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1、第第4 4章章 立体的表面交线立体的表面交线4.1 4.1 平面与立体相交平面与立体相交4.2 4.2 立体与立体相交立体与立体相交第第4 4章章 立体的表面交线立体的表面交线立体被平面截切，该平面称为截平面截平面，立体表面产生的交线称为截交线截交线；曲面立体与曲面立体相交称为相贯相贯，由此而产生的表面交线称为相贯线相贯线4.1 4.1 平面与立体相交平面与立体相交截交线截交线截平面截平面与立体表面的交线称与立体表面的交线称为为截交线截交线。截交线所围成的图形称为。截交线所围成的图形称为截截断面断面。依据立体表面性质不同，立体的截交线可分为：依据立体表面性质不同，立体的截交线可分为：平面立体截
2、交线平面立体截交线和和曲面立体截交线曲面立体截交线4.1 4.1 平面与立体相交平面与立体相交 平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交线，平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交线，称为平面立体的截交线。称为平面立体的截交线。平面体平面体截交线的形状是由直线段围截交线的形状是由直线段围成的成的平面多边形。具有封闭性。平面多边形。具有封闭性。一）平面体截交线的性质：一）平面体截交线的性质：平面体平面体截交线是截平面与平面立体截交线是截平面与平面立体表面的表面的公有线。具有共有性。公有线。具有共有性。平面平面多边形的顶点是平面立体棱线多边形的顶点是平面立体棱线与截平面的与截平面的交点，交点，边是
3、截平面与平边是截平面与平面立体各表面的面立体各表面的交线（截交线段）交线（截交线段）。一、平面与平面立体相交一、平面与平面立体相交P P二）平面立体截交线的求法二）平面立体截交线的求法线面交点法线面交点法 将平面立体上参与相交将平面立体上参与相交的各条棱线与截平面求的各条棱线与截平面求交点交点，并将位于立体同一棱面上的并将位于立体同一棱面上的两交点依次连接起来，即为两交点依次连接起来，即为所求平面立体的截交线。所求平面立体的截交线。1 12 23 34 4S SA AB BC CD D三）求截交线的作图步骤三）求截交线的作图步骤1 1、空间分析及投影分析、空间分析及投影分析2 2、画出截交线的
4、投影、画出截交线的投影a a、截平面与立体的那几个表面相交截平面与立体的那几个表面相交 确定确定截交线的形状（多少截交线段）截交线的形状（多少截交线段）确定确定截交线的投影特性（积聚性）截交线的投影特性（积聚性）b b、截平面、立体表面是否具有积聚性截平面、立体表面是否具有积聚性 运用运用线面交点法线面交点法或或面面交线法面面交线法，分别求出截平，分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。面与棱面的交线，并连接成多边形。3 3、整理立体的棱线投影、整理立体的棱线投影【例题例题1 1】完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。1 1、空间分析、空间分析2
5、2、投影分析、投影分析3 3、投影作图、投影作图4 4、整理图线、整理图线截交线为平面五边形，对截交线为平面五边形，对V V面具有积聚性面具有积聚性 截平面为正垂面，截截平面为正垂面，截交线的正面投影落在截平交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，要求面的积聚性投影上，要求的是截交线的水平投影和的是截交线的水平投影和侧面投影。侧面投影。123455 5 5 51 1 1 13 3 3 34 4 4 42 2 2 21 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 45 5 5 5采用的是哪种解题方法？采用的是哪种解题方法？采用的是哪种解题方法？采用的是哪种解题方法？平面截切曲面立体，在曲面
6、立体表面留有的平面截切曲面立体，在曲面立体表面留有的交线，称为曲面立体的截交线。交线，称为曲面立体的截交线。一）曲面立体截交线性质一）曲面立体截交线性质 1 1、截交线是截平面与曲面立体、截交线是截平面与曲面立体表面的公有线。截交线上的点为表面的公有线。截交线上的点为截平面与曲面立体表面的公有点截平面与曲面立体表面的公有点。2 2、截交线的形状通常为平面曲、截交线的形状通常为平面曲线，线，特殊情况特殊情况下可含有直线段组下可含有直线段组成。是封闭的平面图形。截交线成。是封闭的平面图形。截交线的形状取决于曲面立体表面性质的形状取决于曲面立体表面性质和截平面与曲面立体的相对位置。和截平面与曲面立体
7、的相对位置。二、平面与曲面立体相交二、平面与曲面立体相交二）曲面立体截交线的求解方法二）曲面立体截交线的求解方法1 1、表面取点法、表面取点法 利用截平面的积聚性和曲面上表面取点法利用截平面的积聚性和曲面上表面取点法利用截平面的积聚性和曲面上表面取点法利用截平面的积聚性和曲面上表面取点法来求截交线的另两个投影。来求截交线的另两个投影。来求截交线的另两个投影。来求截交线的另两个投影。条件：截平面具有积聚性，从而相当于已条件：截平面具有积聚性，从而相当于已条件：截平面具有积聚性，从而相当于已条件：截平面具有积聚性，从而相当于已知一截交线的一个投影。知一截交线的一个投影。知一截交线的一个投影。知一截
8、交线的一个投影。2 2、辅助平面法、辅助平面法 利用三面共点的原理来求。利用三面共点的原理来求。利用三面共点的原理来求。利用三面共点的原理来求。三）曲面立体截交线的求解步骤三）曲面立体截交线的求解步骤1 1、截交分析、截交分析 a)a)截平面和立体表面的积聚性截平面和立体表面的积聚性;b);b)截交线段的多少；截交线段的多少；c)c)截交线的对称性；截交线的对称性；d)d)截交线在各投影面上的可见性。截交线在各投影面上的可见性。2 2、求特殊点、求特殊点 包括：极限位置点（最高、最低、最前、最后、包括：极限位置点（最高、最低、最前、最后、最左和最右点）和转向轮廓线上的点。最左和最右点）和转向轮
9、廓线上的点。3 3、求一般点、求一般点 用表面取点法或辅助平面法求足够多的一般点用表面取点法或辅助平面法求足够多的一般点4 4、整理曲面立体轮廓线、整理曲面立体轮廓线 检查曲面立体被截切后的轮廓素线。擦除被截掉部分检查曲面立体被截切后的轮廓素线。擦除被截掉部分的投影，判别截交线的可见性，光滑连接截交线。的投影，判别截交线的可见性，光滑连接截交线。依据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，截交依据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，截交依据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，截交依据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，截交线的形状有以下三种：线的形状有以下三种：线的形状有以下三种：线的形状有以下三种：圆圆
10、圆圆矩形矩形矩形矩形椭圆椭圆椭圆椭圆四）圆柱体的截交线四）圆柱体的截交线【例题例题例题例题1 1 1 1】完成圆柱体被截切后的水平投影和侧面投影。完成圆柱体被截切后的水平投影和侧面投影。完成圆柱体被截切后的水平投影和侧面投影。完成圆柱体被截切后的水平投影和侧面投影。1 1 1 1、空间分析、空间分析、空间分析、空间分析分析截平面与立体的相对位置分析截平面与立体的相对位置水平面截切，截交线为矩形；水平面截切，截交线为矩形；侧平面截切为圆弧。侧平面截切为圆弧。2 2 2 2、投影分析、投影分析、投影分析、投影分析 分析截平面与投影面分析截平面与投影面的相对位置。的相对位置。131313132424
11、24243 3 3 3、投影作图、投影作图、投影作图、投影作图4 4 4 4、整理轮廓素线、整理轮廓素线、整理轮廓素线、整理轮廓素线 截交线的正面投影落截交线的正面投影落在水平截平面和侧平截平在水平截平面和侧平截平面的积聚性投影上；面的积聚性投影上；截交线的侧面投影落截交线的侧面投影落在圆柱面和水平截平面的在圆柱面和水平截平面的积聚性投影上；积聚性投影上；1 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 41 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4【例题例题例题例题2 2 2 2】作出圆柱体被截切后的水平投影。作出圆柱体被截切后的水平投影。作出圆柱体被截切后的水平投影。作出圆
12、柱体被截切后的水平投影。c c c cddddd d d dc c c ca a a ab b b ba a a ab b b b1 1 1 1、空间分析、空间分析、空间分析、空间分析 分析截平面与分析截平面与分析截平面与分析截平面与圆柱体轴线的相对圆柱体轴线的相对圆柱体轴线的相对圆柱体轴线的相对位置，确定截交线位置，确定截交线位置，确定截交线位置，确定截交线的形状的形状的形状的形状椭圆。椭圆。椭圆。椭圆。2 2 2 2、投影分析、投影分析、投影分析、投影分析 截交线的正面截交线的正面截交线的正面截交线的正面投影和侧面投影分投影和侧面投影分投影和侧面投影分投影和侧面投影分别落在截平面和圆别落在
13、截平面和圆别落在截平面和圆别落在截平面和圆柱面的积聚性投影柱面的积聚性投影柱面的积聚性投影柱面的积聚性投影上，要求的是截交上，要求的是截交上，要求的是截交上，要求的是截交线水平投影。线水平投影。线水平投影。线水平投影。3 3 3 3、投影作图、投影作图、投影作图、投影作图4 4 4 4、整理轮廓线、整理轮廓线、整理轮廓线、整理轮廓线a a a abbbbd d d dc c c c截平面截平面位置位置过锥顶过锥顶垂直于轴线垂直于轴线倾斜于轴线且倾斜于轴线且与所有素线相与所有素线相交交平行于轴线平行于轴线平行于任一素平行于任一素线线截交线截交线两直素线（交两直素线（交于锥顶的两直于锥顶的两直线）
14、线）圆周圆周椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线立体图立体图投影图投影图五、圆锥的截交线五、圆锥的截交线求求圆圆锥锥截交线截交线上上点的方法点的方法1 1、素线法：在圆锥表面取若干素线，并求出这些、素线法：在圆锥表面取若干素线，并求出这些素线与截交平面的交点；素线与截交平面的交点；2 2、纬圆法：在圆锥表面上取若干个纬圆，并求出、纬圆法：在圆锥表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点。这些纬圆与截平面的交点。【例题例题例题例题1 1 1 1】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。1 1
15、 1 1、空间与投影分析、空间与投影分析、空间与投影分析、空间与投影分析 截交线为椭圆，截截交线为椭圆，截交线的正面投影落在截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，平面的积聚性投影上，要作出椭圆的水平投影要作出椭圆的水平投影和侧面投影。和侧面投影。2 2 2 2、投影作图、投影作图、投影作图、投影作图 运用锥面取点方法运用锥面取点方法作出椭圆长短轴端点、作出椭圆长短轴端点、转向轮廓线上点和一般转向轮廓线上点和一般点，用曲线光滑连接各点，用曲线光滑连接各点。点。3 3 3 3、整理轮廓线、整理轮廓线、整理轮廓线、整理轮廓线【例题例题例题例题2 2 2 2】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。完
16、成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。1 1 1 1、空间与投影分析、空间与投影分析、空间与投影分析、空间与投影分析 截交线形状为抛物截交线形状为抛物线。抛物线的正面投影线。抛物线的正面投影落在截平面的积聚性投落在截平面的积聚性投影上，求作抛物线的水影上，求作抛物线的水平投影和侧面投影。平投影和侧面投影。2 2 2 2、投影作图、投影作图、投影作图、投影作图 运用锥面取点方法运用锥面取点方法作出抛物线顶点和底端作出抛物线顶点和底端点、转向轮廓线上点和点、转向轮廓线上点和一般点，用曲线光滑连一般点，用曲线光滑连接各点。接各点。3
17、 3 3 3、整理轮廓线、整理轮廓线、整理轮廓线、整理轮廓线【例题例题例题例题4 4 4 4】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。1 1 1 1、空间与投影分析、空间与投影分析、空间与投影分析、空间与投影分析 截交线为圆弧和两截交线为圆弧和两根直线段，两截平面间根直线段，两截平面间有一条交线。截交线的有一条交线。截交线的正面投影落在截平面的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上，求正面积聚性投影上，求作截交线的水平投影和作截交线的水平投影和侧面投影。侧面投影。2 2 2 2、投影作图、投影
18、作图、投影作图、投影作图 截交线圆弧的水平截交线圆弧的水平投影反映圆弧的实形。投影反映圆弧的实形。3 3 3 3、整理轮廓线、整理轮廓线、整理轮廓线、整理轮廓线 平面截切圆球，其截交线的形状为圆。平面截切圆球，其截交线的形状为圆。平面截切圆球，其截交线的形状为圆。平面截切圆球，其截交线的形状为圆。当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反映映映映实形实形实形实形；当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的投影为当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的投影为当截平面垂直于投影面时，
19、则截交线圆的投影为当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的投影为直线段直线段直线段直线段；当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为椭圆椭圆椭圆椭圆。六、球的截交线六、球的截交线六、球的截交线六、球的截交线【例题例题1 1】完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。【例题例题2 2】完成半球被截切后的水平投影和侧面投影。完成半球被截切后的水平投影和侧面投影。一、相贯线的性质一、相贯线的性质二、相贯线的画法实例二、相贯线的画法实例5.5 曲面立体
20、相交时产生的表面交线曲面立体相交时产生的表面交线相贯线的性质：相贯线的性质：1 1、相贯线是两曲面立体表面的公有线，相贯线上的、相贯线是两曲面立体表面的公有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的公有点；点是两曲面立体表面的公有点；2 2、一般情况下，相贯线为封闭的空间曲线。、一般情况下，相贯线为封闭的空间曲线。两曲面立体相交两曲面立体相交 除特殊点外，还要作出适当数量的一般点，以便使连除特殊点外，还要作出适当数量的一般点，以便使连接光滑。同时，要用虚、实线分别表示不可见和可见部分。接光滑。同时，要用虚、实线分别表示不可见和可见部分。判别可见性的原则是：只有同时位于两立体可见表面的相判别可见性的原则
21、是：只有同时位于两立体可见表面的相贯线的投影才是可见的，否则为不可见。贯线的投影才是可见的，否则为不可见。基本知识基本知识一）求相贯线常用的方法有：一）求相贯线常用的方法有：（1 1）表面取点法）表面取点法 （2 2）辅助平面法）辅助平面法 作图时，应尽可能首先定相贯线上的特殊点。例如，相作图时，应尽可能首先定相贯线上的特殊点。例如，相贯线上最高、最低、最前、最后、最左、最右各点以及位于贯线上最高、最低、最前、最后、最左、最右各点以及位于曲面转向轮廓线上的点、对称轴上的点，这些点决定了相贯曲面转向轮廓线上的点、对称轴上的点，这些点决定了相贯线投影的大概形状或是可见与不可见的分界点。线投影的大概
22、形状或是可见与不可见的分界点。通常利用圆柱面的积聚性，在另一表面上取点。通常利用圆柱面的积聚性，在另一表面上取点。（1）表面取点法）表面取点法 常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。三面共点的方法。做辅助平面与两个立体都相交，截交线的交点为相贯线上的点。（2）辅助平面法）辅助平面法基本知识基本知识二）二）求相贯线的步骤求相贯线的步骤1 1、分析相贯的情况、分析相贯的情况 a)a)两立体表面的积聚性两立体表面的积聚性;b);b)两立体表面的相交情况；两立体表面的相交情况；c)c)相贯线的对称性；相贯线的对称性；d)d)相贯线在各投影面上的可见性相贯
23、线在各投影面上的可见性.2 2、求特殊点、求特殊点 极限位置点（最高、最低、最前、最后、最左和最右点）极限位置点（最高、最低、最前、最后、最左和最右点）和转向轮廓线上的点。和转向轮廓线上的点。3 3、求一般点、求一般点 用表面取点法或辅助平面法求一般点。用表面取点法或辅助平面法求一般点。4 4、整理图线、整理图线 擦除被贯掉部分的投影，判别相贯线的可见性，光滑连擦除被贯掉部分的投影，判别相贯线的可见性，光滑连接相贯线。接相贯线。三）相贯线的可见性三）相贯线的可见性 相贯线处于两个同时可见的曲面上，则相贯相贯线处于两个同时可见的曲面上，则相贯线可见，用实线绘制。线可见，用实线绘制。相贯线处于两个
24、不可见的或一个可见、一个相贯线处于两个不可见的或一个可见、一个不可见的曲面上，则相贯线均为不可见，用虚线不可见的曲面上，则相贯线均为不可见，用虚线绘制。绘制。基本知识基本知识【例题例题1 1】求轴线正交的两圆柱的相贯线。求轴线正交的两圆柱的相贯线。y 作图步骤：作图步骤：1 1、求相贯线上的特殊点、求相贯线上的特殊点A A、B B、C C、D;D;2 2、求作相贯线上适当数量的一般点（求作相贯线上适当数量的一般点（E E、F F、G G、H H四点四点前后左右对称，以方便作图）；前后左右对称，以方便作图）；abcdd ba a b cd c yefgh 可以看出，轴线正交的两圆可以看出，轴线正
25、交的两圆柱的相贯线的正面投影类似于一柱的相贯线的正面投影类似于一段圆弧曲线，且突向于直径较大段圆弧曲线，且突向于直径较大的圆柱体的轴线。的圆柱体的轴线。3 3、光滑连接各点，、光滑连接各点，即得相贯线得正面投即得相贯线得正面投影（前半部分与后半影（前半部分与后半部分重合在一起）；部分重合在一起）；4 4、整理图形。、整理图形。【例题例题例题例题2 2 2 2】求两立体相贯线求两立体相贯线求两立体相贯线求两立体相贯线yyPW1PV15yy5 PV2PW23PV3PW371112 22573 37 解题步骤解题步骤1 1 求求出出相相贯贯线线上上的的特特殊殊点点、（、点点为为最右点）；最右点）；2
26、 2 求求出出若若干干个个一一般般点点 、；3 3 光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出相相贯贯线线，并并且且判判别别可可见见性性,4615346153可见，可见，15 3 7 2可见可见；4 4 整理轮廓线。整理轮廓线。444686868【例题例题3 3】求圆柱与圆锥的相贯线。求圆柱与圆锥的相贯线。【例题例题4 4】求圆柱与半球的相贯线。求圆柱与半球的相贯线。11 13 3777 3 55解题步骤解题步骤1 1 求出相贯线上求出相贯线上的特殊点的特殊点 、；2 2 求出若干个一求出若干个一般点般点 、；3 3 光滑且顺次地光滑且顺次地连接各点，作出连接各点，作出相贯线，并且判相
27、贯线，并且判别可见性别可见性,32187,32187可见，可见，1122 3 43 4 55可见；可见；4 4 整理轮廓线整理轮廓线yy4 6 5462 8 6 4 288 2【例题例题5 5】求圆球与圆锥的相贯线求圆球与圆锥的相贯线PW3PV3PV1yy55343543112122yy4 解题步骤解题步骤1 1分分析析 相相贯贯线线的的三三个个投投影影均均未未知知，可可利利用用辅辅助助平平面面法法求求共共有有点；点；2 2求求出出相相贯贯线线上上特特殊殊点点、；4 4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出相相贯贯线线，并并且且判别可见性；判别可见性；5 5整整理理轮轮廓廓素素线。线。3 3求求出出若若干干个个一般点一般点、；PW2 PV2