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1、定理定理1 设设 在闭区间在闭区间 上连续，则上连续，则 在在上存在最大值和最小值，即上存在最大值和最小值，即 使得使得 1 1 1 1、最大值和最小值定理、最大值和最小值定理、最大值和最小值定理、最大值和最小值定理2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质设f(x)在闭区间a,b上连续，则(i)f(x)在a,b上为单调函数时 aObxyaObxyOab xyOabxy2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质此时，函数 f(x)恰好在 a,b的端点a和b取到最大值和最小值.y=f(x)a,b,则y=f(x)a,b,则2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质(i
2、i)y=f(x)为一般的连续函数时，如图中所示，xya a1a2a3a4a5a6bma1mama2ma3ma4ma5ma6mby=f(x)2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质定理定理2 设设 在闭区间在闭区间 上连续，则上连续，则 在在 上有界上有界.函数函数 在在 上无上界上无上界：2 2、有界性定理、有界性定理2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质 f(x)在 a,b上
3、可取到它的最大值M和最小值m，证：证：f(x)在闭区间a,b上连续故 m f(x)M xa,b|f(x)|M*xa,b令 M*=max|m|,|M|,则即 f(x)在a,b上有界.2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质3 3、零点存在性定理零点存在性定理零点存在性定理零点存在性定理 定理3：设 f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则至少存在一点(a,b)，使得 f()0.axyy=f(x)f(a)bf(b)O几何解释几何解释:2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质4 4、介值、介值、介值、介值 定理定理定理定理定理4：设 f(x)在闭区间a,b上连续
4、，f(a)A,f(b)B,且AB,则对于A，B之间的任意一个数C，至少存在一点(a,b)，使得 f()=C定理4：设 f(x)在闭区间a,b上连续，则存在最大值最大值M和最小值m，对于M和最m之间的任意一个数C，至少存在一点(a,b)，使得 f()=C2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质证证：令 (x)=f(x)C 故,由根存在定理，至少存在一点(a,b)使则 (x)C(a,b).C在A，B之间 (a)(b)=(f(a)C)(f(b)C)(AC)(BC)0 (x)=0，即 f(x)=C.yBCAOabx推论推论推论推论：设 f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)取得介于其在a
5、,b 上的最大值M和最小值m之间的任何值就是说，mCM,则必存在a,b,使得f()=C.例例1：设 f(x)在闭区间a,b上连续，a x1 x2 xn b,证明:至少存在一点x1,xn，使得2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质证：证：f(x)在闭区间a,b上连续.有从而由介值定理，至少存在一点x1,xn，使综上所述，命题获证.mf(xi)M.2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质例例2:证明方程x53x=1,在x=1与x=2之间至少有一根.证：证：令 f(x)=x53x1，x1,2则 f(x)在闭区间1,2上连续又 f(1)=3，f(2)=25，即 f(1)f(2
6、)0即 方程在x=1与 x=2之间至少有一根.故 至少存在一个(1,2)，使得 f()=0,2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质例例3 3证证由零点定理由零点定理,2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质而 f(0)=0a sin0b=b 0,b 0)至少有一个不超过a+b的正根.证：证：问题归结为在0,a+b上求方程的根的问题.2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质1)如果 f(a+b)0，则=a+b 就是方程的根.综上所述，方程在0,a+b上至少有一个根,即至少有一个不超过a+b的正根.2)如果 f(a+b)0,则f(0)f(a+b)0，由根存在定理,至少存在一个(0,a+b)，使得 f()=0.2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质例5证明讨论:2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质由零点定理知,综上,2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质2.6 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质左右连续在区间a,b上连续连续函数的 性 质初等函数的连续性间断点定义连 续 定 义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点第一类 第二类总结总结