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1、会计学1闭区间上连续函数的性质的教学非常好闭区间上连续函数的性质的教学非常好第一页，编辑于星期日：二十二点 四十分。设f(x)在闭区间a,b上连续，则(i)f(x)在a,b上为单调函数时 aObxyaObxyOab xyOabxy2.62.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第1页/共20页第二页，编辑于星期日：二十二点 四十分。此时，函数 f(x)恰好在 a,b的端点a和b取到最大值和最小值.y=f(x)a,b,则y=f(x)a,b,则2.62.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第2页/共20页第三页，编辑于星期日：二十二
2、点 四十分。(ii)y=f(x)为一般的连续函数时，如图中所示，xya a1a2a3a4a5a6bma1mama2ma3ma4ma5ma6mby=f(x)2.62.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第3页/共20页第四页，编辑于星期日：二十二点 四十分。注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.2.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第4页/共20页第五页，编辑于星期日：二十二点 四十分。定理定理2 设设 在闭区间在闭区间 上
3、连续，则上连续，则 在在 上有界上有界.函数函数 在在 上无上界上无上界：2 2、有界性定理、有界性定理2.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第5页/共20页第六页，编辑于星期日：二十二点 四十分。f(x)在 a,b上可取到它的最大值M和最小值m，证：证：f(x)在闭区间a,b上连续故 m f(x)M xa,b|f(x)|M*xa,b令 M*=max|m|,|M|,则即 f(x)在a,b上有界.2.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第6页/共20页第七页，编辑于星期日：二十二点
4、四十分。3 3、零点存在性定理零点存在性定理零点存在性定理零点存在性定理 定理3：设 f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则至少存在一点(a,b)，使得 f()0.axyy=f(x)f(a)bf(b)O几何解释几何解释:2.62.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第7页/共20页第八页，编辑于星期日：二十二点 四十分。4 4、介值、介值、介值、介值 定理定理定理定理定理4：设 f(x)在闭区间a,b上连续，f(a)A,f(b)B,且AB,则对于A，B之间的任意一个数C，至少存在一点(a,b)，使得 f()=C定理4：设
5、f(x)在闭区间a,b上连续，则存在最大值最大值M和最小值m，对于M和最m之间的任意一个数C，至少存在一点(a,b)，使得 f()=C2.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第8页/共20页第九页，编辑于星期日：二十二点 四十分。证证：令 (x)=f(x)C 故,由根存在定理，至少存在一点(a,b)使则 (x)C(a,b).C在A，B之间 (a)(b)=(f(a)C)(f(b)C)(AC)(BC)0 (x)=0，即 f(x)=C.yBCAO abx第9页/共20页第十页，编辑于星期日：二十二点 四十分。推论推论推论推论：设 f(x)在闭区
6、间a,b上连续，则f(x)取得介于其在a,b 上的最大值M和最小值m之间的任何值 就是说，mCM,则必存在a,b,使得f()=C.例例1：设 f(x)在闭区间a,b上连续，a x1 x2 xn b,证明:至少存在一点x1,xn，使得2.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第10页/共20页第十一页，编辑于星期日：二十二点 四十分。证：证：f(x)在闭区间a,b上连续.有从而由介值定理，至少存在一点x1,xn，使综上所述，命题获证.mf(xi)M.2.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第11页/共20页第十二页，编辑于星期日：
7、二十二点 四十分。例例2:证明方程x53x=1,在x=1与x=2之间至少有一根.证：证：令 f(x)=x53x1，x1,2则 f(x)在闭区间1,2上连续又 f(1)=3，f(2)=25，即 f(1)f(2)0即 方程在x=1与 x=2之间至少有一根.故 至少存在一个(1,2)，使得 f()=0,2.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第12页/共20页第十三页，编辑于星期日：二十二点 四十分。例例3 3证证由零点定理由零点定理,2.62.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第13页
8、/共20页第十四页，编辑于星期日：二十二点 四十分。而 f(0)=0a sin0b=b 0,b 0)至少有一个不超过a+b的正根.证：证：问题归结为在0,a+b上求方程的根的问题.2.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第14页/共20页第十五页，编辑于星期日：二十二点 四十分。1)如果 f(a+b)0，则=a+b 就是方程的根.综上所述，方程在0,a+b上至少有一个根,即至少有一个不超过a+b的正根.2)如果 f(a+b)0,则f(0)f(a+b)0，由根存在定理,至少存在一个(0,a+b)，使得 f()=0.2.62.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第15页/共
9、20页第十六页，编辑于星期日：二十二点 四十分。例5证明讨论:2.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第16页/共20页第十七页，编辑于星期日：二十二点 四十分。由零点定理知,综上,2.62.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第17页/共20页第十八页，编辑于星期日：二十二点 四十分。2.62.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第18页/共20页第十九页，编辑于星期日：二十二点 四十分。左右连续在区间a,b上连续连续函数的 性 质初等函数的连续性间断点定义连 续 定 义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点第一类 第二类总结总结总结总结第19页/共20页第二十页，编辑于星期日：二十二点 四十分。