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1、1.3.3函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数复习复习:一、函数单调性与导数关系一、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.设函数设函数y=f(x)在在 某个区间某个区间 内可导，内可导，f(x)为为增函数增函数f(x)为为减函数减函数二、函数的极值定义二、函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对x0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0),则则f(x0)是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值=f(x0)；函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统
2、称为为极值极值.使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6观察下列图形,你能找出函数的极值吗？观察图象，我们发现，是函数y=f(x)的极小值，是函数y=f(x)的 极大值。（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况 若若
3、f(x)左正右左正右负负，则则f(x)为为极大极大值值；若若 f(x)左左负负右正，右正，则则f(x)为为极小极小值值+-x0-+x0求导求导求极点求极点列表列表求极值求极值 三、用导数法求解函数极值的步骤三、用导数法求解函数极值的步骤：因为因为 所以所以巩固：巩固：求函数求函数 的极值的极值.解解:令令 解得解得 或或当当 ,即即 ,或或 ;当当 ,即即 .当当 x 变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x(,2)2(2,2)2(2,+)00f(x)+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以,当当 x=2 时时,f(x)有极大值有极大值 28/3;当当 x=
4、2 时时,f(x)有极小值有极小值 4/3.在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？与函数极值关系如何？新新 课课 引引 入入 极值是一个极值是一个局部局部概念，极值只是某个点的函概念，极值只是某个点的函数值与它数值与它附近点附近点的函数
5、值比较是最大或最小的函数值比较是最大或最小,并并不意味不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。着它在函数的整个的定义域内最大或最小。知识回顾知识回顾 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足：1最大值最大值:（1）对于任意的）对于任意的x I，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0 I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 2最小值最小值:一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实，如果存在实数数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的x I，都
6、有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0 I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6在开区间内在开区间内的连续函数的连续函数不一定有最不一定有最大值与最小大值与最小值值.在闭区间在闭区间上的连续函上的连续函数必有最大数必有最大值与最小值值与最小值因此：该函数没因此：该函数没有最值。有最值。f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函数在如何求出函数在a,
7、b上的最值？上的最值？一般地，如果在区间一般地，如果在区间a,b上函数上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有必有最大值和最小值。最大值和最小值。极大值点：，极小值点：你能说出函数的你能说出函数的最大值点最大值点和和最小值点最小值点吗？吗？最大值点：a最小值点：d你能找出你能找出a,b上函数上函数y=f(x)极大值点，极小值点吗极大值点，极小值点吗最小值是f(b).闭区间上的单调函数一定有最值函数y=f(x)在区间a,b上最大值是f(a),图1最大值是f(x3),图2函数y=f(x)在区间a,b上最小值是f(x4).只要把函数y=f(x)的所有
8、极值连同端点的函数值进行比较即可。对于闭区间上的连续函数，最值不是在极值极值处取到，就是在端点端点处取到。求函数y=f(x)在在a,b上上的最大值与最小值的一般步骤一般步骤如下：(2)(2)将将y=y=f(xf(x)的的各各极极值值与与端端点点处处函函数数值值f(af(a)，f(bf(b)比比较较,其其中中最最大大的的一一个个为为最最大值，最小的一个是最小值。大值，最小的一个是最小值。(1)(1)求求f(xf(x)在区间在区间(a,ba,b)内极值；内极值；例例1:1:求函数求函数y=xy=x3 3-2x-2x2 2+5+5在区间在区间-2,2-2,2上的最大上的最大值与最小值值与最小值.解解
9、:令令 ,解得解得x=-1,0,1.当当x变化时变化时,的变化情况如下表的变化情况如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13从上表可知从上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.例例2 2.已知已知f(xf(x)=2x)=2x3 3-24x+m(m-24x+m(m为为常数常数),),在在0,20,2上有最大上有最大值值3,3,那么此那么此函数在函数在0,20,2上的最小上的最小值为值为()A.-29A.-29B.-30B.-30C.-5C.-5D.5D.5【解析解析】选选A.A.因为因为f(xf(x)=6x)
10、=6x2 2-24=6(x-2)(x+2),-24=6(x-2)(x+2),令令f(xf(x)=0,)=0,得得x=x=2.2.当当x x变化时变化时,f(xf(x)及及f(xf(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x x0 0(0,2)(0,2)2 2f(xf(x)-f(xf(x)m m-32+m-32+m因为因为f(xf(x)在在0,20,2上为减函数上为减函数,所以当所以当x=2x=2时时,函数函数f(xf(x)有最小值有最小值.又因为又因为当当x=0 x=0时时,f(xf(x)=m)=m最大最大,所以所以m=3,m=3,从而从而f(2)=-29.f(2)=-29.所以最小值为所以最小
11、值为f(2)=-29.f(2)=-29.求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论是在整体范围内讨论问题问题,是一个整体性的概念是一个整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有上的连续函数一定有 .开区间开区间(a,b)内的内的可导函数不一定有最值可导函数不一定有最值,但若有但若有 ,则此极值必是则此极值必是函数的最值函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值函数在其定义域上的最大值与最小值 ,而而函数的函数的 则可能不止一个则可能不止一个,也可能没有极值也可能没有极值,并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值).最值最值唯一的极值唯一的极值至多各有一个至多各有一个极值极值（4 4）极值只能在）极值只能在 取得，最值则可在取得，最值则可在 取得，取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值怎样能成为极值成为最值，最值怎样能成为极值 。区间内区间内端点处端点处不在端点处取得时必定是极值不在端点处取得时必定是极值