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1、第一节五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质 六、一致连续性六、一致连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性 第三章 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质 在本节中将研究在本节中将研究 f 在在 a,b 上的整体性质，一些证明将在下节里给出上的整体性质，一些证明将在下节里给出.均有均有使得对一切使得对一切存在存在,0DxDx 定义定义若若点点,注意注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.1.最值定理最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大点,
2、机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性质有着根本的区别质有着根本的区别.推论推论.由定理 1 可知有证证:设上有界.二、介值定理二、介值定理定理定理2.(零点定理)至少有一点且使机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.习题课 目录 上页 下页 返回 结束 下面用确界定理来证明上述定理下面用确界定理来证明上述定理2。(E为图中为图中x 轴上的红轴上的红 证证 不妨设不妨设 并设并设零点零点.
3、证明如下：证明如下：的最大值就是函数的的最大值就是函数的线部分线部分)从几何上看从几何上看,E习题课 目录 上页 下页 返回 结束 因为因为所以所以又又 E 是有界的是有界的,故由确故由确我们来否定下面两种情形我们来否定下面两种情形:1.由由 f(x)在点在点 是是连续的连续的,根据保号性根据保号性,存在存在界定理界定理,存在，显然存在，显然习题课 目录 上页 下页 返回 结束 2.同样根据保号性同样根据保号性,同时由同时由 x0=sup E,对上述对上述d d,存在存在 排除了上面两种情形后排除了上面两种情形后,就推得就推得定理定理3.(介值定理)设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C,一
4、点证证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论推论:使至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.证明方程一个根.证证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则习题课 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2求证求证:证证即即六六.一致连续性一致连续性已知函数在区间 I 上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念.定义定义:对任意的都有在在 I 上一致连续上一致连续.显然:机动 目录 上页
5、 下页 返回 结束 小结 目录 上页 下页 返回 结束 首先来看两个例题首先来看两个例题.例例3 3 证证习题课 目录 上页 下页 返回 结束 证证 首先我们说明首先我们说明例例4 4 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 f(x)在区在区间间I上不一致连续的定义：上不一致连续的定义：但仍有但仍有确实不是一致确实不是一致连续的连续的.总有总有习题课 目录 上页 下页 返回 结束 试问试问,函数函数 在区间在区间I上一致连续与上一致连续与 在区在区间间I上连续的区别究竟在哪里？上连续的区别究竟在哪里？习题课 目录 上页 下页 返回 结束 仅与仅与有关有关.对于任意正数对于任意正数 ,所得所得答答
6、:(1)首先首先,对于对于如果如果 在区间在区间 I上连续，上连续，那么那么,不仅与不仅与 有关有关,而且还与所讨论的点而且还与所讨论的点而而 在区间在区间I上一致上一致连续连续.那么那么在例在例3中中显然显然关关.习题课 目录 上页 下页 返回 结束 过程中有一个正下界过程中有一个正下界(当然当然(2)函数函数 f(x)在每一点在每一点 连续连续,区间区间I上就一致连续了上就一致连续了.这个下界只与这个下界只与 有关有关,而与而与x0无关无关),则此时则此时 f(x)在在定理定理.上一致连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 下述定理是连续函数在闭区间上的又一整体性质下述定理是连续函数在闭
7、区间上的又一整体性质.这个定理告诉我们这个定理告诉我们:定义在闭区间上的函数定义在闭区间上的函数,连连续和一致连续是等价的续和一致连续是等价的.习题课 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 设设上上连续连续,并且并且证明证明上上一致连续一致连续.证证 因为因为,所以对任意的正数所以对任意的正数存在存在又又上上连续连续,故由定理可知故由定理可知 f(x)上上一致连续一致连续.因此对上述因此对上述，存在正数存在正数使对使对任意任意习题课 目录 上页 下页 返回 结束 只要只要,必必有有现对现对任何任何讨论如下讨论如下.情形情形2.注意到注意到所以若情形所以若情形1 不成立不成立,必然有必然有于是于是内容小结内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:机动 目录 上页 下页 返回 结束 则证明至少存在使提示提示:令则易证2.设一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 至少有一个不超过 4 的 证证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.机动 目录 上页 下页 返回 结束