促销方法消费金额范围消费金额范围（元）（元）200200，400400）400400，500500）500500，700700）700700，900900）获得奖券金额获得奖券金额（元）（元）30306
7、060100100130130 根据上述促销方法，顾客在商场购物可获得双重优惠。例如购买根据上述促销方法，顾客在商场购物可获得双重优惠。例如购买标价为标价为400400元的商品，则消费金额为元的商品，则消费金额为320320元，获得的优惠额为元，获得的优惠额为购买商品的优惠率为购买商品的优惠率为 优惠率优惠率=购买商品获得的优惠额购买商品获得的优惠额/商品标价商品标价试求：试求：购买一件标价为购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠率是多元的商品，顾客获得的优惠率是多少？少？对标价在对标价在500，800之内的商品，顾客购买标价为多少元的商之内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不
8、小于品，可得到不小于1/3的优惠率？的优惠率？分析：这是商品的打折销售问题，为了准确计算必须对优惠率有清分析：这是商品的打折销售问题，为了准确计算必须对优惠率有清楚的了解。楚的了解。解：解：根据题意得消费金额为根据题意得消费金额为的奖券为的奖券为130130元，因此，得优惠率为元，因此，得优惠率为元，这时获得元，这时获得 设商品标价为设商品标价为元，则元，则.消费金额为消费金额为，即，即 由已知得：由已知得：当当时时,此时无解；此时无解；当当时，时，得得，因此当顾客购买标价在因此当顾客购买标价在625，750元内的商品时可得到不小于元内的商品时可得到不小于1/3的的优惠率。优惠率。回顾：实际上
9、本题中的优惠率为分段函数，即优惠率回顾：实际上本题中的优惠率为分段函数，即优惠率y y与标价与标价x x的的函数关系式为函数关系式为 因此要分段进行计算，同时对打折销售的商品要保持数学的头脑，因此要分段进行计算，同时对打折销售的商品要保持数学的头脑，防止上当受骗。防止上当受骗。例例5 某新建商场设有百货部，服装部和家电部三个营销部，共有某新建商场设有百货部，服装部和家电部三个营销部，共有190名售货员，计划全商场日营业额为名售货员，计划全商场日营业额为60万元。根据调查各部商品每一万元。根据调查各部商品每一万元营业额所需售货员人数如表万元营业额所需售货员人数如表2-5，每一万元营业额获得利润如
10、表，每一万元营业额获得利润如表2-6，商场计划将日营业额分配给三个营业部，同时适当安排各部的，商场计划将日营业额分配给三个营业部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为营业员人数，若商场预计每日的总利润为 S(万元万元)，且满足，且满足19S20,又已知商场分配给经营部的日营业额为正整数万元。又已知商场分配给经营部的日营业额为正整数万元。问这个商场怎问这个商场怎样分配日营业额给三个营业部？各部分别安排多少名售货员？样分配日营业额给三个营业部？各部分别安排多少名售货员？表表2-5各部每万元营业额所需人数各部每万元营业额所需人数部门部门百货百货部部服装服装部部家电家电部部人数人数5
11、 5 4 4 2 2 表表2-6各部每万元营业额所得利润各部每万元营业额所得利润部门部门百货百货部部服装服装部部家电家电部部利润利润0.3 0.3 0.50.5 0.20.2解：解：设设商商场场分配分配给给百百货货，服装，家，服装，家电电部部营业额营业额分分别别正整数）则正整数）则，解得解得 又又 即即 解得解得 即即 或或 例例10 旅客在候车室等候检票，并且排队的旅客按一定的速度旅客在候车室等候检票，并且排队的旅客按一定的速度在增加，设检票的速度一定，若车站开放一个检票口，需要在增加，设检票的速度一定，若车站开放一个检票口，需要半小时方可将旅客全部检票进站，若同时开两个检票口，只半小时方可
12、将旅客全部检票进站，若同时开两个检票口，只需需10分钟便可将旅客全部检票进站，现在有一辆增开列车，分钟便可将旅客全部检票进站，现在有一辆增开列车，到站必须到站必须5分钟内将旅客全部检票进站，问此时车站至少应同分钟内将旅客全部检票进站，问此时车站至少应同时开几个检票口？时开几个检票口？解：设开始检票时，等候检票为解：设开始检票时，等候检票为人，排队每分钟增加人，排队每分钟增加人，每个检票口每分钟检票人，每个检票口每分钟检票人，又设人，又设5 5分钟内检完票，分钟内检完票，个检票口个检票口,则有则有至少需要开设至少需要开设由（由（1 1），（），（2 2）可得）可得 ,代入（代入（3 3）,得得
13、，且，且 即要使即要使5分钟内检完票使旅客全部上车，至少需同时开分钟内检完票使旅客全部上车，至少需同时开放放4个检票口。个检票口。例例20 一船由甲地逆水匀速行驶到乙地，甲乙两地相距一船由甲地逆水匀速行驶到乙地，甲乙两地相距（千米）（千米）,（千米（千米/时），船在静水中的最大速度为时），船在静水中的最大速度为(千米千米/时时),已知船每小时的燃料费用（以元为单位）与船在水中已知船每小时的燃料费用（以元为单位）与船在水中（千米（千米/小时）的平方成正比，比例系数为小时）的平方成正比，比例系数为。水速为常量水速为常量的速度的速度(1)把全程燃料费用把全程燃料费用（元）表示为船在静水中的速度（元）
14、表示为船在静水中的速度（千米（千米/小时）小时）定义域；定义域；(2)为了使全程燃料费用最少，船的实际前进速度应为多少？为了使全程燃料费用最少，船的实际前进速度应为多少？的函数，并指出这个函数的的函数，并指出这个函数的分析：这是一个实际船速及费用问题，题目中涉及的数量关系较多，分析：这是一个实际船速及费用问题，题目中涉及的数量关系较多，应在认真审题的基础上弄清它们之间的关系而后建立应在认真审题的基础上弄清它们之间的关系而后建立“函数模型函数模型”求解，特别要注意：水速求解，特别要注意：水速，船在静水中的最大速度，船在静水中的最大速度为常量，为常量，船在实际前进时的速度，船在实际前进时的速度为变
15、量。为变量。而船在静水中的速度而船在静水中的速度解：解：（1）依题意知，船由甲地均匀行驶到乙地所用的时间为）依题意知，船由甲地均匀行驶到乙地所用的时间为，用此全程燃料费用为，用此全程燃料费用为（其中（其中k为常数）为常数）所求函数为所求函数为 ，(2)设船的实际前进速度设船的实际前进速度，则由，则由知，知，由题意可知由题意可知都是正数，由均值不等式得都是正数，由均值不等式得当且仅当当且仅当即即时取等号。时取等号。若若，即当即当时，全程燃料费用时，全程燃料费用最少。最少。若若，即，即时，设时，设先证明当先证明当时，时，是减函数是减函数。设设，则，且，且，故故在区间在区间上是减函数，上是减函数，当
16、当时有时有，当且仅当，当且仅当时取等号，时取等号，即当即当时全程燃料费用最少。时全程燃料费用最少。综上所述，为使全程燃料费用最少，当综上所述，为使全程燃料费用最少，当时，船的实际前进时，船的实际前进（千米（千米/小时）；当小时）；当时，船的实际前进速度应为时，船的实际前进速度应为（千米（千米/小时）。小时）。速度为速度为回顾：本题建模要求并不高，但对数学知识要求较高，在解答第回顾：本题建模要求并不高，但对数学知识要求较高，在解答第（2）问的过程中，首先使用换元法，使函数解析式简化，这是解）问的过程中，首先使用换元法，使函数解析式简化，这是解决有关分式函数问题时常用的方法，在求函数的最值时，必须考虑决有关分式函数问题时常用的方法，在求函数的最值时，必须考虑最值能否取到，即最值是否在定义域内，正因为如此，引起了本题最值能否取到，即最值是否在定义域内，正因为如此，引起了本题的讨论，这种方法又是分类讨论思想的体现。的讨论，这种方法又是分类讨论思想的体现。