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1、目录 上页 下页 返回 结束 一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第九节二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如例如,定理定理2 2 严格单调严格单调的连续函数必有严格单调的连的连续函数必有严格单调的连续反函数。续反函数。例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.目录 上页 下页 返回
2、结束 在上连续其反函数在上也连续单调递增.又又如如,单调 递增,目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3 3意义意义1.1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1解解求解解:原式目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求求解解:原式说明说明:若则有目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4 4例如例如,目录 上页 下页 返回 结束 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.目录 上页 下页 返回 结束 基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连
3、续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设解解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点 x=1 不连续,目录 上页 下页 返回 结束 三、三、如何找间断点？如何找间断点？（1 1）初等函数：求定义域）初等函数：求定义域,各子区间的边界点各子区间的边界点 （2 2）分段函数：讨论分段点）分段函数：讨论分段点(1 1)(x)在在x0 是否处有定义？是否处有定义？逐步研究：逐步研究：注意：注意：1 1、初等函数在其定义区间内连续；、初等函数在其定义区间
4、内连续；2 2、分段函数在其定义域内不一定连续。、分段函数在其定义域内不一定连续。目录 上页 下页 返回 结束 是可去间断点是可去间断点是无穷远间断点是无穷远间断点是可去间断点是可去间断点目录 上页 下页 返回 结束 一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 闭区间上连续函数的性质 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大点,目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如,目录 上页 下
5、页 返回 结束 二、介值定理二、介值定理由定理 1 可知有证证:设上有界.定理定理2.(零点定理)至少有一点且使推论推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.(介值定理)设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点证证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论推论:在闭区间上的连续函数使至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值.目录 上页 下页 返回 结束 例例1.证明方程一个根.证证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有则则内容小结 目录 上页
6、下页 返回 结束 例例2 2证证由零点定理由零点定理,目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算结果仍连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续 初等函数在定义区间内连续说明说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在目录 上页 下页 返回 结束 证明至少存在使提示提示:令则易证1.设一点习题课 思考与练习思考与练习目录 上页 下页 返回 结束 2、至少有一个不超过 4 的 证证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.